Lois normales

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Lois normales

DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD

Blaise Pascal

septembre 2016

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Sommaire

1. Loi normale centrée réduiteN (0 ; 1) 1.1 Densité de probabilité deLaplace-Gauss

1.2 Calculs de probabilités avec la loi normale centrée réduite

2. Loi normale généraleN (µ; σ²)

2.1 Loi normale d’espéranceµet d’écart-typeσ 2.2 « Un, deux, trois sigmas ! »

3. « Inverser » une loi normale

4. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale : le théorème de Moivre-Laplace

(3)

Sommaire

(4)

Définition 1

On appelle fonction de

Laplace-Gauss la fonctionf définie surRpar :

f(x) = 1

√2πe⁻^x

2 2

Sa représentation graphique est appelée « courbe en cloche » ou

« courbe deGauss».

−3 −2 −1 1 2 3 0.1

0.2 0.3 0.4

0

(5)

Propriété 1

1.

la fonctionf est continue, dérivable et strictement positive surR;

2.

f est paire et admet en 0 un maximum égal à 1

√ 2π;

3.

f a pour limite 0 en+∞et en −∞;

4.

lim

a→−∞

R0

a f(x)dx= 1

2 et lim

b→+∞

Rb

0f(x)dx= 1 2;

5.

l’aire totale du domaine « sous la courbe en cloche » est égale à 1.

Démonstration

Les points 1. à 3. se démontrent facilement.

cf fin du cours sur la fonction exponentielle.

Le point 4. est admis : sa démonstration dépasse largement le cadre de la classe de Terminale S.

Le point 5. découle directement du point 4.

(6)

Corollaire

La fonction deLaplace-Gauss est une densité de probabilité surR.

Propriété 2

Si la variable aléatoireZ suit la loi ayant pour densité la fonctionf de Laplace-Gauss, alors son espérance estµ= 0 et sa variance estσ²= 1.

Démonstration

1.

L’espérance deZ est donnée par : E(Z) = lim

a→−∞

R0

a xf(x)dx+ lim

b→+∞

Rb

0 xf(x)dx.

Faire le calcul et trouverE(Z) = 0.

2.

La variance deZ est donnée parV(Z) =E (Z−E(Z))²

. On admet le résultatV(Z) = 1.

(7)

Définition 2

Dire qu’une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite signifie que sa densité de probabilité est la fonction deLaplace-Gauss définie ci-avant.

Notation

On note :Z∼N (0 ; 1).

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Sommaire

(9)

D’après la définition de la loi normale centrée réduite, siZ suit la loi normaleN (0 ; 1), pour tous nombresaetb(avec a6b) :

P(a6Z6b) = Z b

a

√1 2πe⁻^x

2 2 dx.

La probabilité queZ soit compris entreaetb est l’aire du domaine sous la courbe en cloche entre les droites d’équationsx=aetx=b.

a 0 b

P(a6Z6b)

0

Mais ce calcul pose un problème : la fonctionf deLaplace-Gauss ne possède pas de primitive « explicite »...

(10)

Pour les calculs liés à la loi normale on peut utiliser la table ci-dessous :

Π(t) =P(Z≤t) = Z t

−∞

√1 2π e⁻^x

2

2 dx et Π(−t) = 1−Π(t).

t 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

(11)

Exercice 1

SoitZ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduiteN (0 ; 1).

1.

CalculerP(−16Z62,14)à l’aide de la table.

2.

Retrouver le résultat en utilisant la calculatrice ou l’ordinateur.

(12)

Exercice 2

SoitZ une variable aléatoire suivant la loiN (0 ; 1). Donner à10⁻³ près :

1.

P(−16Z61)

2.

P(−26Z62)

3.

P(−36Z63)

−1 1 −2 2 −3 3

(13)

Exercice 3

On considère une variable aléatoireZ suivant la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).

Dans cet exercice on donnera pour les probabilités demandées des valeurs approchées à10⁻³ près.

