²LOIS NORMALES.

²LOIS NORMALES.

En bleu : ce qui aurait pu être dit à l oral. Ce n est pas toujours rigoureux !

En violet : ce qui est un peu plus compliqué, ce n est pas grave si vous ne le comprenez pas.

En orange, les numéros des exercices. Certains seront dans le plan de travail. D autres, parfois plus difficiles ne sont que pour les volontaires. Les exercices sont ceux du chapitre 14 du livre.

I. Introduction.

L introduction est pour votre culture et sera très utile à ceux qui se dirigeront vers la médecine ou les sciences expérimentales. Essayez de la lire et de la comprendre, elle ne demande pas de connaissances mathématiques.

Voici quelques exemples de courbes provenant de la vie quotidienne :

La répartition du QI dans la population Le poids d une population de chatons

La distribution des niveaux de vie mensuels L âge des dirigeants de sociétés en France en France en 2004 (en % du total)

On remarque que ces courbes sont des courbes en forme de cloche. On retrouve souvent cette forme de courbe lorsqu on étudie des phénomènes naturels.

Ces courbes servent, par exemple, à définir des normes :

Si vous avez déjà regardé une feuille de résultats de prise de sang, vous avez vu qu'il y a le résultat de l'analyse et, généralement, des "valeurs de référence" avec une borne inférieure et une borne supérieure (ou, parfois, seulement une des deux). Ce qui donne quelque chose du genre :

Glycémie : 1.05 (valeurs de référence 0.82 - 1.15) Cela signifie que le patient a une glycémie de 1,05.

On considère qu il y a un souci lorsque la valeur n est pas comprise entre les valeurs de référence.

Comment ces "valeurs de référence" sont-elles définies ? Et que signifient-elles ? Prenons un exemple simple à comprendre. Quelle est la taille "normale" des hommes en France ? Comment la définir ? En fait, c'est assez facile.

On va prendre au hasard 1 000 hommes a priori en bonne santé et on va les mesurer. Une fois que l'on aura reporté toutes les tailles, on va les mettre dans un tableau et on pourra même faire une courbe. Il y a de grandes chances que cette courbe ressemble à ça :

C'est ce qu'on appelle une "courbe de Gauss" ou "courbe normale"

ou, plus prosaïquement, une "courbe en cloche".

On voit que, parmi ces 1 000 hommes, il y en a quelques-uns qui sont vraiment petits, d'autres vraiment grands, et qu'il y en a un grand nombre autour de valeurs moyennes.

Et, donc c'est quoi la norme ?

Eh bien, par convention (et il est très important de comprendre qu'on parle d'une convention arbitraire), on va enlever les 2,5% les plus petits et les 2,5% les plus grands et on va dire que la "norme", ce sont les 95% qui sont entre ces deux bornes.

Pour toutes les données biologiques, le raisonnement est le même et on aura toujours une courbe de répartition de ce type (plus "pointue"

ou plus étalée selon qu'il s'agisse d'une valeur biologique plus ou moins finement régulée par l'organisme). Ce raisonnement peut s'appliquer dans bien d'autres domaines d'ailleurs. En météorologie par exemple.

Est-ce que cela signifie que si l'on mesure 1m64 ou 1m89, on est "anormal" ou, pire encore, "malade" ? Non, certainement pas. À la limite, on peut simplement dire que l'on est "hors norme".

Par définition, la "norme" ce sont les 95% qui sont autour de la moyenne. A contrario, cela veut donc dire que, pour une valeur donnée, 5% des personnes en bonne santé sont "hors norme". De plus, la norme dépend de l échantillon de 1000 hommes choisi au départ. Si on change d échantillon, on n aura pas exactement la même norme (même si elle ne changera que très peu car vous avez vu en seconde que si l échantillon est grand, les valeurs fluctuent peu).

Si l’on est en bonne santé et que l’on fait un bilan biologique avec 15 analyses différentes, la probabilité d avoir au moins un résultat "anormal" est 1 0,95 ¹⁵ 0,54, soit plus de 50% (car pour chaque mesure effectuée, "on a 5% de chances d être hors de la norme" même si on n a pas de souci).

C est pourquoi il ne faut pas faire d analyses sans bonne raison de supposer un problème car on risque de détecter beaucoup de faux problèmes et de traiter inutilement.

[d’après un article de nouvelobs.com]

Si on choisit un homme au hasard et qu on note X la variable aléatoire correspondant à sa taille en cm, la probabilité que X soit compris entre 170 et 176 sera intuitivement proportionnelle à l aire sous la courbe ci-dessus entre les droites verticales d équations x 170 et x 176. On peut donc imaginer que X suit une loi de densité f où f est une fonction dont la courbe est "en cloche".

