TOURNER LA PAGE CONTROLE N°7 TS3.

CONTROLE N°7 TS3.

Mercredi 13 mai 2015.

2 heures.

PARTIE 1.

LOI NORMALE.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes.

Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.

La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance 400 et d’écart-type 11.

Sauf indication contraire, les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.

Partie A

1. Calculer P (390 X 410).

2. Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.

3. Sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 10

près de P(367 X 433). Expliquer.

Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de sans modifier celle de .

4. En utilisant une variable aléatoire suivant la loi normale standard N(0 ; 1), déterminer la valeur de pour laquelle la probabilité qu’un pain soit commercialisable est égale à 96 %. On arrondira le résultat au dixième.

5. Sans utiliser la calculatrice et en utilisant une variable aléatoire suivant la loi N(0 ; 1), déterminer la valeur de pour laquelle la probabilité qu’un pain soit commercialisable est égale à 97,5 %.

Expliquer.

Partie B

Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d’obtenir 96 % de pains commercialisables.

Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués. Le nombre de pains est suffisamment grand pour pourvoir assimiler le choix à un tirage avec remise. Parmi eux, 283 sont commercialisables.

Peut-on considérer que l’objectif a été atteint ?

PARTIE 2.

NOMBRES COMPLEXES.

I.

Pré-requis :

 si z a ib est un nombre complexe écrit sous forme algébrique avec a et b des réels, le conjugué de z est z a i b.

 pour tout réel , e

cos( ) isin( ).

Démontrer alors que, pour tout réel , e

e

.

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II. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O u v ; , ) .

Pour tout entier naturel n, on note A

le point d’affixe z

défini par : z

 1 et

^{3 3}

4 4

n n

z

 i  z

        . On définit la suite   r

par r

 z

pour tout entier naturel n.

1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe Z ^{3 3}

4  i 4 . 2.

a. Montrer que la suite   r

est géométrique de raison ³

2 . b. En déduire l’expression de r

en fonction de n.

c. Que dire de la longueur OA

lorsque n tend vers  ? 3. On considère l’algorithme suivant :

Variables n entier naturel R réel

P réel strictement positif Entrée Demander la valeur de P Traitement R prend la valeur 1

n prend la valeur 0 Tant que R > P

n prend la valeur n +1 R prend la valeur ³

2 R

Fin tant que

Sortie Afficher n

a. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour P = 0,5 ?

b. Pour P = 0,01 on obtient n = 33. Quel est le rôle de cet algorithme ? 4.

a. Démontrer que le triangle OA

A

est rectangle en A

. b. On admet que r

e

in

6

. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A

est un point de l’axe des ordonnées.

c. En utilisant les questions précédentes, compléter la figure donnée ci-dessous, en représentant

les points A

et A

. Expliquer brièvement. Les traits de construction seront apparents.

CORRECTION DU CONTROLE N°7 TS3.

LOI NORMALE.

Partie A

1. D après la calculatrice, P(390 X 410) 0,6367.

2. P (X 385) 0,5 P (385 X 400) 0,9137.

La probabilité qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable est environ 0,9137.

3. P(367 X 433)=P(400-33 X 400+33)=P( -3 X +3 ) 0,99 d’après le cours.

4. On pose Z X 400 . Z suit la loi N(0 ; 1).

P( X 385) 0,96 P

 

 

Z ¹⁵ 0,96 P

 

 

Z ¹⁵ 0,04

15 1,75 (calculatrice) 8,5681

Pour que la probabilité qu un pain soit commercialisable soit de 0,96, il faut choisir 8,6.

5. On pose Z X 400 . Z suit la loi N(0 ; 1).

P( X 385) 0,975 P

 

 

Z ¹⁵ 0,975 P

 

 

15 Z ¹⁵ 0,95

15 u

1,96 7,6

Pour que la probabilité qu un pain soit commercialisable soit de 0,975, il faut choisir 7,6.

Partie B

On suppose que la proportion de pains commercialisables est 0,96.

On choisit au hasard et avec remise 300 pains. La variable aléatoire correspondant au nombre de pains commercialisables suit la loi B(300 ; 0,96).

On a n 300 30 ; np 288 et n(1 p ) 12 5.

L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est I [0,9378 0,9922].

La proportion de pains commercialisables dans l échantillon est 283/300 0,94.

0,94 ϵ I donc on ne peut pas rejeter, au seuil de 95%, le fait que l objectif ait été atteint.

NOMBRES COMPLEXES.

I. Soit un réel.

e

cos( ) isin( ) = cos( ) isin( )

D autre part, e

cos( ) isin( ) cos( ) isin( ) car pour tout réel x, cos( x) cos(x ) et sin( x ) sin( x).

Ainsi, pour tout réel : e

e

. II.

1. La forme exponentielle de Z est 3 2 e

i 6

. 2.

a. Soit n un entier naturel.

r

| ^Zz

| | | ^Z | | ^z

³

2 r

. La suite   r

est donc géométrique de raison ³

2 et de premier terme | | ^z

| | ^{1 1.}

b. Pour tout n de , r

r

 

  3 2

n

 

  3 2

n

. c. OA

| | ^z

r

 

  3 2

n

. 1 3

2 1 donc lim

n

 

  3 2

n

0 : lorsque n tend vers + , la

longueur OA

tend vers 0.

3.

a. Pour P 0,5, on peut construire la table d exécution suivante :

P R n R P ?

0,5 1 0 Oui

0,5 3 /2 1 Oui

0,5 3/4 2 Oui

0,5 0,65 3 Oui

0,5 0,5625 4 Oui

0,5 0,487 5 Non

L algorithme affiche n 5.

b. L algorithme détermine la première valeur de n pour laquelle OA

P . 4.

a. OA

r

; OA

r

3 2 r

A

A

| ^z

z

| Zz

−z

| ^{(Z −1)z}

| | A−1 | | | ^z

 

 

−1 4

i 3

4 r

1 2 r

A

A

2

OA

2

1

4 r

n

2

3

4 r

2

r

2

et OA

2

r

2

.

D après la réciproque du th de Pythagore, le triangle OA

A

est rectangle en A

. b. z

r

e

in

6

et A

est le point d affixe z

.

A

est un point de l’axe des ordonnées si et seulement si z

est un imaginaire pur si et seulement si arg ( ) ^z



2 (2 ) ou ar g ( ) ^z



2 (2 ) si et seulement si arg ( ) ^z

^{ ( )}

si et seulement si n

6 2 k avec k entier A

est un point de l’axe des ordonnées si et seulement si n 3 6k avec k entier

c. A

a pour affixe z

qui a pour argument 6

6 donc A

est sur l axe des abscisses.

De plus, le triangle OA

A

est rectangle en A

donc A

est un point du cercle de diamètre [ ^OA

] ^.

A

a pour affixe z

qui a pour argument 7

6 6 et A

a pour affixe z

qui a pour argument

6

donc O, A

et A

sont alignés. De plus, le triangle OA

A

est rectangle en A

donc A

est un point du

cercle de diamètre [ ^OA

] ^.