Lois normales
I- Introduction : Somme de 12 nombres tirés au hasard entre O et 1.
On s’intéresse à la répartition des résultats de la somme de 12 nombres, chacun de ces nombres étant tirés au hasard entre 0 et 1, c’est-à-dire selon une loi uniforme.
1) Simulation d’un échantillon de taille 5000
En utilisantGe Gebraon peut facilement obtenir un échantillon de 5000 résultats et observer leur répartition à l’aide d’un histogramme normalisé denclasses.
1) La répartition des valeurs entre les classes paraît-elle uniforme ? . . . . 2) Autour de quelle valeur entière observe-t-on la classe la plus fréquente ? . . . . 3) Sur la figure ci-dessousn= 30.
Décrire le « profil » de l’histogramme obtenu. . . .
2) Vers la courbe de Gauss
La courbe de Gauss est celle d’une fonction de densitéf d’une loi de probabilité dite « normale ».
On sait que la loi uniforme sur [0 ;1] a une espérance de 0,5 et a une variance de 121.
On admet qu’en répétant à l’identique la même expérience consistant à tirer un nombre au hasard entre 0 et 1, la somme des 12 nombres conduit à des valeurs de moyenne 6 (12×0,5) et de variance 1 (12∗ 1
12).
On représente à l’aide du logiciel la fonction de densitéf de la loi normale de paramètre 6 et 1 par l’instruction f=Normale[6,1,x]
Donner, d’après la fenêtre algèbre ci-dessus, l’expression analytique de la fonction de densitéf .
f(x) =
II- La loi Normale
1) Loi normale centrée réduite
On dit qu’une variable aléatoire continue suit la loi normale centrée réduite, lorsqu’elle a pour densité la fonctionf définie surRpar :
On note X N(0 ; 1).
Définition
0.2 0.4
1 2 3
−1
−2
−3
Remarque
• La fonctionf est continue, dérivable et strictement positive surR.
• La courbe de cette fonction dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées car f(−x) =f(x).
Elle admet un maximum en 0 égal à √1
2π
• Elle a pour limite 0 en−∞et en +∞, la courbe a pour asymptote horizontale la droite d’équationy= 0.
• L’aire située sous la courbe et au-dessus de l’axe des abscisses vaut 1.
• Cette fonction est aussi appeléedensité de probabilité deLaplace-Gauss.
• Sa courbe est parfois appeléecourbe deGaussou courbe en cloche.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normaleN(0 ; 1). Alors :
• E(X) = 0 et c’est pour cela qu’on dit que la loi estcentrée ;
• Sa variance est V(X) = 1 et c’est pour cela qu’on dit que la loi estréduite.
Théorème
Démonstration
ROC
2) Calculs de probabilités
Si une variable aléatoire X suit la loi normaleN(0 ; 1) alors pour tous nombresaetbréels tels quea≤b : P(a≤X≤b) = 1
√ 2π
Z b a
e−12x2dx.
Propriété
0.2 0.4
1 2 3
−1
−2
−3
−4 a b
Figure1 – P(a≤X≤b) si X N(0; 1) On peut en déduire les propriétés suivantes :
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normaleN(0 ; 1) etaun réel. Alors :
• p(X∈R) = 1.
• p(X60) =p(X>0) = 0,5.
• p(X6−a) =p(X>a).
• p(X>a) = 1−p(X6a).
Propriété
Il est conseillé d’être capable de les retrouver graphiquement plutôt que de les apprendre.
Exemple
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite : On donne P(X61,8)≈0,964 et P(X62,3)≈0,989.
Calculer les probabilités suivantes :
1. P(1,8<X<2,3). 2. P(X>2,3). 3. P(X<−1,8). 4. P(−1,8<X<2,3).
3) Loi normale et calculatrice a) Pour calculerP(a <X< b)
Soit X une variable aléatoire continue suivant la loiN(0 ; 1).
La fonction de densité de cette loi normale n’a pas de primitive explicite mais les calculatrices disposent de commandes spécifiques.
• p(α6X6β) ;
• xtel quep(X6x) =a,aétant connu.
Ces commandes sont résumées dans le tableau1de la présente page.
TI Casio
p(α6X6β) DISTR puis 2 : normalFRép(α,β,0,1) Menu Stat Dist Norm NCD
puis renseigner Lower =α ; Upper =β; 1 ; 0 xtel quep(X6x) =a DISTR puis 3 : FracNormale(a,0,1) Menu Stat Dist Norm InvN
puis renseigner Area =a ; 1 ; 0 Table1 – Commandes spécifiques des calculatrices concernant la loi normaleN(0 ; 1).
b) Pour calculerP(X< b)
Les calculatrices ne fournissent pas P(X< b) mais seulement P(a <X< b).
Par conséquent :
• Sib >0, on utilise P(X< b) = 0,5 + P(06X< b).
• Sib <0, on utilise P(X< b) = 0,5−P(b <X60).
Exemple
Retrouver P ( X < 1,8 ) avec la calculatrice.
Remarque
On pourrait aussi taper : normalFRép(−1099,1.8,0,1)
c) Pour calculerP(X> a)
• Sia >0, on utilise P(X> a) = 0,5−P(06X< a).
• Sia <0, on utilise P(X> a) = 0,5 + P(a <X60).