II. De la loi binomiale à la loi normale.

Cette partie est un peu plus difficile à comprendre mais cela ne vous empêchera pas de comprendre la suite.

On considère une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.

On se rappelle qu on a alors E( X) np et l écart type de X est ( X) np (1 p)

On construit l histogramme de cette loi (en abscisse les valeurs de k et en ordonnée les probabilités P( X k)).

On remarque qu en faisant varier n, la cloche se décale de gauche à droite.

On pose alors Y X np.

On a E (Y ) E (X np ) E (X ) np car np est une constante

X suit la loi binomiale de paramètres n et p donc E(X ) np et donc E (Y ) np np 0 : on dit que la variable Y est alors centrée.

Une variable aléatoire est centrée lorsque son espérance est nulle.

Voici l histogramme de Y :

L histogramme de Y est centré sur l axe des ordonnées.

On pose Z Y

= X np

np(1 p) On a alors (on l admet) E (Z) 0 et ( Z) 1. La variable Z est centrée et réduite.

Voici l histogramme de Z pour différentes valeurs de n :

n 22 n 74 n 254

Pour des grandes valeurs de n l’histogramme de la variable Z décrit une courbe en cloche.

Cette courbe est proche de celle de la fonction définie sur par ( x) 1 2 e

x

2 .

On va alors assimiler Z à une variable aléatoire suivant la loi de densité .

On parle de loi normale lorsque l’on a une variable aléatoire continue dépendant d’un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est prépondérante (chercher ce mot dans le dictionnaire si vous ne le connaissez pas) (conditions de Borel). Historiquement, cette loi

acquiert sa forme définitive avec Gauss (en 1809) et Laplace (en 1812). C’est pourquoi elle porte

également les noms de : loi de Laplace, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss.

La distribution normale est une distribution théorique, en ce sens qu'elle est une idéalisation

mathématique qui ne se rencontre jamais exactement dans la nature. Mais de nombreuses distributions réellement observées s’en rapprochent et ont cette fameuse forme de « cloche » (beaucoup d’individus autour de la moyenne, de moins en moins au fur à mesure qu’on s’en éloigne, et ceci de façon

symétrique).

Dans le cas ci-dessus (à partir de la loi binomiale), on obtient une courbe centrée sur l axe des

ordonnées (l espérance de la variable aléatoire est 0). Dans la nature, la cloche n est généralement pas centrée en 0 et l écart type n est généralement pas égal à 1. Cependant, les courbes ont la même forme (plus ou moins décalées vers la droite ou la gauche et plus ou moins larges ou étroites).

Nous allons dans la suite étudier différentes lois continues dont les fonctions de densité ont ce type de courbes. Ce sont les lois normales. Nous commencerons par étudier la loi dont la densité est la courbe de la fonction précédente puis nous l utiliserons pour les autres lois normales.

Comme pour la loi exponentielle, l énoncé vous précise que la variable aléatoire étudiée suit une loi normale. Vous ne pouvez pas le démontrer comme pour la loi binomiale.

III. Loi normale centrée réduite.

1. Définition.

Définition : Une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite lorsque sa densité de probabilité est la fonction définie sur IR par : (x) = 1

2 e

x² 2 .

Remarques :

 La courbe de est la courbe de Gauss ou courbe en cloche.

 est continue et strictement positive sur IR et on admet que l aire totale sous la courbe est égale à 1.

est donc bi en une foncti on de densi té.

On a alors, d après le chapitre sur les lois à densité, pour tous réels a et b tels que a b, P( a Z b )  

a

b (t )dt aire du domaine sous la courbe de entre les droites d équations x a et x b.

P(a Z b)=aire de la partie colorée.

Il n est pas possible de déterminer une forme explicite de primitives de la fonction . On utilisera donc la courbe, des tables ou la calculatrice pour donner une valeur approchée des intégrales.

La courbe représentative de est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et l aire sous la courbe de est 1 donc

P( Z 0) P( Z 0) P(Z 0) P (Z 0) 1 2

.

Rappel : pour les lois à densité, que ce soit ou n a pas d importance.

Plus que l expression de la fonction (peu utile car on ne connaît pas de primitive), vous devez connaître l allure de la courbe de .

6 page 413

Dans la suite, Z est une variable aléatoire suivant la loi normale standard.

2. Espérance et variance de la loi normale standard.

Défini tion : E( Z) lim

x

 

x

0 t (t )dt + lim

y  

0

y t ( t )dt

Propriété (admise) : Si la variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite, alors E (Z ) 0 et (Z ) 1 (ce qui justifie son nom : centrée car son espérance est nulle et réduite car son écart type est 1)

La loi normale centrée réduite est notée N (0 1).