1.

¹ À l’aide d’une calculatrice, déterminer la probabilité la probabilité P(Z <0,73). Vérifier grâce à GeoGebra ou au tableur.

2 À partir de la valeur calculée à la question 1, et sans recourir aux outils de calculs, déterminer les probabilités :

P(Z>0,73) ;P(Z6−0,73) ;P(Z >−0,73)etP(Z >−0,73).

2.

¹ Déterminer, à l’aide de la calculatrice puis en vérifiant avec GeoGebra ou le tableur, les probabilitésP(Z6−0,55)etP(Z60,77).

2 À partir des résultats de la question 1, calculerP(−0,556Z 60,77).

3.

Soittun réel strictement positif.

ExprimerP(Z >−t), puisP(Z <−t)en fonction deψ(t) =P(Z 6t).

(14)

Sommaire

(15)

Sommaire

(16)

Définition 3

Soitµun nombre réel, etσun nombre réel strictement positif.

Dire que la variableX suit la loi normaleN µ;σ²

signifie que la variable aléatoireZ= X−µ

σ suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).

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Propriété 3

Si une variable aléatoire suit la loi normaleN µ;σ²

, alors sonespéranceestµ et savarianceestσ² (sonécart-typeestσ).

Démonstration

Rappelons d’abord que, pour toute variable aléatoireZ, et tous nombres réels aet b:E(aZ+b) =aE(Z) +betV(aZ+b) =a²V(Z).

Considérer alors la variableZ= X−µ

σ et appliquer les propriétés rappelées ci-dessus...

Remarque

Pour calculer des probabilités lorsqueX ∼N µ;σ²

, si on souhaite utiliser les tables, on doit d’abord « centrer et réduire »X pour se ramener à la loiN (0 ; 1).

Cependant, avec les outils actuels (calculatrice, ordinateur, ...) cela est inutile : il est possible d’obtenir directement les probabilités souhaitées (il suffit de renseigner

(18)

Une loi normaleN µ;σ²

est une loi à densité. Cette densité¹a pour représentation graphique une « courbe en cloche ».

L’espéranceµdétermine l’axe de symétrie de cette courbe, et l’écart-typeσagit sur le maximum et l’« étalement ». L’aire sous la courbe étant égale à 1, plusσ est grand, plus le sommet de la courbe est bas.

1 Pour les curieux :f(x) = 1 σ√

2πexp

−(x−µ)² 2σ²

.

−3 −2 −1 1 2 3 0.1

0.2 0.3 0.4

0

µ=−2. µ= 1

−3 −2 −1 1 2 3 0.2

0.4 0.6 0.8

0

σ= 0.5

σ= 2

(19)

Exercice 4

Au pôle Nord, la température en hiver (en ˚C) suit approximativement une loi normale de moyenne−34et d’écart-type5.

1.

Calculer la probabilité que, en hiver, la température soit comprise entre

−40˚et−30˚ ; inférieure à−40˚ ; supérieure à−30˚.

2.

Sur 180 jours d’hiver, pendant combien de jours peut-on s’attendre à ce que la température soit inférieure à−40˚ ?

(20)

Sommaire

(21)

Propriété 4

SiX est une variable aléatoire qui suit la loi normaleN µ;σ² , alors :

1.

P X ∈

µ−σ;µ+σ

≈0,683.

2.

P X ∈

µ−2σ;µ+ 2σ

≈0,954.

3.

P X ∈

µ−3σ;µ+ 3σ

≈0,997.

µ−σ µ+σ 0,683

µ µ−2σ µ+ 2σ

0,954

µ µ−3σ µ µ+ 3σ

0,997

µ

(22)

Démonstration

En notantZ =X−µ

σ , justifier d’abord que P X ∈

µ−σ;µ+σ

=P(−16Z 61), puis utiliser les résultats de l’exercice 2 pour conclure.

Procéder de même pour les deux autres calculs.