Exemple
Déterminer une valeur approchée de P(X>1) avec la calculatrice.
d) Déterminer le réelt >0tel queP(X6t) =aaveca∈]0; 1[
Lorsque la probabilité est connue on trouvera le réeltà l’aide de l’instruction : FracNormale(a,0,1).
Exemple
1) Déterminer une valeur approchée du réelttel que P(X6t) = 0,7.
2) Déterminer une valeur approchée du réelttel que P(X>t) = 0,1.
3) Déterminer une valeur approchée du réelt >0 tel que P(−t6X6t) = 0,6.
4) Intervalle associé à une probabilité donnée
Soit X une variable aléatoire qui suit la loiN(0 ; 1).
Pour tout réelα∈]0; 1[, il existe un unique réel positifuαtel que :
P(−uα6X6uα) = 1−α.
−uα uα 1−α
0 Théorème
Démonstration
ROC
Exemple
• Siα= 0,05.
P(−u0,056X6u0,05) =0,95 P(X6u0,05)−P(X6−u0,05) =0,95 P(X6u0,05)−(1−P(X6u0,05)) =0,95 2P(X6u0,05)−1 =0,95 P(X6u0,05) =0,975
u0,05≈1,96
−1,96 0 1,96
• Siα= 0,01.
P(−u0,016X6u0,01) =0,99 P(X6u0,01)−P(X6−u0,01) =0,99 P(X6u0,01)−(1−P(X6u0,01)) =0,99 2P(X6u0,01)−1 =0,99 P(X6u0,01) =0,995
u0,01≈2,58
−2,58 0 2,58
5) Théorème de Moivre-Laplace
Si Xn suit la loi binomialeB(n, p) alors la variable Zndéfinie par Zn= √Xn−np
np(1−p) converge vers la loi normale centrée réduiteN(0 ; 1).
C’est à dire que pour tous réelsa,btels quea6b, on a : P(a6Zn6b)−−−−−−→
n→+∞
Z b
a
√1
2πe−12x2dx .
Théorème admis
Remarque
On pourra donc approcher une loi binomiale en utilisant un changement de variable en se ramenant à la loi normale centrée réduite. L’erreur sur les probas est très faible sin>>>30,n×p>>>5 etn×(1−p)>>>5.
Exemple
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètresn= 50 etp= 0,6.
On pose Z = X−30
√
50×0,6×0,4la variable aléatoire centrée réduite associée à X.
On assimile la loi de Z à une loi normale centrée réduite.
1) Quel théorème permet de justifier de l’approximation ? Pourquoi ? 2) En déduire une valeur approchée de P(386X645).
6) Loi normale d’espéranceµet d’écart-typeσ
Soit X une variable aléatoire continue. On dit que X suit une loi normale de paramètresµetσ, notéeN(µ;σ2) si la variable aléatoire Z = Xσ−µ suit une loi normale centrée réduiteN(0 ; 1).
On note X N(µ;σ2).
Définition
Remarque
• La fonction de densité de probabilité estf(x) = 1
σ
√
2πe−12(x−σµ)2.
0.2 0.4 0.6 0.8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Figure2 – Loi normaleN(4 ; 0,52)
• Sa courbe représentative dans un repère orthogonale est symétrique par rapport à la droite d’équationx=µ.
Si X N(µ;σ2) alors E(X) =µ, V(X) =σ2etσ(X) =σ.
Propriété
Remarque
On pourra obtenir les probabilités P(a6 X6b) à l’aide de la calculatrice en tapant sous texas instrument : normalFRép(a,b,µ,σ).
Exemple
1) Soit X N(5; 22) et Z la variable aléatoire définie par Z =X−5 2 . Donner une valeur approchée de P(X<3) sachant que P(Z<−1)≈0,16.
2) Soit X N(10; 4).
Donner une valeur approchée des probabilités suivantes : P(96X613), P(X611), P(X66), P(X>9) et P(X>13).
3) Soit X N(15; 52).
Déterminer le réelttel que P(X6t) = 0,85.
En déduire le réelh >0 tel que P(X615 +h) = 0,85.
4) Soit X N(20; 52).
Déterminer le réelatel que P(20−a6X620 +a) = 0,90.
7) Intervalles « Un, deux, trois sigmas »
Certaines valeurs dépendant deσ sont à retenir(par cœur) :
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normaleN µ;σ2
• P(µ−σ 6X6µ+σ)≈0,683 ;
• P(µ−2σ6X6µ+ 2σ)≈0,955 ;
• P(µ−3σ6X6µ+ 3σ)≈0,997.
Propriété
♥
Cette propriété est illustrée par la figure3page suivante.
Exemple
1) Soit X N(50; 62).
Déterminer un intervalle I centré en 50 tel que P(X∈I)≈0,955.
2) Soit X N(100;σ2).
Déterminerσsachant que P(90<X<110) = 0,95.
3) Soit X N(15; 52).
Déterminer un intervalle J centré en 15 tel que environ 68% des valeurs prises par X appartiennent à J.
µ−σ µ µ+σ P(µ−σ 6X6µ+σ)≈0,683
µ−2σ µ µ+ 2σ
P(µ−2σ 6X6µ+ 2σ)≈0,955
µ−3σ µ µ+ 3σ
P(µ−3σ6X6µ+ 3σ)≈0,997 Figure3 – Un, deux, trois sigmas