On peut donc écrire Z N (0 1) qui se lit "Z suit la loi normale centrée réduite".

3. Calculs de probabilités.

Propriétés : Pour tout réel a :

P( Z a ) P( Z a) 1 P (Z a) P( a Z a ) 2 P( Z a) 1

P( a Z a) P (Z a ) P (Z a ) P( Z a) P( Z a ) P( Z a) (1 P( Z a )) 2P( Z a) 1

Exemples :

Chercher les exemp les avan t d e regard er la correcti on. Ai dez -vous d un e figu re !

On donne P(0 Z 1) 0,34

En utilisant la courbe de la fonction : 1. Calculer P ( 1 Z 1)

2. Calculer P ( 1 Z 0) 3. Calculer P (Z 1) 4. Calculer P (Z 1) 5. Calculer P (Z 1) Correction des exemples :

On sait que P (0 Z 1) 0,34 c'est-à-dire que l aire de la partie en rose ci-dessous est 0,34.

On va donc à chaque fois essayer de se ramener à cette probabilité. On va aussi utiliser le fait que les aires sous la courbe avant et après l axe des ordonnées sont égales à 0,5. On a les schémas ci-dessous :

1. On cherche P( 1 Z 1), c'est-à-dire l aire de la partie hachurée sur le graphique ci-dessous.

La courbe de étant symétrique par rapport à l axe des ordonnées,

on a P ( 1 Z 1) 2 P(0 Z 1) 2 0,34, c'est-à-dire

P( 1 Z 1) 0,68

2. On cherche P( 1 Z 0), c'est-à-dire l aire de la partie hachurée sur le graphique ci-dessous.

La courbe de étant symétrique par rapport à l axe des ordonnées, on a P( 1 Z 0) P(0 Z 1), c'est-à-dire P( 1 Z 0) 0,34

3. On cherche P( Z 1), c'est-à-dire l aire de la partie hachurée sur le graphique ci-dessous.

On a vu que l aire sous la courbe après l axe des ordonnées est 1

2 (car la courbe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées et l aire totale sous la courbe est 1). Donc l'aire de la partie hachurée en bleue est égale à 0,5 l aire de la partie rose :

P( Z 1) 0,5 P (0 Z 1) 0,5 0,34, c'est-à-dire P( Z 1) 0,16

4. On cherche P( Z 1), c'est-à-dire l aire de la partie hachurée sur le graphique ci-dessous.

On a vu que l aire sous la courbe avant l axe des ordonnées est 1 2 (car la courbe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées et l aire totale sous la courbe est 1). Donc l'aire de la partie hachurée en bleue est égale à 0,5 l aire de la partie rose :

P( Z 1) 0,5 P (0 Z 1) 0,5 0,34, c'est-à-dire P( Z 1) 0,84

5. On cherche P( Z 1), c'est-à-dire l aire de la partie hachurée sur le graphique ci-dessous.

La courbe étant symétrique par rapport à l axe des ordonnées, l aire cherchée est la même que celle du domaine hachuré en vert sur le graphique ci-dessous :

On a vu que l aire sous la courbe après l axe des ordonnées est 1

2 (car la courbe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées et l aire totale sous la courbe est 1). Donc l'aire cherchée est égale à 0,5 l aire de la partie rose :

P( Z 1) 0,5 P(0 Z 1) 0,5 0,34, c'est-à-dire P (Z 1) 0,16

1 page 413 (en admettant que P(Z< 2,3) 0,011 et P(Z<2,9) 0,998 pour la question 1.

4. Intervalle centré en 0 de probabilité donnée.

Propriété : Détermination d’un intervalle centré en 0 de probabilité donnée

Si Z est une variable aléatoire qui suit la loi N (0 1), alors pour tout nombre réel  ]0 1[, il existe un

unique réel u 0 tel que P u Z u 1 .

Démonstration :

L énoncé du théorème (il existe un unique réel…) fait penser qu on peut essayer d utiliser le TVI pour le prouver.

Soit t un réel positif.

On pos e F( t) P ( t Z t) 2P(0 Z t) 2  

0

t (x)dx F(t) aire de la partie colorée en vert.

Alors F est dérivable sur + et F 2 ( voir cours sur le calcul intégral ).

* F est continue et strictement croissante car sa dérivée est 2 : t e

t ²

2 0.

* F(0) P (Z 0) 0

* lim

t

F( t) 1 ( aire sous la courbe de ).

