Formes normales

Université Paris-Diderot Outils Logiques

Licence Année 2017-2018

TD n ^◦ 5

Formes normales

Exercice 1 Mettre les formules suivantes en forme normale de négation.

1. ¬(¬x∨y) 2. ¬(¬(x∨y)∧z)

Exercice 2 Déterminez une forme normale conjonctive et disjonctive des formules suivantes : 1. ¬(p↔q)

2. ((p→q)→q)→q

3. (p→(p∧ ¬q))∧(q→(q∧ ¬p))

Exercice 3 Soit ψ:Form→Ndénie par récurrence : ψ(x) = 2

ψ((p₁∧p₂)) = (ψ(p₁))²∗ψ(p₂) ψ((p1∨p2)) = 2∗ψ(p1) +ψ(p2) + 1 ψ(¬p) =ψ(p)

1. Montrer queψ(p)≥2 pour toute formule p.

2. Considérons les règles de transformation suivantes :

X∧(Y ∨Z) (X∧Y)∨(X∧Z) (1)

(X∨Y)∧Z (X∧Z)∨(Y ∧Z) (2)

(X∧Y)∧Z X∧(Y ∧Z) (3)

(X∨Y)∨Z X∨(Y ∨Z) (4)

Montrer que pour toute formulep∈F orm: Sipse transforme enq par l'application d'une des règles précédentes, alorsψ(p)> ψ(q), où ψest la fonction dénie dans l'exercice 3.

Exercice 4 Nous disons (pour cet exercice) qu'une formule propositionnelle est en forme anor- male quand elle ne contient ni une sous-formule de la forme ¬¬p, ni de la forme(¬p∨ ¬q), ni (¬p∧ ¬q).

1. Donner des règles de réécriture qui permettent de transformer toute formule donnée en une formule équivalente en forme anormale. Expliquer, en quelques lignes (pas de preuve formelle),

(a) pourquoi le processus de réécriture termine toujours,

(b) pourquoi la formule obtenue à la n est équivalente à la formule de départ, (c) pourquoi la formule obtenue à la n est en forme anormale.

2. Est-ce qu'il y a deux formules en forme anormale qui sont logiquement équivalentes mais qui dièrent par plus que seulement les lois de commutativité, d'associativité, et d'idem- potence ?

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Exercice 5 [Preuve du théorème 15] Une formule en forme conjonctive normale (d₁∧d₂∧. . .∧d_n)

est valide si et seulement si pour touti il existe une variablex telle que la clause disjonctive di

contient à la fois le littéralx et aussi sa négation ¬x.

Exercice 6 [Pour aller plus loin] On considère la formule E = ((y∧z)→(x↔(¬y∨z))) où x,y etz sont des variables propositionnelles.

1. Déterminer une formule logiquement équivalente à E, écrite sans autre symbole de con- necteur que→ et↔ (en particulier, pas de ¬).

2. Donner une DNF de E, aussi réduite que possible.

3. Montrer que les formules(z→(y→ (x ↔(y →z)))) et(z →(y →x))sont logiquement équivalentes.

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