Lois de répartition des diviseurs des entiers friables

HAL Id: hal-01479205

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01479205

Submitted on 24 Jan 2019

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Copyright

Lois de répartition des diviseurs des entiers friables

Sary Drappeau, Gérald Tenenbaum

To cite this version:

Sary Drappeau, Gérald Tenenbaum. Lois de répartition des diviseurs des entiers friables. Mathematis-

che Zeitschrift, Springer, 2018, 288 (3-4), pp.1299-1326. �10.1007/s00209-017-1935-7�. �hal-01479205�

SARY DRAPPEAU & GÉRALD TENENBAUM

Abstract.

According to a general probabilistic principle, the natural divisors of friable inte- gers (i.e. integers free of large prime factors) should normally present a Gaussian distribution.

We show that this indeed is the case with conditional density tending to 1 as soon as the standard necessary conditions are met. Furthermore, we provide explicit, essentially optimal estimates for the decay of the involved error terms. The size of the exceptional set is sufficiently small to enable recovery of the average behaviour in the same optimal range. Our argument combines the saddle-point method with new large deviations estimates for the distribution of certain additive functions.

1. Introduction

La théorie analytique des nombres explore de manière privilégiée les rapports entre les struc- tures additive et multiplicative des entiers. À ce titre, l’étude de la répartition des diviseurs est emblématique du domaine. Elle a conduit à des avancées significatives et permis de mettre des notions pertinentes en lumière. Outre l’article de synthèse [Te13] et la monographie [HT88], mentionnons les travaux relatifs à la fonction ∆ de Hooley (voir en particulier [Ho79, Te86]) et certaines de ses applications [BT13], et les progrès successifs [Te84, Fo08] ayant abouti à la détermination de l’ordre de grandeur dans le problème de la table de multiplication d’Erdős [Er79].

Soit n un entier naturel et τ (n) le nombre de ses diviseurs. Le problème de la répartition des diviseurs de n est équivalent à l’étude de la variable aléatoire D

définie par

P (D

= log d) = 1

τ (n) (d | n).

La symétrie des diviseurs de n autour de √

n implique que D

est répartie de façon symé- trique par rapport à la moyenne E (D

) =

log n. L’ordre moyen de D

a été déterminé dans [DDT79] : nous avons

1 x

X

n6x

P D

6 v log n = 2

π arcsin √ v + O

1

√ log x

(x > 2)

uniformément pour v ∈ [0, 1]. Des généralisations sont proposées et étudiées dans [BM07], [BM15], [Te97], [BT16a].

La régularité du comportement en moyenne occulte cependant d’importantes fluctuations du comportement normal : selon le principe d’incertitude établi dans [Te80], toute suite d’en- tiers A ⊂ N pour laquelle (D

/ log n)

converge en loi est de densité naturelle nulle, autre- ment dit

|[1, x] ∩ A| = o(x) (x → ∞).

Ce phénomène reflète l’influence des grands facteurs premiers de n sur la loi de D

. Dans le présent travail, nous examinons le cas où l’entier n est astreint à ne posséder que des petits facteurs premiers.

Désignons par P (n) le plus grand facteur premier d’un entier naturel n, avec la conven- tion P (1) = 1. On dit que n est y-friable si P (n) 6 y et l’on note

S(x, y) := {n 6 x : P(n) 6 y}, Ψ(x, y) := |S(x, y)|.

2010 Mathematics Subject Classification. Primary 11N25; Secondary 11N37, 11N60.

Key words and phrases. distribution of divisors, friable integers, saddle-point method, additive functions.

Les quantités

u := (log x)/ log y, u ¯ := min{u, π(y)} = min(y, log x)/ log y (x > y > 2)

interviennent classiquement dans l’étude de la répartition des entiers friables. Il découle ainsi des travaux de Hildebrand [Hi86] et Hildebrand-Tenenbaum [HT86] que l’on a, pour tout ε > 0 fixé,

Ψ(x, y) = x%(u) exp

O

log 2u

log y + u

e

(log x)

6 y 6 x

où % désigne la fonction de Dickman, définie comme la solution continue sur R

de l’équation fonctionnelle

%(u − 1) + u%

(u) = 0 (u > 1)

avec la condition initiale %(u) = 1 (0 6 u 6 1). La fonction % est positive, strictement décrois- sante sur [1, +∞[ et vérifie

%(u) = u

(u → ∞).

Ainsi %(u) 1 lorsque u est borné, ce qui implique, d’après le principe d’incertitude mentionné plus haut, que, dans ce cas, la variable aléatoire (D

/ log n)

ne converge sur aucun sous- ensemble A de S(x, y) de densité positive.

Choisir un diviseur aléatoire de n revient à choisir, indépendamment pour chaque facteur p

kn, un exposant j ∈ {0, . . . , ν } avec équiprobabilité. Nous avons donc la décomposition ca- nonique

(1.1) D

= ^X

p^νkn

D

où les variables (D

) sont indépendantes, et D

est de loi uniforme sur {j log p : 0 6 j 6 ν}.

Nous introduisons les moments cumulés centrés

(1.2) m

:= ^X

p^νkn

E

D

−

ν log p

(k > 1), et l’écart-type σ

, défini par

σ

= m

=

^X

p^νkn

ν(ν + 2)(log p)

.