De plus, pour tout nombre réel  de ]0 ; 1[, 1   ]0 1[ (si un nombre est entre 0 et 1, 1 ce nombre est aussi entre 0 et 1) donc il existe un unique u 0 tel que F (u ) 1 , c’est-à-dire tel que

P u Z u 1

Cas particuliers à connaître :

u _0,05 1,96 u _0,01 2,58

P ( Z[ 1,96 1,96] ) 0,95 P ( Z[ 2,58 2,58] ) 0,99

Nous allons maintenant étudier les autres lois normales, "fabriquées" à partir de la loi normale centrée réduite et dont les courbes sont aussi en cloche.

IV. Loi normale N ( ; ²).

1. Définition.

Définition :  désigne un réel et  un réel strictement positif.

La variable X suit la loi normale de paramètres  et ², notée N ( ; ²),lorsque la variable aléatoire centrée réduite X

suit la loi N (0 ; 1).

Soit Z X

alors X Z .

Pour obtenir une variable aléatoire suivant une loi N ( ; ²), on prend une variable aléatoire suivant la loi N (0 ; 1), on la multiplie par et on ajoute .

Propriété admise : Soit X est une variable aléatoire qui suit la loi N ( ; ²), alors son espérance est  et son écart-type est .

Attention, dans la parenthèse, on a ². Il faut donc calculer en prenant la racine car 0.

Remarque : Une loi normale N ( ; ²) est une loi à densité, il existe une fonction g définie sur IR telle que pour tous réels a et b, P(a  X  b) ^b ( )

a g t dt

 . L’expression de g n’est pas au programme.

L’allure des courbes de densité est entièrement déterminée par les valeurs de  et  : Influence de :

Lorsq u on fait

varier , la courbe "se déplace vers la gauche ou vers la droite"

La courbe est symétrique par rapport à la droite d’équation x μ. Ceci est très important à retenir car ce sera très utile dans les exercices.

L aire sous la courbe est 1 (fonction de densité).

On a donc : P( Z ) P (Z ) P (Z ) P ( Z ) 1 2

L’espérance  est un paramètre de position, il localise la zone où les réalisations de X ont le plus de chance d’apparaître.

Influence de :

Lorsqu on fait varier , la courbe est plus ou moins aplatie.

L’écart-type  est un paramètre de dispersion. Plus  est faible, moins les réalisations de X sont dispersées autour de .

Attention : on peut lire sur le graphique (c est l abscisse qui correspond à l axe de symétrie) mais on ne peut pas lire . On peut juste comparer les écarts-type de deux lois : plus la courbe est aplatie, plus l écart-type est grand.

2. Calculs de probabilité :

On ne connaît pas de primitive de la fonction de densité donc on ne peut pas calculer les probabilités "à la main". C est la calculatrice qui le fait. Voici le mode d emploi :

Utilisation de la calculatrice pour calculer P( a Z b ):

Casio : TI :

Menu Stat Distrib (shift + var)

Choisir DIST : touche F5 Choisir normalcdf( ou normalFrep

Choisir NORM : touche F1 Entrer a, b, , en séparant par des virgules.

Choisir Ncd : touche F2 Data : choisir Variable

Lower : entrer la valeur de a Attention : Sur les Casio, on rentre σ avant μ Upper : entrer la valeur de b alors que c’est le contraire dans le nom

: entrer de la loi dans l énoncé.

: entrer

Exemple :

Chercher l exempl e avan t d e regard er l a correcti on. Aid ez -vous d un e figu re ! Dans tous les exemples qui suivent, X suit la loi (2;9). Les résultats seront si nécessaires arrondis au millième.

1. Déterminer .

2. Calculer P ( 1 X 2) 3. Calculer P (X 1) 4. Calculer P (X 2,5) 5. Calculer P (X 0,4) 6. Calculer P ( X 2,4) Correction de l exemple :

1. X suit la loi (2;9) donc ² 9. Or 0 donc 9 3.

2. A la calculatrice, on obtient P( 1 X 2) 0,341 :

3. On cherche P( X 1).

La calculatrice ne nous donne que la probabilité que X soit compris entre deux nombres (il faut rentrer Lower et Upper). Il nous faut donc nous ramener à ce cas. Pour cela, nous allons utiliser la courbe de la fonction de densité.

Nous savons qu elle est centrée sur et ici 2. On trace à la main l allure de la courbe en la centrant bien sur 2.

On utilise la courbe de la fonction de densité de X qui a pour axe de symétrie la droite d’équation x 2.

On trace la courbe à main levée (l écart type n a pas d importance, seul compte le fait qu elle soit symétrique par rapport à la droite d équation x 2)

On cherche P( X 1) qui est l aire de la partie hachurée en rouge ci-dessous :

L aire à gauche de la droite bleue est 0,5 donc on a P (X 1) 0,5 P(1 X 2)

On peut maintenant utiliser la calculatrice pour calculer P (1 X 2).