Remarque

On remarque que la probabilité d’obtenir une valeur deX distante de plus de3σ de la moyenneµest presque nulle...

(23)

Exercice 5

En reprenant la situation de l’exercice 4, déterminer - par un simple calcul mental - un intervalleIcentré autour de la moyenne qui permet d’affirmer : « la

probabilité que la température appartient àI est d’environ 95 % ».

La propriété 3 permet de trouver rapidement un intervalle centré enµdont la probabilité est l’un des trois nombres remarquables : 0,683 ; 0,954 ou 0,997.

Comment faire s’il s’agit d’un autre nombre ? C’est ce que nous allons voir dans le paragraphe suivant.

(24)

Sommaire

(25)

Théorème 1

SoitZ une variable aléatoire qui suit la loiN (0 ; 1).

Étant donné un nombreαdans 0 ; 1

, il existe un uniquenombreuα>0 tel que P(−uα6Z6uα) = 1−α.

−u_α uα

α 2 α

2

1−α

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Démonstration

Par symétrie de la courbe def :

P(−u6Z6u) = 2×P(06Z6u) = 2×Ru

0 f(x)dx= 2G(u).

oùGest la primitive def surRqui s’annule en 0, etuun nombre réel strictement positif.

1.

Justifier queGest continue et strictement croissante sur

0 ; +∞

et calculer lim

u→+∞2G(u).

2.

Appliquer le théorème de la bijection à la fonction2Gpour conclure.

(27)

Méthode (pour déterminer u

_α

)

Dans la pratique, on détermineuαà la calculatrice ou l’ordinateur à l’aide du mode « Inverse Normale », ou à l’aide des tables.

Exercice 6

SoitZ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

Dans chacun des cas suivants, déterminer le nombreu >0(arrondi à 10⁻² près) grâce à la table donnée en page 10 puis vérifier à l’aide de la calculatrice.

Chaque situation sera illustrée d’un schéma.

1.

P(Z6u) = 0,7881

2.

P(Z>u) = 0,305

3.

P(−u6Z6u) = 0,8664

4.

P(−u6Z6u) = 0,3255

(28)

Exercice 7

SoitX une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance7,2 et d’écart-type1,2.

1.

CalculerP(6,56X 67.9).

2.

Déterminer un intervalleI centré en7,2 tel queP(X ∈I) = 0,5.

3.

Déterminer une valeur approchée à10⁻²près du réel atel que :

1 P(X6a) = 0,4013

2 P(X>a) = 0,96

3 P(66X 6a) = 0,2475

4 P(a6X65,5) = 0,0244

(29)

Exercice 8 (Quand σ est inconnu...)

X est une variable aléatoire qui suit la loi normaleN 70 ; σ²

. On sait que P(X 6100) = 0,9. On cherche la valeur de l’écart-typeσ.

1.

Compléter :P(X 6100) =P

X−70 σ 6. . .

=. . .

2.

Quelle est la loi suivie parZ= X−70 σ ?

3.

Déterminer une valeur approchée à10⁻²près du nombre réel u >0 tel que P(Z6u) = 0,9.

4.

En déduire une valeur approchée deσ.

(30)

Exercice 9 (Fluorescence de la chlorophylle)

La valeurX de la fluorescence de la chlorophylle en milieu océanique, exprimée en millivolts, suit une loi normaleN µ;σ²

.

On a pu expérimentalement vérifier queP(X <39) = 0,9357et P(X <25,5) = 0,2266.

1.

Quelle loi suit la variable X−µ σ ?

2.

Déterminer un système vérifié parµetσ.

3.

En déduireµetσ.

(31)

Deux cas particuliers importants sont à connaître :

Propriété 5

Cas oùα= 5%

Le nombreu0,05>0 tel queP(−uα6Z6uα) = 0,95estu0,05≈1,96.

Cas oùα= 1%

Le nombreu0,01>0 tel queP(−uα6Z6uα) = 0,99estu0,01≈2,58.