La symétrie de D

autour de sa moyenne implique m

= 0 lorsque k est impair.

En cohérence avec la décomposition (1.1), nous obtenons une estimation de type limite centrale pour la variable D

. Il est connu qu’un tel résultat dépend d’une minoration de la variance σ

, associée à une majoration d’un moment m

, k > 2. Nous posons

(1.3) Φ(z) := 1

√ 2π ˆ

z

e

dt, w

:= σ

m

(z ∈ R , n 6= 1),

et convenons que w

:= 1. Nous avons ainsi w

>

pour tout entier n > 1 — cf. formule (3.17) infra.

Théorème 1.1. Il existe une constante absolue c > 0, telle que, pour 2 6 y 6 x, la relation

(1.4) P

D

>

log n + zσ

= Φ(z) + O

1 + z

w

Φ(|z|)

z w

ait lieu uniformément tous les entiers n de S(x, y) sauf au plus e

√

¯u

Ψ(x, y) exceptions.

Nous déduisons de ce résultat et de la minoration de w

obtenue à la Proposition 1.4 infra

l’évaluation explicite suivante.

Corollaire 1.2. Soit c > 0. La relation

(1.5) P

D

>

log n + zσ

= Φ(z) + O

1 + z

u ¯ Φ(|z|)

z u ¯

a lieu uniformément pour x > y > 2 et tous les entiers n de S(x, y) sauf au plus e

Ψ(x, y) exceptions.

Dans ce dernier énoncé, le terme d’erreur et l’uniformité en z correspondent au domaine naturel de l’approximation gaussienne et sont donc conjecturalement optimaux. Au prix d’un affaiblissement du terme d’erreur et d’une restriction du domaine d’uniformité en z, il est toutefois possible d’étendre le champ de validité de l’estimation.

Corollaire 1.3. Il existe une constante absolue c > 0 telle que, sous les conditions 2 6 y 6 x, 1 6 Z 6 u ¯

, et z Z , la relation

P

D

>

log n + zσ

= Φ(z) + O

1 + z

Z

Φ(|z|)

ait lieu uniformément pour tous les entiers n de S(x, y) sauf au plus e

√

¯

u/Z

Ψ(x, y) excep- tions.

La validité des deux énoncés précédents résulte immédiatement du Théorème 1.1 et de la proposition suivante, qui est elle-même conséquence du Corollaire 3.5 infra.

Proposition 1.4. Il existe une constante absolue c > 0 telle que, sous les conditions 2 6 y 6 x et 0 6 Z 6 c u ¯

, l’inégalité

w

> Z

ait lieu pour tous les entiers n de S(x, y) sauf au plus e

√

¯

u/(Z+1)

Ψ(x, y) exceptions.

Lorsque z est fixé, le terme d’erreur du Théorème 1.1 est 1/w

. Une telle majoration est hors de portée des théorèmes généraux probabilistes relatifs aux grandes déviations, comme par exemple [Pe75, th. VIII.2, p. 219]. En effet, convenablement adapté et toutes choses égales par ailleurs, cet énoncé ne fournirait, pour le terme d’erreur de (1.5), qu’une borne du type

1 + z

√ u ¯ + z

u ¯

Φ(|z|).

Il est connu que toute amélioration du terme résiduel standard nécessite d’exclure, pour les variables aléatoires indépendantes sommées, la possibilité d’une concentration au voisinage d’un même réseau unidimensionnel : voir la condition (III), p. 173, de Petrov [Pe75] ou la condition (6.6), p. 547, de Feller [Fe66]. Dans notre cas, la validation de cette hypothèse sup- plémentaire consiste en une majoration de sommes trigonométriques portant sur les diviseurs premiers de n. Cette estimation constitue une part significative de notre analyse.

Notre résultat fait suite aux travaux de Basquin [Ba14] et de Drappeau [Dr16], dévolus à l’étude de la moyenne

(1.6) D (x, y; z) := 1

Ψ(x, y) X

n∈S(x,y)

P

D

>

log n + z¯ σ

où ¯ σ = ¯ σ(x, y) est un facteur de renormalisation convenable indépendant de n. Le choix optimal de ¯ σ fait intervenir le point-selle α = α(x, y) introduit par Hildebrand et Tenenbaum [HT86]

dans l’étude de la fonction Ψ(x, y), et dont nous rappelons la définition en (2.1) infra. Nous avons alors

(1.7) σ(x, y) ¯

:= 1

2 X

p6y

p

− 1/3

(p

− 1)

(log p)

.

Cette définition est en cohérence avec le théorème de Turán-Kubilius friable [BT05a, th. 1.1], qui implique

σ

=

1 + O 1

u ¯

σ ¯

pour tous les entiers n de S(x, y) sauf au plus Ψ(x, y)/ u ¯

exceptions.

L’estimation principale obtenue dans [Dr16] est (1.8) D (x, y; z) = Φ(z) + O

Φ(|z|) 1 + z

u ¯

2 6 y 6 x

, z u ¯

, où, ici et dans la suite, nous notons log

x la k-ième itérée de la fonction logarithme. Fondé sur la méthode du col en deux variables, l’argument conduisant à (1.8) est spécifique de l’estimation en moyenne et ne fournit pas d’information «presque sûre» de type (1.5). Combiné avec une étude des fluctuations de σ

autour de son ordre normal ¯ σ, le Théorème 1.2 fournit naturellement l’estimation suivante.