A la calculatrice, on obtient P (1 X 2) 0,131 Alors P( X 1) 0,5 0,131, c'est-à-dire

P (X 1) 0,369 4. On cherche P( X 2,5)

On utilise à nouveau la courbe pour se ramener à une probabilité que l on peut calculer à la calculatrice.

On cherche P( X 2,5) qui est l aire de la partie hachurée en rouge ci-dessous : L aire à gauche de la droite bleue est 0,5 donc on a

P( X 2,5) 0,5 P(2 X 2,5)

On peut maintenant utiliser la calculatrice pour calculer P (2 X 2,5).

A la calculatrice, on obtient P(2 X 2,5) 0,066

Alors P( X 2,5) 0,5 0,066, c'est-à-dire

P( X 2,5) 0,566

5. On cherche P( X 0,4)

On utilise à nouveau la courbe de la fonction pour utiliser à une probabilité que l on peut calculer à la calculatrice.

On cherche P( X 0,4) qui est l aire de la partie hachurée en rouge ci-dessous : L aire à droite de la droite bleue est 0,5 donc on a

P(X 0,4) 0,5 P(0,4 X 2)

On peut maintenant utiliser la calculatrice pour calculer P(2 X 2,5).

A la calculatrice, on obtient P(0,4 X 2) 0,203

Alors P( X 0,4 ) 0,5 0,203, c'est-à-dire P(X 0,4) 0,703

6. On cherche P( X 2,4)

On utilise à nouveau la courbe de la fonction pour utiliser à une probabilité que l on peut calculer à la calculatrice.

On cherche P( X 2,4) qui est l aire de la partie hachurée en rouge ci-dessous : L aire à droite de la droite bleue est 0,5 donc on a

P (X 2 ,4) 0,5 P (2 X 2,4)

On peut maintenant utiliser la calculatrice pour calculer P (2 X 2,5).

A la calculatrice, on obtient P (2 X 2,4) 0,053 Alors P( X 2,4 ) 0,5 0, 053, c'est-à-dire P (X 2,4) 0,447

2, 11, 12, 46 questions a,b,c, 47.

3. Déterminer la valeur de a telle que P (X a) p ou P (X a) p, où p est donné.

Parfois, on connaît la probabilité et on cherche l intervalle. La calculatrice permet de déterminer le réel a en connaissant P (X a ) ou P( X a ) (ou ou puisque le "ou égal" n a pas d importance)

Casio : TI (pour P (X a ) p ) :

Menu Stat Distrib

Choisir DIST : touche F5 Choisir FracNormale

Choisir NORM : touche F1 Entrer p, , en séparant par des virgules.

Choisir InvN : touche F2 Data : choisir Variable

Trail : choisir Left pour P (X a) et Right pour P(X a ) Area : entrer la valeur de p

: entrer : entrer

Exemple 1: La variable aléatoire X suit la loi (3 4).

Chercher l exempl e avan t d e regard er l a correcti on. Aid ez -vous d un e figu re ! 1. Déterminer

2. Sans la cal culatri ce , en util isant l e cours, déterminer l a valeur du réel a tel que P( X a ) 0,5.

3. A l a calcul atri ce, dét erm iner la val eur du réel b tel que P (X b ) 0,3.

4. A l a calcul atri ce, dét erm iner la val eur du réel c tel que P (3 X c) 0,3.

Correction de l exemple :

1. X suit la loi (3 4) donc ² 4. or 0 donc 2.

La courbe de la fonction de densité de X a l allure ci-contre : Elle est symétrique par rapport à la droite d équation x 3.

On la trace à main levée, l écartement n a pas d importance, il suffit que la courbe soit "centrée sur 3".

2. On cherche a tel que P (X a) 0,5.

On sait que P (X ) 0,5 donc, ici, a 3.

3. On cherche b tel que P (X b) 0,3.

A la calculatrice, on obtient b 1,951 :

4. On cherche c tel que P (3 X c) 0,3.

Ici, on ne peut pas utiliser directement la calculatrice car on doit connaître P( X c ) ou P (X c).

On sait que l aire à droite de la droite bleue est 0,5. On a donc P( X c ) 0,5 0,3 0,8.

On peut m aintenant chercher c à l aide de la calculatrice.

On obtient c 4,683

Exemple 2: Plus difficile.

La variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite. Retrouver la valeur de u 0,05 . Rappel : u 0,05 est le réel tel que P ( ^{u 0,05 Z u 0,05} ) ^{1 0,05 0,95.}

On cherche à se ramener à P ( ^{Z u 0,05} ) pour pouvoir utiliser la calculatrice.

