LOIS NORMALES.
I. Introduction.
Voici quelques exemples de courbes provenant de la vie quotidienne :
La répartition du QI dans la population Le poids d une population de chatons
Répartition des conscrits en 1907 Age des dirigeants de sociétés en France Ces courbes sont des courbes en forme de cloche.
On parle de loi normale lorsque l’on a une variable aléatoire continue dépendant d’un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est prépondérante (conditions de Borel). Historiquement, cette loi acquiert sa forme définitive avec Gauss (en 1809) et Laplace (en 1812).
C’est pourquoi elle porte également les noms de : loi de Laplace, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss.
La distribution normale est une distribution théorique, en ce sens qu'elle est une idéalisation
mathématique qui ne se rencontre jamais exactement dans la nature. Mais de nombreuses distributions réellement observées s’en rapprochent et ont cette fameuse forme de « cloche » (beaucoup d’individus autour de la moyenne, de moins en moins au fur à mesure qu’on s’en éloigne, et ceci de façon
symétrique).
On considère une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.
En faisant varier n, la cloche se décale de gauche à droite.
On pose alors Y X np . On a E(Y) 0 : la variable est alors centrée.
On pose Z Y
=
X np np(1 p)
On a alors E(Z) 0 et (Z) 1. La variable Z est centrée et
réduite.
Pour des grandes
valeurs de n l’histogramme de la variable Z décrit une courbe en cloche.
Cette courbe est proche de celle de la fonction définie sur par (x) 1 2 e
x2 2.
II. Loi normale centrée réduite.
1. Définition.
Définition : Une variable aléatoire Z suit la loi normale standard ou loi normale centrée réduite lorsque sa densité de probabilité est la fonction définie sur IR par : (x) = 1
2e
x² 2. On a alors, pour tous réels a et b tels que a b, P(a Z b)
a
b (t)dt.
Remarques :
La courbe de est la courbe de Gauss ou courbe en cloche.
est continue et strictement positive sur IR et on admet que l aire totale sous la courbe est égale à 1.
est donc bi en une foncti on de densi té.
La probabilité que Z soit compris entre a et b est l’aire du domaine sous la courbe en cloche entre les droites d’équations x = a et x = b.
est paire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
En particulier P(Z 0) = 1 2.
Il n est pas possible de déterminer une forme explicite de primitives de la fonction . On utilise donc des tables ou la calculatrice pour donner une valeur approchée des intégrales.
Dans la suite, Z est une variable aléatoire suivant la loi normale standard.
2. Espérance et variance de la loi normale standard.
Défini tion : E(Z) lim
x
x
0t (t )dt + lim
y
0
yt (t)dt
Propriété (admise) : Si la variable aléatoire Z suit la loi normale standard, alors E(Z) …….. et (Z) …….. La loi normale standard est alors aussi appelée loi normale centrée réduite, notée N(0 1).
3. Calculs de probabilités.
Propriétés : Pour tout réel a :
P(Z a) P(Z a) 1 P(Z a) P( a Z a) 2P(Z a) 1 P( a Z a) P(Z a) P(Z a)
P(Z a) P(Z a) P(Z a) (1 P(Z a)) 2P(Z a) 1
Il n est pas possible de déterminer une forme explicite de primitives de la fonction . On utilise donc des tables ou la calculatrice pour donner une valeur approchée des intégrales.
Exemples :
On donne P(0 Z 1) 0,34
En utilisant la courbe de la fonction : 1. calculer P( 1 Z 1)
2. Calculer P( 1 Z 0)
3. Calculer P(Z 1)
4. Calculer P(Z 1)
5. Calculer P(Z 1)
4. Intervalle centré en 0 de probabilité donnée.
Propriété : Détermination d’un intervalle centré en 0 de probabilité donnée
Si Z est une variable aléatoire qui suit la loi N(0 1), alors pour tout nombre réel ]0 ; 1[, il existe un unique réel u > 0 tel que P u Zu 1 .
Démonstration à retenir :
Cas particuliers à connaître :
u0,05 1,96 u0,01 2,58
P(Z[ 1,96 1,96]) 0,95 P(Z[ 2,58 2,58]) 0,99
III. Loi normale N( ; ²).
1. Définition.
Définition : désigne un réel et un réel strictement positif.
La variable X suit la loi normale de paramètres et ², notée N( ; ²),lorsque la variable aléatoire centrée réduite X -
suit la loi N(0 ; 1).
Propriété admise : Soit X est une variable aléatoire qui suit la loi N( ; ²), alors son espérance est et son écart-type est .
Remarque : Une loi normale N( ; ²) est une loi à densité, il existe une fonction g définie sur IR telle que pour tous réels a et b, P(a X b) = b ( )
a g t dt
. L’expression de g n’est pas au programme.
L’allure des courbes de densité est entièrement déterminée par les valeurs de et : La courbe est symétrique par rapport à la droite d’équation x μ.
P(Z ) = ………….
L’espérance est un paramètre de position, il localise la zone où les réalisations de X ont le plus de chance d’apparaître.
L’écart-type est un paramètre de dispersion. Plus est faible, moins les réalisations de X sont dispersées autour de .
2. Calculs de probabilité :
Utilisation de la calculatrice pour calculer P(a Z b):
Casio : TI :
Menu Stat Distrib (shift + var)
Choisir DIST : touche F5 Choisir normalcdf( ou normalFrep
Choisir NORM : touche F1 Entrer a, b, , en séparant par des virgules.