Théorème 1.5. Nous avons (1.9) D (x, y; z) = Φ(z) + O

Φ(|z|) 1 + z

u ¯

2 6 y 6 x, |z| 6 c

u ¯

, où c

> 0 est une constante convenable.

Le domaine d’uniformité en z est moins grand que celui de (1.8) mais le résultat vaut sans contrainte sur x et y.

Notations. Nous désignons par ν

la probabilité conditionnelle uniforme sur S(x, y) : pour toute partie A ⊂ [1, x], nous avons donc

ν

(A) := |A ∩ S(x, y)|

Ψ(x, y) .

Par ailleurs, nous notons classiquement ω(n) le nombre des facteurs premiers distincts d’un entier naturel n.

Enfin, sauf dépendance explicitement mentionnée, les constantes c, c

, c

, etc. apparaissant dans ce travail sont absolues et strictement positives.

2. Entiers friables

2.1. Méthode du col. Notre résultat est basé sur l’utilisation de la méthode du col, dévelop- pée dans ce contexte par Hildebrand et Tenenbaum [HT86]. Nous rappelons ici les principales estimations dont nous ferons usage.

La quantité Ψ(x, y) est représentée par l’intégrale de Perron Ψ(x, y) = 1

2πi

ˆ

σ−i∞

ζ(s, y) x

ds

s (x 6∈ N ), où intervient le produit eulérien tronqué

ζ (s, y) := ^X

P(n)6y

1 n

= ^Y

p6y

1 − 1 p

.

Le point-selle α = α(x, y) est défini par α := argmin

x

ζ (σ, y). Il s’agit donc de la fonction implicite correspondant à l’équation

(2.1) ^X

p6y

log p

p

− 1 = log x.

Observons immédiatement, à fins de référence ultérieure, que l’équation (2.1) implique immé- diatement

(2.2) y

1 + y

log x ·

Définissons également

(2.3) σ

= σ

(α, y) := ^X

p6y

(log p)

p

(p

− 1)

·

L’évaluation par le théorème des nombres premiers des sommes en p de (2.1) et (2.3) (cf. [HT86, th. 2]) fournit les estimations

α = log(1 + y/ log x) log y

n 1 + O log

2y log y

o , (2.4)

σ

= 1 + log x y

(log x)(log y) ⁿ 1 + 1 log 2¯ u

o . (2.5)

Mentionnons aussi l’approximation

(2.6) α(x, y) = 1 − log(¯ u log(¯ u + 1)) + O(1)

log y 2 6 y 6 x .

Le résultat principal de [HT86] est la formule asymptotique uniforme Ψ(x, y) = x

ζ(α, y)

α ^p 2πσ

n 1 + O 1 u ¯

o (2 6 y 6 x), qui implique en particulier

(2.7) Ψ(x, y) x

ζ(α, y) √

u ¯

α log x 2 6 y 6 x . La majoration

(2.8) Ψ x

d , y Ψ(x, y)

d

2 6 y 6 x, 1 6 d 6 x ,

qui est un cas particulier important de [BT05b, th. 2.4], nous sera également utile.

2.2. Moyennes friables de fonctions multiplicatives. Divers travaux, notamment [TW03, cor. 2.3], permettent des estimations satisfaisantes de la valeur moyenne d’une fonction mul- tiplicative g > 0 sous des hypothèses relativement générales concernant le comportement en moyenne des valeurs g(p), dans un domaine de la forme

(H

) e

6 y 6 x.

Pour des valeurs de y plus petites, la méthode du col demeure théoriquement applicable. Cepen- dant, à mesure que α(x, y) diminue, la description du comportement moyen de g nécessite des hypothèses sur les valeurs g(p

) pour des valeurs croissantes de ν — voir par exemple [BT05a, th. 1.4] et les commentaires qui suivent cet énoncé. La recherche d’estimations uniformes en g devient alors un problème significativement plus délicat.

Dans le cadre du présent travail, une majoration de la valeur moyenne G(x, y) := 1

Ψ(x, y) X

n∈S(x,y)

g(n)

est suffisante. Dans cette perspective, nous pouvons nous contenter d’une approche élémentaire combinée avec l’évaluation au point-selle (2.7) et la majoration semi-asymptotique (2.8). Notre estimation s’exprime en termes du produit eulérien

G

(α) := 1 ζ (α, y)

Y

p6y

X

ν>0 p^ν6x

g(p

) p

,

où x, y et α sont liés par la relation (2.1). Lorsque, pour chaque nombre premier p 6 y, il existe ν

∈ N

tel que

(2.9) g(p

) = 0 (ν > ν

), g(p

) 6 g(p

) (1 6 ν 6 ν

),

nous posons G

(α) := 1

ζ(α, y) Y

p6y

X

06ν6νp

g(p

)

p

+ g(p

) p

(p

− 1)

= ^Y

p6y

1 + ^X

16ν6νp

g(p

) − g(p

) p

.