La courbe étant s ym étrique par rapport à l axe des ordonnées (ici 0), on a :

P ( ^{Z u 0,05} ) ^{1 0,95}

2 0,025

On peut maintenant utiliser la calculatrice comme dans l exemple précédent et on obtient u 0,05 1,96, c'est-à-dire u 0,05 1,96.

On retrouve bien le résultat à connaître de la page 7.

7 page 414

4. Probabilités à connaître.

Propriété : Soit X une variable aléatoire suivant la loi N ( ; ²). On a :

P X [ ] 0,68 P X [ 2 2 ] 0,95 P X [ 3 3 ] 0,997

Refaire l exercice 46 page 426 (questions a à e) sans calculatrice et en arrondissant avec deux décimales.

5. Exemples.

Chercher les exemp les avan t d e regard er la correcti on. I ls sont tou s à savoi r refaire.

Si nécessai re, l es r ésultats seront arr on dis à 10 ³ .

Exemple 1. Une cantine sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne la masse en grammes des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale N (120 225). Les proabilités seront arrondies au millième.

1. Quelle est la masse moyenne d une ration de viande ?

2. Quelle est la probabilité pour qu une ration de viande ait une masse comprise entre 110g et 135g.

Exemple 2. Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes.

Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.

La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale dont la fonction de densité est représentée ci-contre et d’écart-type 11.

1. Déterminer graphiquement l espérance de X.

2. Calculer P (390 X 410).

3. Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.

4. Sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée de P (367 X 433).

Exemple 3. Calculer un écart-type.

X est une variable aléatoire qui suit N (5 ²) On sait que P (X 8) 0,92. Déterminer . Exemple 4. Calculer une espérance.

X est une variable aléatoire qui suit N ( 3²) On sait que P (X 8) 0,8. Déterminer .

Correction des exemples : Exemple 1.

1. X suit la loi normale N (120 225) donc E (X ) 120. La masse moyenne d une ration est 120g.

2. Il faut d abord chercher pour pouvoir utiliser la calculatrice ! 225 15.

A la calculatrice, on obtient P (110 X 135) 0,589 (voir mode d emploi page 8). Si vous ne trouvez pas ce résultat, vous pouvez avoir inversé et ou avoir rentré 225 au lieu de 15 pour . La probabilité pour qu une ration de viande ait une masse comprise entre 110g et 135g est environ 0,589.

Exemple 2.

1. On remarque que la courbe de la fonction de densité est symétrique par rapport à la droite d équation x 400 donc l espérance de X est 400.

2. On utilise la calculatrice, avec 11 et 400. On obtient P(390 X 410) 0,637.

3. On cherche P( X 385). On ne peut pas utiliser directement la calculatrice car il faut "X compris entre deux nombres". On utilise la courbe pour se ramener à ce cas :

L aire à droite de la droite bleue est 0,5 donc P (X 385) 0,5 P(385 X 400)

On peut calculer à la calculatrice P (385 X 400). On obtient P (385 X 400) 0,414

P (X 385) 0,5 0,414, c'est-à-dire P (X 385) 0,914

La probabilité qu un pain soit commercialisable est environ 0,914.

4. Dans cette question, on ne peut pas utiliser la calculatrice donc il faut sans doute utiliser une des valeurs remarquables du cours. X suit une loi normale mais pas centrée réduite donc on va chercher à utiliser une des valeurs remarquables de la page 12.

On remarque que 367 400 33 400 3 11 et 433 400 33 400 3 11.

Alors P (367 X 433) P(400 3 11 X 400 3 11) P ( 3 X 3 )

D après la valeur à connaître (page 12), on a P( 3 X 3 ) 0,997.

Ainsi , P (367 X 433) 0,997.

Exemple 3.

On ne peut pas utiliser la calculatrice car on ne connaît pas . On se ramène donc à une loi centrée réduite N (0 1 ) en utilis ant le fait que X

suit la loi N (0 1) On pose Z X 5

. D après le cours, Z suit la loi N (0 1).

X 8  X 5 3  X 5 3  Z 3

on di vi se par sans c han ger l e sens car 0.

Les événements X 8 et Z 3

sont équivalents donc ils ont la même probabilité.

On a donc P

 

 

Z ³ 0,92 avec Z qui suit la loi N (0 1 ).

On peut m ai nt enant ut i l i ser l a cal cul at ri ce ( avec 0 et 1) avec la méthode de la page 10.

On obtient 3

1,405 et donc 3

1,405 , c'est-à-dire 2,135.

Exemple 4.