Choisir Ncd : touche F2 Data : choisir Variable Lower : entrer la valeur de a Upper : entrer la valeur de b
: entrer : entrer Exemples :
Dans tous les exemples qui suivent, X suit la loi (2;9).
Déterminer .
Calculer P( 1 X 2)
Calculer P(X 1)
On utilise la courbe de la fonction qui a pour axe de symétrie la droite d’équation x μ, c'est-à-dire x 2.
Calculer P(X 2,5 )
On utilise la courbe de la fonction .
Calculer P(X 0,4)
On utilise la courbe de la fonction .
Calculer P(X 2,4)
On utilise la courbe de la fonction .
3. Déterminer la valeur de a telle que P(X a) p, où p est donné.
Casio : TI :
Menu Stat Distrib
Choisir DIST : touche F5 Choisir FracNormale
Choisir NORM : touche F1 Entrer p, , en séparant par des virgules.
Choisir InvN : touche F2 Data : choisir Variable Trail : choisir Left
Area : entrer la valeur de p : entrer
: entrer
Exemple 1: La variable aléatoire X suit la loi (3 4).
1. Déterminer
2. Sans la cal culat ri ce, en utilis ant l e cours, dét erminer l a val eur du réel a tel que P(X a) 0,5.
3. A l a calcul atri ce, dét erm iner la val eur du réel a tel que P(X a) 0,3.
4. A l a calcul atri ce, dét erm iner la val eur du réel b tel que P(X b) 0,3.
5. A l a calcul atri ce, dét erm iner la val eur du réel c tel que P(3 X c) 0,3.
Exemple 2: La variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite. Retrouver la valeur de u0,05.
4. Probabilités à connaître.
Propriété : Soit X une variable aléatoire suivant la loi N( ; ²).
On a :
P(Xϵ[ - ; + ]) …….. P(Xϵ[ -2 ; +2 ]) P(Xϵ[ -3 ; +3 ]) ……..
5. Exemples d application de la loi normale.
Exemple 1. Une cantine sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne la masse en grammes des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale N(120 225). Les proabilités seront arrondies au millième.
1. Quelle est la masse moyenne d une ration de viande ?
2. Quelle est la probabilité pour qu une ration de viande ait une masse comprise entre 110g et 135g.
3. Quelle est la probabilité pour que la masse d une ration de viande dépasse 130g ?
Exemple 2. Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes.
Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.
La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance 400 et d’écart-type 11.
1. Calculer P(390 X 410).
2. Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
3. Sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 10 2 près de P(367 X 433). Expliquer.
Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de sans modifier celle de .
4. En utilisant une variable aléatoire suivant la loi normale standard N(0 ; 1), déterminer la valeur de pour laquelle la probabilité qu’un pain soit commercialisable est égale à 96 %. On arrondira le résultat au dixième.
IV. Fluctuation.
1. Théorème de Moivre-Laplace.
Thérorème de Moivre-Laplace (admis) : Xn est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p et Zn est la variable aléatoire définie par Zn
Xn E( )Xn ( )Xn
Xn np np(1 p) Alors, pour tous réels a et b avec a b, lim
n
P(a Zn b) P(a Z b), où Z suit la loi N(0 1).
2. Intervalle de fluctuation.
Théorème : Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi B(n p) et Fn
Xn
n la fréquence de succès.
Pour tout de ]0 1[, on pose In
p u p(1 p)
n p u p(1 p)
n où u est le réel > 0 défini dans le II tel que P u Zu 1 , où Z suit la loi N(0 1).
Alors lim
n
P(FnϵIn) 1 . In est l intervalle de fluctuation asymptotique de Fn au seuil 1 .
Démonstration à connaître : au dos
On admet que l approximation P
Fnϵ
p u p(1 p)
n p u p(1 p)
n 1 peut être
pratiquée dès que n 30 ; np 5 et n(1 p) 5.
Cas particulier : On utilise le plus souvent l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
( 5%) : on a vu que u0,05 1,96.
Dans ce cas, lim
n
P
Fnϵ
p 1,96 p(1 p)
n p 1,96 p(1 p)
n 0,95
En fait, u0,05 1,95 donc :
Pour n suffisamment grand, on peut affirmer que la probabilité que Fn appartienne à
p 1,96 p(1 p)
n p 1,96 p(1 p)
n est légèrement supérieure à 0,95.
Remarque : Pour tout p compris entre 0 et 1, 1,96 p(1 p) 1. Donc pour n suffisamment grand, 0,95 <
Fnϵ
p 1,96 p(1 p)
n p 1,96 p(1 p)
n P
Fnϵ
p 1
n p 1
n On retrouve l intervalle de fluctuation vu en seconde.
3. Prise de décision.
Au sein d une population, on suppose que la proportion d un certain caractère est p. On souhaite juger cette hypothèse. Pour cela, on prélève dans la population au hasard et avec remise un échantillon de taille n. On note fobs la fréquence du caractère dans cet échantillon.
Si n 30 ; np 5 et n(1 p) 5, on détermine l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : In
p 1,96 p(1 p)
n p 1,96 p(1 p) n
Si fobs appartient à l intervalle de fluctuation, l hypothèse est acceptée au seuil de 95%.
Si fobs n appartient pas à l intervalle de fluctuation, on rejette l hypothèse au seuil de 95%.
Remarque : le risque de rejeter une population conforme est inférieur à 5%.
Exemple : Une entreprise annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans sa production est égal à 1%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. Etant donné le grand nombre de moteurs fabriqués, on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise ? (d après bac)