−1,96 1,96 0,025 0,025

0,95

−2,58 2,58 0,005 0,005

0,99

(32)

Sommaire

(33)

Dans tout ce paragraphe,X_n désigne une variable aléatoire qui suit la loi binomialeB(n;p),Zn= Xn−np

pnp(1−p) désigne la variable aléatoire centrée réduite associée àXn, et Z désigne une variable aléatoire qui suit la loi normale N (0 ; 1).

Théorème 2 ( Moivre - Laplace )

Pour tous réelsaetb (aveca6b) on a :

n→+∞lim P(a6Z_n6b) =P(a6Z6b)

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Ce théorème exprime que, pournsuffisamment grand, on peut assimiler la loi discrète deZn à la loi continueN (0 ; 1). Plus précisément :

Corollaire

Si les trois conditionsn>30,np>5 etn(1−p)>5sont satisfaites, alors :

P a6 X_n−np pnp(1−p)6b

!

≈P(a6Z 6b)

On a aussi, de façon plus générale :

Corollaire (Approximation d’une loi binomiale par une loi normale)

Si les trois conditionsn>30,np>5 etn(1−p)>5sont satisfaites, alors : P(a6Xn 6b)≈P(a6X 6b)

oùX suit la loi normaleN µ;σ²

avecµ=np, espérance deXn, et σ²=np(1−p), variance deXn.

(35)

Remarque

On peut interpréter cela en disant que, sous les conditions ci-dessus, la loi binomialeB(n;p)peut être assimilée à la loi normale de même espérance et de même variance.

Remarque

En utilisant de telles approximations, une erreur est bien sûr commise par rapport à la valeur réelle. Pour réduire cette erreur, et ainsi améliorer la précision de l’approximation, on peut effectuer une «correction de continuité» ; mais ceci est hors programme en Terminale.

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Exercice 10

Une compagnie de taxis possède 100 véhicules. On considère que chacun des véhicules a une probabilité de 0,1 d’être en panne. SoitX le nombre de véhicules en panne dans cette compagnie.

1.

¹ Quelle est la loi deX?

2 CalculerP(06X65).

2.

On souhaite comparer ce résultat avec celui fourni par approximation.

1 Pourquoi peut-on utiliser les corollaires 2 et 3 ?

2 Méthode 1 :donner une approximation deP(06X 65)obtenue à l’aide du corollaire 2.

3 Méthode 2 :donner une approximation deP(06X 65)obtenue à l’aide du corollaire 3.

4 Comparer les résultats obtenus avec le résultat de la question 2.

(37)

Exercice 11 (Surbooking)

Les compagnies aériennes ont très souvent recours au « surbooking ». Étudions cette pratique sur un exemple.

Une compagnie utilise un avion pouvant transporter 300 passagers. Pour un vol donné, la probabilité pour qu’un passager ne se présente pas à l’embarquement^a est de 0,1.

Pour optimiser son remplissage, la compagnie accepte plus de 300 réservations, le risque étant que certaines personnes se présentent et ne puissent pas embarquer, auquel cas elle devra indemniser ces personnes.

1.

La compagnie accepte 324 réservations. On noteX la variable aléatoire correspondant au nombre de passagers se présentant effectivement.

1 Quelle est la loi deX, si on suppose que les comportements des passagers sont indépendants ?

2 Calculer la probabilité que la compagnie ne puisse pas embarquer tous les passagers :

F en utilisant la loi deX;

F en effectuant une approximation de la loi deX par une loi normale.

a. Cela arrive pour diverses raisons : empêchements imprévisibles, réservation des

(38)

Exercice 11 (suite)

2.

La compagnie décide d’optimiser le surbooking de la façon suivante : elle souhaite limiter à1%le risque de ne pouvoir embarquer tous les passagers qui se présentent.

Déterminer le nombre maximum de places qu’elle peut proposer à la réservation.

(39)