X est une variable aléatoire qui suit N ( 3²) On sait que P (X 8) 0,8. Déterminer .

On ne peut pas utiliser la calculatrice car on ne connaît pas . On se ramène donc à une loi centrée réduite N (0 1 ) en utilis ant le fait que X

suit la loi N (0 1) On pose Z X

3 . D après le cours, Z suit la loi N (0 1).

X 8  X 8  X

3

8

3  Z 8

3 On a donc P

 

 

Z ⁸

3 0,8.

Z suit une loi (0 1 ) donc on connaît 0 et 1 et on peut donc utiliser la méthode de la page 10 avec la calculatrice, comme dans l exemple 3.

On obtient 8

3 0,8416 donc 8 2,5248 donc 8 2,5248, c'est-à-dire 5,475.

Méthode à retenir pour les exemples 3 et 4 : lorsqu on cherche un paramètre, on se ramène à une loi centrée réduite N (0 1) en uti lisant l e fait que X

suit la loi N (0 1 ).

Pour des exemples qui ressemblent aux exemples 3 et 4, vous pouvez regarder la vidéo https://www.youtube.com/watch?v=OSqcC7jGmRg

57 (question a), 58 (question a) page 427

V. Fluctuation.

Dans cette partie, les exercices sont ceux du chapitre 15 du livre.

Une urne contient 60% de boules blanches et des boules d autres couleurs.

La proportion de boules blanches est p 0,6.

On choisit 100 boules avec remise dans l urne et on calcule la fréquence de boules blanches parmi les 100 boules. On répète 20 fois cette expérience (on choisit donc 20 fois 100 boules)

Voici les fréquences de boules blanches obtenues :

On constate que les fréquences fluctuent d un échantillon à l autre. Cependant, elles ne s éloignent pas beaucoup de 0,6 qui est la fréquence théorique.

En faisant la même expérience avec des échantillons de taille 1000, on remarquerait que les fréquences sont encore plus regroupées autour de 0,6.

Un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes d une même expérience aléatoire.

La fréquence varie suivant les échantillons : c est la fluctuation d échantillonnage.

Lorsque la taille des échantillons augmente, la fluctuation d'échantillonnage diminue et la fréquence du caractère se rapproche de p.

Dans cette partie, nous allons chercher à répondre à la question suivante :

Une entreprise annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans sa production est égal à 1%.

Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. Étant donné le grand nombre de moteurs fabriqués, on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise ?

Parmi les 800 moteurs choisis, 15 sont défectueux soit 15

800 1,875%. C est plus que les 1% annoncés.

Cependant, on n a pas testé tous les moteurs donc on se doute bien qu on ne va pas avoir exactement 1%

de moteurs défectueux dans l échantillon choisi.

- Si on avait obtenu 10% de moteurs défectueux, on serait persuadé que l annonce de l entreprise était fausse. Alors qu il serait possible qu on n ait pas eu de chance et qu on ait choisi les seuls 800 moteurs défectueux de l usine.

- Si on avait obtenu 1% de moteurs défectueux, on penserait facilement que l annonce de l entreprise était juste. Alors qu il serait possible que 70% des moteurs de la production soient défectueux mais qu on ait eu de la chance.

Il faut bien être conscient qu il n y a pas de moyen d être sûr que l affirmation est vraie ou fausse, à moins de tester tous les moteurs. On peut seulement essayer de répondre à la question avec une bonne probabilité.

- Ici, on a 1,875% de moteurs défectueux. C est plus que 1% mais pas énormément. Il est donc difficile de conclure de façon intuitive. Il faut pourtant bien prendre une décision. C est ici que les maths

interviennent !

1. Théorème de Moivre-Laplace.

Difficile

Théorème de Moivre-Laplace (admis) : X n est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p et Z n est la variable aléatoire définie par Z n

X n E ( ) ^X n

( ) ^X n

X n np np (1 p) Alors, pour tous réels a et b avec a b, lim

n

P( a Z _n b) P (a Z b ), où Z suit la loi N (0 1).

Autrement dit, la loi binomiale se rapproche de la loi normale de même esp et même lorsque n est gd.

2. Intervalle de fluctuation.

Théorème : Soit X n une variable aléatoire suivant la loi B( n p ) et F n

X n

n la fréquence de succès.

Pour tout de ]0 1[, on pose I n  

  p u ^{p (1 p )}

n p u ^{p(1 p)}

n où u est le réel > 0 défini dans le II tel que P u Z u 1 , où Z suit la loi N (0 1).

Alors lim

n

P ( ^{F n ϵI n} ) ^{1 . I n} est l intervalle de fluctuation asymptotique de F n au seuil 1 .