Lemme 2.1. Soit g : N → R

une fonction multiplicative positive ou nulle. Les assertions suivantes sont valables pour 2 6 y 6 x.

(i) Si g(n) 6 κ

pour un certain κ > 1 et tout entier n > 1, alors

(2.10) G(x, y) κ √

u(log 2¯ ¯ u)

G

(α).

(ii) Sous la condition (2.9), nous avons

(2.11) G(x, y) G

(α).

Remarque 2.2. Il est essentiel pour notre application de disposer d’une majoration de type (2.10) dans laquelle le facteur de G

(α) est e

lorsque ¯ u → ∞.

Démonstration. Supposons dans un premier temps log y 6 (log 2u)

, et donc log y (log 2¯ u)

. La positivité de g permet d’écrire, compte tenu de (2.7),

G(x, y) 6 x

Ψ(x, y)

X

n∈S(x,y)

g(n) n

√ u(log ¯ y) ζ(α, y)

Y

p6y

X

ν>0 p^ν6x

g(p

) p

·

Cela implique bien (2.10) dans l’éventualité considérée.

Supposons maintenant log y > (log 2u)

, et donc y log x. Nous utilisons une inégalité de type Rankin pour la quantité

(2.12) G(x, y) log x = 1

Ψ(x, y) X

n∈S(x,y)

g(n) ⁿ log n + log x n

o .

Puisque log(x/n) 6 (x/n)

/α, nous avons

(2.13) ^X

n∈S(x,y)

g(n) log x n

6 x

α

X

n∈S(x,y)

g(n)

n

log x

√ u Ψ(x, y) G

(α).

Considérons ensuite la contribution du terme log n au membre de droite de (2.12). Sous l’hy- pothèse g(n) 6 κ

, nous avons

X

n∈S(x,y)

g(n) log n = ^X

p^ν∈S(x,y)

X

m∈S(x/p^ν,y) p-m

g(mp

) log(p

)

6 κ ^X

m∈S(x,y)

g(m) ^X

p^ν∈S(x/m,y)

log(p

).

La somme intérieure est

^X

p6min{y,x/m}

{log(x/m)}

log p min x

m , y(log(x/m))

(log y)

6 x

m

(yu

)

. Comme la condition log 2u < √

log y implique

(1 − α) log u (log 2u)

/ log y 1, nous obtenons

(2.14)

X

n∈S(x,y)

g(n) log n κy

x

^X

m∈S(x,y)

g(m) m

κ √

u(log 2u)(log x)Ψ(x, y) G

(α).

Reportons (2.13) et (2.14) dans (2.12). Nous obtenons G(x, y) κ(log 2u) √

u + 1

√ u

G

(α).

Cela implique (2.10) dans le domaine log y > (log 2u)

et conclut donc la preuve de l’asser- tion (i).

Pour établir (2.11), nous introduisons la fonction arithmétique multiplicative h telle que g = 1 ∗ h. Pour tout entier n de E

:= {n ∈ N

: g(n) > 0}, l’hypothèse (2.9) implique alors h(n) > 0 et d ∈ E

pour tout d|n. Ainsi

G(x, y) = 1 Ψ(x, y)

X

n∈Eg∩S(x,y)

g(n) 6 ^X

d∈Eg∩S(x,y)

h(d) Ψ(x/d, y)

Ψ(x, y) ^X

d∈Eg∩S(x,y)

h(d) d

où l’on a fait appel à (2.8). Un calcul de produit eulérien permet ensuite, grâce à la positivité de g, de majorer la dernière somme en d par G

(α). Cela termine la preuve de l’assertion (ii).

3. Répartition des valeurs de certaines fonctions additives

Nous nous proposons ici d’étudier l’ordre de grandeur normal friable des fonctions additives f

(n) := ^X

p^νkn ν>0

(ν log p)

lorsque l’entier k > 0 est fixé. Un outil essentiel à cette tâche est l’inégalité de Turán-Kubilius (voir [Te15a, ch. III.3]), dont l’analogue friable a été développé dans des travaux récents de La Bretèche et Tenenbaum [BT05a, BT16b]. Ces travaux exploitent une modélisation de la structure multiplicative de l’ensemble S(x, y) consistant en l’approximation

ν

{n > 1 : p

kn} ≈ (1 − p

)/p

,

les événements étant considérés comme indépendants pour des valeurs distinctes de p 6 y.

Cette heuristique est confortée par le fait, établi dans [BT05a], que les valeurs prises par f

ont tendance à se concentrer autour de la valeur moyenne du modèle

(3.1) A

(x, y) := ^X

p6y ν>1

f

(p

) p

1 − 1 p

,

lorsque n ∈ S(x, y) et ¯ u → ∞. Notons qu’il existe une suite de polynômes {Q

}

à coefficients positifs ou nuls telle que deg Q

6 k et

A

(x, y) = ^X

p6y

1 − 1

p

(log p)

Q

(p

) (p

− 1)

, d’où l’on déduit comme au lemme 4 de [HT86] l’évaluation explicite (3.2) A

(x, y)

(log x)

/ u ¯

(k > 1).

Nous nous intéressons dans ce qui suit à estimer la taille des sous-ensembles de S(x, y) caractérisés par la propriété que f

(n) est significativement plus grand ou plus petit que la moyenne A

(x, y).