Démonstration : On pose Z n

X n np np (1− p) . F _n ϵI n p− u p(1− p)

n X n

n p u ^{p (1−p )} n u Z n u

D après le th de Moivre-Laplace, lim

n

P u Z n u P u Z u où Z suit la loi N (0 1) Or, par définition de u , P u Z u 1 . Ai nsi, lim

n

P ( ^{F n ϵI n} ) ^{1 .}

On admet que l approximation P   

  F n ϵ    

  p u p(1 p ) 

n p u p(1 p )

n 1 peut être

pratiquée dès que n 30 ; np 5 et n (1 p ) 5.

Cas particulier : On utilise le plus souvent l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%

( 5%) : on a vu que u 0,05 1,96.

Dans ce cas, lim

n

P  

  F _n ϵ

 

  p 1,96 ^{p(1 p)}

n p 1,96 ^{p (1 p )}

n 0,95

En fait, u 0,05 1,95 donc :

Pour n 30 ; np 5 et n (1 p ) 5, on peut affirmer que la probabilité que F _n appartienne à

 

  p 1,96 ^{p(1 p )}

n p 1,96 ^{p(1 p)}

n est légèrement supérieure à 0,95.

3. Prise de décision.

Méthode à retenir

Au sein d une population, on suppose que la proportion d un certain caractère est p. On souhaite juger cette hypothèse. Pour cela, on prélève dans la population au hasard et avec remise un échantillon de taille n. On note f obs la fréquence du caractère dans cet échantillon (fréquence observée).

Si n 30 ; np 5 et n(1 p) 5, on détermine l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : I n  

  p 1,96 ^{p (1 p )}

n p 1,96 ^{p(1 p )} n

Si f obs appartient à l intervalle de fluctuation, l hypothèse est acceptée au seuil de 95%.

Si f obs n appartient pas à l intervalle de fluctuation, on rejette l hypothèse au seuil de 95%.

Remarque : le risque de rejeter une population conforme est inférieur à 5%.

On reprend l exemple du début du paragraphe : Une entreprise annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans sa production est égal à 1%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont

prélevés au hasard. Etant donné le grand nombre de moteurs fabriqués, on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise ? (d après bac)

Ce qui est en noir est la rédaction à retenir.

On suppose que la proportion de moteurs défectueux est p 0,01.

p est la valeur que l on veut vérifier. On suppose que l affirmation est vraie car on va l utiliser pour la suite.

On a prélevé 800 moteurs : n 800.

n est la taille de l échantillon, donc le nombre d objets testés ou de personnes interrogées.

Parmi eux, 15 sont défectueux : f _obs 15 800 . f obs est la fréquence observée dans l échantillon.

On répète 800 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli consistant à choisir un moteur et à noter s il est indépendant. On a supposé que la proportion de moteurs défectueux est 0,01 donc la probabilité que le moteur choisi soit défectueux est 0,01.

La variable aléatoire X n correspondant au nombre de moteurs défectueux suit la loi B (800 0,01).

On vérifie que les conditions sont réalisées : n 800 30 ; np 8 5 et n (1 p ) 792 5 donc les conditions sont réalisées.

On détermine l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : I  

  0,01−1,96 0,01(1−0,01)

800 ;0,01+1,96 0,01(1−0,01)

800 soit environ [0,003 0,017]. (on arrondit la borne inférieure en dessous et la borne supérieure au dessus).

Cela signifie que, si 1% de l ensemble des moteurs sont défectueux, lorsqu on choisit 800 moteurs au hasard, on a 95% de chances qu il y en ait entre 0,3% et 1,7% de défectueux.

On applique la règle de décision pour conclure : 15

800 0,01875 n appartient pas à I donc on rejette l hypothèse que 1% des moteurs soit défectueux au seuil de 95% : le résultat du test remet en question l annonce de l entreprise.

Si l affirmation était vraie, on avait 95% de chances d avoir entre 0,3% et 1,7% de défectueux. On en a eu plus donc soit on est dans les 15% de "pas de chance" soit l affirmation est fausse. On va estimer que l affirmation est fausse, tout en ayant en tête qu on va accuser ainsi 5% des gens qui disent la vérité (risque d erreur de 5%).

Si f obs était dans l intervalle, on aurait accepté l affirmation, sachant qu il était aussi possible que ce soit dû à la chance alors que l affirmation était fausse. Dans ce cas, on ne peut pas estimer le risque d erreur.

On ne peut donc pas avoir de certitude. Cependant c est une méthode très souvent utilisée dans l industrie (tests à la sortie des chaines de fabrication), en médecine (tests sur des médicaments), en biologie …

1 et 3 page 443