3.1. Nombre des facteurs premiers. Le cas k = 0, qui correspond à f

(n) = ω(n), est particulier. Nous avons, d’après les lemmes 3.2, 3.6 et l’équation (2.37) de [BT05b],

A

(x, y) = ^X

p6y

1

p

= ⁿ 1 + O 1

log y + 1 log 2¯ u

o yu

y + log x + log

y (3.3)

u ¯ + log

y.

Le terme log

y, qui est dû à l’influence des petits facteurs premiers, n’intervient pas dans

l’étude des fonctions f

lorsque k > 1.

Posons

(3.4) ω

(n) := {p

kn : √

y < p 6 y, u/(2¯ u) 6 ν 6 2u/¯ u} (n > 1)

et notons que u/¯ u 1 + (log x)/y. La proposition suivante permet d’établir que, avec une pro- babilité tendant vers 1, les puissances de nombres premiers comptés dans ω

(n) contribuent significativement au terme yu/(y + log x) apparaissant dans le membre de droite de (3.3).

Lemme 3.1. Il existe constante absolue c

> 0 telle que l’on ait

(3.5) ν

n > 1 : ω

(n) 6 c

u ¯ e

(2 6 y 6 x).

Démonstration. Pour tout c > 0, nous avons

(3.6) ν

n > 1 : ω

(n) 6 c¯ u 6 e

Ψ(x, y)

X

n∈S(x,y)

e

. D’après (2.10) avec κ = 1, le membre de droite ne dépasse pas

(3.7)

ue ¯

ζ (α, y)

X

P(n)6y

e

n

= ¯ ue

^Y

√y<p6y

1 − 1 − 1 e

1

p

− 1 p

où l’on a posé (ν

, ν

) := (du/(2¯ u)e, b2u/¯ uc). Comme ν

− 1 1/(α log y) d’après (2.4), nous pouvons écrire

p

p

( √

y < p 6 y).

De plus, nous avons (ν

− ν

+ 1)α log p >

{3u/(2¯ u) − 1}α log y 1 pour toutes les valeurs de p considérées, donc

1

p

− 1

p

1

p

( √

y < p 6 y).

Or, ^P

1/p

u ¯ d’après [BT05b, lemme 3.6]. Il existe donc une constante absolue c

telle que le produit en p de (3.7) ne dépasse pas e

. L’estimation souhaitée en résulte par report dans (3.6) et (3.7) pour le choix choix c

= c

/3.

3.2. Minoration de f

(n). Nous déterminons ici une minoration de f

(n) valable pour chaque indice k > 1 fixé et “presque” tous les entiers n de S(x, y). Rappelons la définition (3.4).

Lemme 3.2. Soit k > 1. Nous avons

f

(n)

(log x)

/¯ u

pour tous les entiers n de S(x, y) sauf au plus e

Ψ(x, y) exceptions.

Démonstration. Nous avons trivialement f

(n) > (u log y/4¯ u)

ω

(n). L’assertion de l’énoncé

résulte donc immédiatement du Lemme 3.1.

Cette majoration simple suffit à la preuve du Théorème 1.1. L’estimation plus précise sui- vante, qui possède un intérêt propre, ne sera pas utilisée dans la suite. En conformité avec (3.1), nous posons en toute généralité

A

(x, y) := ^X

p6y ν>1

f (p

) p

1 − 1

p

, B

(x, y)

:= ^X

p6y ν>1

f (p

)

p

1 − 1

p

lorsque f est une fonction additive.

Proposition 3.3. Soient k > 1 et f une fonction additive satisfaisant à (3.8) 0 6 f (p

) (ν log p)

(p > 2, ν > 1).

Pour 2 6 y 6 x et δ ∈]0, 1], nous avons alors

(3.9) ν

n : f(n) 6 (1 − δ)A

(x, y)

ue ¯

où c

> 0 ne dépend que de k et de la constante implicite dans (3.8).

Démonstration. Notons ℘

(x, y) le membre de gauche de (3.9). Pour tout λ > 0, nous avons (3.10) ℘

(x, y) 6 e

^X

n∈S(x,y)

e

ue ¯

ζ (α, y)

Y

p6y

X

ν>0

e

p

, où la majoration résulte de (2.10) avec κ = 1. Majorons le dernier produit à l’aide de l’inégalité e

6 1 − v +

v

(v > 0). Il suit

℘

(x, y) ue ¯

^Y

p6y

1 − 1 p

X

ν>0

1

p

− λ f (p

)

p

+

λ

f(p

)

p

= ¯ ue

^Y

p6y

1 − λ 1 − 1 p

X

ν>1

f(p

)

p

+

λ

1 − 1 p

X

ν>1

f (p

)

p

6 ue ¯

.

Pour le choix optimal λ := δA

(x, y)/B

(x, y)

, nous obtenons donc

℘

(x, y) ue ¯

.

L’estimation annoncée résulte donc de (3.2).

3.3. Majoration de f

(n). L’obtention d’une majoration de f

(n) valable sur un sous-ensemble dense de S(x, y) est plus délicate que celle de la minoration, traitée au paragraphe précédent.

La difficulté technique sous-jacente provient de la vitesse de croissance de f

(p

) en fonction de l’exposant ν . Cela rend nécessaire une troncature préalable des grands exposants de la factorisation.

Proposition 3.4. Soit k ∈ N

et f une fonction additive satisfaisant à (3.8) et f (p

) 6 f (p

) (p 6 y, ν > 1).

Il existe une constante c

> 0 telle que, sous les conditions 2 6 y 6 x, δ > 0, nous ayons uniformément

(3.11) ν

n : f(n) > (1 + δ)A

(x, y)

u ¯ exp

−2c

min{δ, δ

}¯ u

.

En particulier, pour chaque entier k > 1, et uniformément pour h > 0, 2 6 y 6 x, nous avons f (n)

u ¯

(log x)

pour tous les entiers n de S(x, y) sauf au plus

e

Ψ(x, y) exceptions.

Démonstration. Notons ℘

(x, y) le membre de gauche de (3.11). Donnons-nous un paramètre positif v à optimiser ultérieurement et posons L := κ(¯ u

/α+log y), où κ est une constante assez grande ne dépendant que de k. Notant alors ν

:= bL/ log pc, nous commençons par estimer la contribution ℘

(x, y) des entiers n qui ne divisent pas ^Q

p

. Nous avons trivialement, grâce à (2.8),

℘

(x, y) 6 ^X

p6y

Ψ(x/p

, y)

Ψ(x, y) ^X

p6y

1

p

π(y) e

.

On vérifie aisément grâce à (2.4) que αL > u ¯

+ log(1 + y/ log x) dès que κ est assez grand. Il suit

(3.12) ℘

(x, y) u ¯ e

.

Considérons à présent la contribution complémentaire, notée ℘

(x, y). Soit λ un paramètre

positif ou nul. La croissance en ν de f (p

) permet d’appliquer le Lemme 2.1(ii) à la fonction

multiplicative g définie par g(p

) := e

si ν 6 ν

et g(p

) := 0 dans le cas contraire. Nous obtenons

(3.13)

℘

(x, y) 6 e

Ψ(x, y)

X

n∈S(x,y)

g(n)

e

^Y

p6y

1 + ^X

16ν6νp

e

− e

p

La dernière somme en ν n’excède pas B

(α) := λ ^X

16ν6νp

{f(p

) − f (p

)}e

p

·

Soient alors η ∈ [0,

α], β := α − η. Pour le choix λ := cη/L

où c est une constante absolue assez petite, nous avons

e

6 p

= p

(1 6 ν 6 ν

).

Il suit

B

(α) 6 λ ^X

16ν6νp

f (p

) − f (p

)

p

= λ ^X

16ν6νp

1 − 1

p

f(p

)

p

+ λf(p

) p

·

Le dernier terme est ηL/e

. Une application standard du théorème des accroissements finis permet donc d’écrire

B

(α) 6 λ ^X

16ν6νp

1 − 1 p

f (p

) p

+ O

ηλ ^X

16ν6νp

1 − 1 p

f

(p

) p

+ ηL

e

, d’où

X

p6y

B

(α) 6 λA

(x, y) + O

ηλR + ηLπ(y) e

avec

R := ^X

p6y

X

ν>1

1 − 1

p

f

(p

) p

= ^X

p6y

(log p)

Q

(p

) (p

− 1)

où Q

est un polynôme à coefficients positifs, de degré k. Si η = α − β u/ ¯ log x, nous avons p

p

pour tout p 6 y. Il s’ensuit que

R A

(x, y) (log x)

/¯ u

. En reportant dans (3.13), nous obtenons

(3.14) ℘

(x, y) e

avec

B ηλ(log x)

u ¯

+ ηLπ(y)

e

η log x u ¯

λA

(x, y) + uLπ(y) ¯ e

log x

η log x u ¯

λA

(x, y) + 1 , où la dernière majoration est vérifiée si ¯ u

> 4 log ¯ u, ce que nous supposons dorénavant. Pour le choix η := c min(1, δ)¯ u/ log x, il vient ainsi

(3.15) ℘

(x, y) e

e

, puisque

λA

(x, y) min(1, δ)¯ u log x

uL ¯

min(1, δ)¯ u

uα log y u(¯ ¯ u

+ α log y)

min(1, δ)¯ u

.

Il reste à choisir v optimalement en fonction de (3.15) et(3.12), soit ¯ u

:= min(δ, δ

)¯ u

. Ce

choix est admissible, et fournit le résultat annoncé, à condition que min(δ, δ

)¯ u > (4 log ¯ u)

.

Nous concluons en notant que lorsque min(δ, δ

)¯ u < (4 log ¯ u)

, le résultat annoncé est triviale- ment vérifié si la constante c

est choisie suffisamment petite.

3.4. Tailles de m

et m

. Les estimations du paragraphe précédent permettent un enca- drement des moments m

et m

définis en (1.2). Nous avons explicitement

(3.16) m

=

^X

p^νkn

ν (ν + 2)(log p)

, m

=

^X

p^νkn

ν(ν + 2)(3ν

+ 6ν − 4)(log p)

,

et notons d’emblée que (3.17) w

= m

m

>

P

p^νkn

ν

(ν + 2)

(log p)

/144 P

p^νkn

ν(ν + 2)(3ν

+ 6ν − 4)(log p)

/240 > 5 3 inf

ν>1

ν(ν + 2) 3ν

+ 6ν − 4 = 5

9 · Corollaire 3.5. Il existe une constante absolue c

> 0 telle que les estimations

(3.18)

( m

(log x)

/ u, ¯

(log x)

/¯ u

m

(log x)

/¯ u

aient lieu uniformément pour 2 6 y 6 x et tous les entiers n de S(x, y) sauf au plus e

√

¯

u

Ψ(x, y) exceptions. De plus, pour 0 < Z 6 c

u ¯

, nous avons

(3.19) m

(log x)

/¯ u

Z

sauf pour au plus e

√

¯

u/(Z+1)

Ψ(x, y) entiers exceptionnels de S(x, y).

Démonstration. Pour k = 2 ou 4, les fonctions n 7→ m

satisfont aux hypothèses du Lemme 3.2 et de la Proposition 3.4. Le résultat annoncé en découle directement.

Posons

(3.20) Υ

= Υ

(x, y) := ⁿ n ∈ S(x, y) : √

x 6 n 6 x et ω

(n) > c

u ¯ ^o

où c

est la constante apparaissant au Lemme 3.2. Il résulte alors de cet énoncé et des estima- tions

Ψ √

x, y x

Ψ(x, y), α log x u, ¯ que, quitte à modifier la valeur de c

, nous avons

ν

Υ

= 1 + O e

. Définissons encore

(3.21) Υ

= Υ

(x, y) :=

n ∈ Υ

(x, y) : c

6 m

u ¯ (log x)

6 1

c

, c

6 m

u ¯

(log x)

6 u ¯

c

,

en choisissant c

assez petite, de sorte que le Lemme 3.2 et la Proposition 3.4 impliquent ν

Υ

= 1 + O e

√

¯ u

. Observons que, pour n ∈ Υ

, nous avons

(3.22) 1 w

u. ¯

4. Estimations auxiliaires Posons

(4.1) Z

(s) := E e

= ^Y

p^νkn

p

− 1

(ν + 1)(p

− 1) (s ∈ C ).

La formule de Perron fournit alors la représentation

(4.2) P

D

>

log n + zσ

= 1 2πi

ˆ

β−i∞

Z

(s) n

e

s ds pour tous β > 0, n ∈ N

et z ∈ 0, (log n)/(2σ

) tels que n

e

6∈ N

.

4.1. Propriétés de la série génératrice. Pour n > 1, posons T

:= max

(ν + 1) log p.

La fonction entière s 7→ Z

(s) ne s’annulant pas sur l’ouvert étoilé U

= C r

i − i∞, − 2πi T

i ∪ ^h 2πi T

, i∞ ^h , nous pouvons définir une branche du logarithme complexe

(4.3) ϕ

(s) := log Z

(s) (s ∈ U

)

telle que ϕ

(0) = 0.

Lemme 4.1. Pour n ∈ Υ

(x, y) et β > 0, les relations suivantes sont valides (i) ϕ

(β) > 0,

(ii) ϕ

(0) = σ

= m

, (iii) ϕ

u/ ¯ log x (log x)

/ u, ¯ (iv) 0 6 −ϕ

(β) βm

,

(v) sup

Tn|s|61

|ϕ

(s)| m

. Démonstration. Nous avons

ϕ

(s) = − log τ (n) + ^X

p^νkn

log

p

− 1 p

− 1

(s ∈ U

), d’où

(4.4) ϕ

(s) = ^X

p^νkn

g

(ν + 1) log p − g

(log p) (j > 1) avec

(4.5)

g

(v; s) := v

1 − e

, g

(v; s) := −v

e

(1 − e

)

, g

(v; s) := v

e

(1 + e

) (1 − e

)

g

(v; s) := −v

e

(1 + 4e

+ e

)

(1 − e

)

· Notons également que, pour |vs| < 2π, s 6= 0, nous avons

(4.6) g

(v; s) = ^X

k>0

(−1)

k! B

v

s

,

où {B

}

est la suite des nombres de Bernoulli. L’assertion (i) résulte imédiatement du fait que v 7→ g

(v; s) est croissante sur R

lorsque s est réel positif. On obtient (ii) par dérivation de (4.6) par rapport à s puis passage à la limite en s = 0. Nous avons de plus

g

(v; s) = dg

dv (v; s) = ve

vs(1 + e

) − 2(1 − e

)

(1 − e

)

de sorte que le terme général de (4.4) est 1/s

lorsque j = 2 et ν|s| log p 1. Il en va ainsi pour s := ¯ u/ log x lorsque p

est compté dans la quantité ω

(n) définie en (3.4). Il s’ensuit que, pour tout entier n de Υ

, défini en (3.20), nous avons

ϕ

u ¯ log x

log x u ¯

ω

(n) (log x)

u ¯ où ω

(n) est défini en (3.4). Cela établit l’assertion (iii).

On vérifie que v 7→ g

(v; s) est décroissante sur R

: cela fournit le signe de ϕ

(β). Pour obtenir les majorations indiquées aux points (iv) et (v), nous observons simplement que (4.6) implique par dérivation que g

(v; s) v

|s|, g

(v; s) + 6/s

v

lorsque |vs| 6 1, s 6= 0, et que (4.5) implique g

(v; s) v

lorsque s est réel, sv > 1.

4.2. Propriétés du point-selle. Ce paragraphe est dévolu à l’estimation de certaines quan- tités apparaissant naturellement dans le processus d’évaluation de l’intégrale de Perron (4.2).

Rappelons la définition

σ

:=

^X

p^νkn

ν(ν + 2)(log p)

.

Pour tout nombre réel z de 0, (log n)/(2σ

) , nous définissons le point-selle β

= β

(z) de l’intégrande de (4.2) comme l’unique solution réelle positive de l’équation

(4.7) ϕ

(β

) = ^X

p^νkn

log p

p

− 1 − (ν + 1) log p p

− 1

= zσ

+

log n, où le membre de gauche est prolongé par continuité en β

= 0.

Considérée comme fonction de z, la quantité β

= β

(z) vérifie l’équation différentielle

(4.8) β

ϕ

(β

) = σ

.

Lemme 4.2. Nous avons

(4.9) β

(z) > 1/σ

0 6 z 6 (log n)/2σ

.

Démonstration. D’après le Lemme 4.1, la fonction ϕ

est décroissante, strictement positive, et satisfait ϕ

(0) = σ

. Cela implique ϕ

(β

) 6 σ

, d’où l’inégalité annoncée en reportant

dans (4.8).

Lemme 4.3. Il existe une constante absolue c

> 0, telle que l’on ait

(4.10) β

(z) √

u/ ¯ log x n ∈ Υ

(x, y), 0 6 z 6 c

√ u ¯ . En particulier, nous avons dans les mêmes conditions β

(z) z √

u/ ¯ log x.

Démonstration. La minoration incluse dans (4.10) résulte immédiatement de (4.9) et de la première relation (3.18) puique σ

= m

. Pour établir la majoration, introduisons

z

:= inf ⁿ z ∈ 0, (log n)/2σ

: β

(z) > u/ ¯ log x ^o , de sorte que

β

(z) 6 u/ ¯ log x (0 6 z 6 z

),

donc ϕ

(β

) > ϕ

(¯ u/ log x) (log x)

/¯ u en vertu de la décroissance de la fonction ϕ

et du Lemme 4.1(iii). Par (4.8), il suit

β

(z) σ

u/(log ¯ x)

(0 6 z 6 z

), et donc β

(z) √

u/ ¯ log x, d’après (3.18). Par intégration, nous obtenons u ¯ 6 β

(z

) log x z

√

u ¯ et par conséquent z

√

u, ¯ ce qui conclut la démonstration.

Nous sommes à présent en mesure de fournir une formule asymptotique précise pour β

(z) valable pour les petites valeurs de z. Rappelons la définition

w

:= m

/m

= σ

/m

. et l’encadrement (3.22).

Lemme 4.4. Pour tous n ∈ Υ

(x, y), 0 6 z 6 c

√

u, nous avons ¯ β

(z) = z

σ

1 + O z

w

, ϕ

β

(z) = σ

1 + O z

w

.

Démonstration. Par dérivation, l’équation (4.8) implique β

ϕ

(β

) + β

ϕ

(β

) = 0 et donc β

= −ϕ

(β

)β

/σ

.

D’après le Lemme 4.1(iv), (4.10) et la définition de Υ

en (3.21), il s’ensuit que, sous les conditions de l’énoncé,

β

β

β

m

σ

z

σ

w

· Par intégration, nous pouvons donc écrire

β

(z) = β

(0) + ˆ

0

β

(t)dt = 1 σ

n 1 + O z

w

o .

L’estimation annoncée pour β

résulte d’une intégration supplémentaire par rapport à z. La seconde formule est obtenue similairement à partir de la relation

ϕ

β

(z) = ϕ

(0) + ˆ

0

β

(t)ϕ

β

(t) dt,

en utilisant (4.10) et les points (ii), (iv) du Lemme 4.1.

4.3. Décroissance dans les bandes verticales. Nous utilisons la notation classique kϑk := inf

k∈Z

|ϑ − k| (ϑ ∈ R )

pour désigner la distance d’un nombre réel ϑ à l’ensemble des entiers. Rappelons par ailleurs la définition de ω

(n) en (3.4).

Lemme 4.5. Sous les conditions

0 6 β 6 u/ ¯ log x, τ ∈ R , 2 6 y 6 x, n ∈ N

, nous avons

(4.11)

Z

(β + iτ ) Z

(β)

6 exp

− c

^X

p|n

τ log p 2π

4

.

Si, de plus, |τ | 6 1/ log y, alors (4.12)

Z

(β + iτ) Z

(β)

6

1 + (τ log x)

u ¯

.

Démonstration. La première majoration découle directement des calculs de [Te15b, formule (2.26)], en remarquant que, dans notre cas, β log p u/u ¯ 1.

Examinons à présent le cas |τ | 6 1/ log y. Quitte à considérer la quantité conjuguée, nous pouvons supposer sans perte de généralité que τ > 0. Nous avons

(4.13)

Z

(β + iτ) Z

(β)

2

= ^Y

p^νkn

U

(β, τ) 6 ^Y

p^νkn

√y6p6y u/(2¯u)6ν62u/¯u

U

(β, τ ),