Une nouvelle approche dans la théorie des entiers friables

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Submitted on 10 Mar 2018

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friables

Régis de la Bretèche, Gérald Tenenbaum

To cite this version:

Régis de la Bretèche, Gérald Tenenbaum. Une nouvelle approche dans la théorie des entiers friables. Compositio Mathematica, Foundation Compositio Mathematica, 2017, 153, pp.453-473.

�10.1112/S0010437X16007806�. �hal-01348147v3�

153 (2017), 453-473

Une nouvelle approche dans la th´ eorie des entiers friables ^∗

R. de la Bret` eche & G. Tenenbaum

Abstract.Using a new approach starting with a residue computation we sharpen some of the known estimates for the counting function of friable integers. The gained accuracy turns out to be crucial for various applications, some of which concern fundamental questions in probabilistic number theory.

Keywords: Friable integers, saddle-point method, Montgomery–Wirsing inequality, transfer principle, zero-free regions, exponential sums over primes.

R´esum´e.Grˆace `a une nouvelle approche, dont le point de d´epart est un calcul de r´esidu, nous pr´ecisons certaines des estimations connues pour la fonction de comptage des entiers friables. Le gain se r´ev`ele crucial pour diverses applications, dont certaines concernent des questions fondamentales de la th´eorie probabiliste des nombres.

Mots clefs :Entiers friables, m´ethode du col, in´egalit´e de Montgomery–Wirsing, principe de transfert, r´egion sans z´ero, sommes d’exponentielles sur les nombres premiers.

1. Introduction

D´ esignons par P

⁺

(n) le plus grand facteur premier d’un entier naturel g´ en´ erique n, avec la convention P

⁺

(1) = 1. ´ Etant donn´ e un param` etre y > 2, on dit qu’un nombre n est y-friable s’il v´ erifie P

⁺

(n) 6 y. L’´ etude des entiers friables occupe depuis une trentaine d’ann´ ees une place privil´ egi´ ee dans le d´ eveloppement de la th´ eorie analytique et probabiliste des nombres. Le lien direct avec l’hypoth` ese de Riemann est explicit´ e dans [11]. On trouvera, entre autres, dans les survols [14], [17], [9], dans les actes de colloque [7] et dans la monographie [19] une liste non exhaustive des motivations de cet engouement et une description de nombreux r´ esultats fondamentaux de la th´ eorie.

Notons classiquement S(x, y) l’ensemble des entiers y-friables n’exc´ edant pas x et Ψ(x, y) son cardinal. Amorc´ ee par Dickman en 1930, l’´ etude asymptotique de Ψ(x, y) a ´ et´ e abord´ ee via diverses m´ ethodes. Pour les grandes valeurs de y, la voie des ´ equations fonctionnelles a ´ et´ e initialement suivie, notamment par de Bruijn [5], [6], et Hildebrand [12]. Pour les petites valeurs de y, la m´ ethode g´ eom´ etrique de comptage de points dans un domaine limit´ e par des hyperplans a ´ et´ e explor´ ee par Ennola [8], qui met ´ egalement en œuvre une technique d’inversion de Laplace effective. Enfin, la m´ ethode du col ´ elabor´ ee par Hildebrand et Tenenbaum [13] fournit une ´ evaluation universelle dont sont tir´ ees les meilleures estimations connues ` a ce jour — voir en particulier le chapitre III.5 de [19].

Le comportement asymptotique de Ψ(x, y) pr´ esente un changement de phase autour de la valeur y = log x. Ce ph´ enom` ene classique trouve son origine dans le fait que le produit des nombres premiers n’exc´ edant pas y devient notablement plus petit que x d` es y 6 c log x o` u c est une constante < 1 : cela impose aux entiers y-friables de l’ordre de x des valuations p-adiques ´ elev´ ees et partant r´ eduit le nombre de possibilit´ es.

Alors que les termes d’erreur disponibles sont globalement satisfaisants pour y > log x, et mˆ eme pour y > (log x)

^1+o(1)

, ceux qui rel` event de valeurs plus faibles de y se r´ ev` elent souvent inop´ erants pour les applications. C’est notamment le cas pour l’in´ egalit´ e de Tur´ an- Kubilius friable — voir infra.

Nous nous proposons dans ce travail d’explorer, dans la zone situ´ ee en dessous du seuil, les possibilit´ es d’´ evaluation de Ψ(x, y) par une combinaison de la m´ ethode des

∗ Nous incluons ici quelques corrections relativement `a la version publi´ee.

r´ esidus, d’estimations de type point-selle, de majorations de sommes d’exponentielles sur les nombres premiers, et d’un principe de transfert, dˆ u ` a Wirsing et Montgomery, pour les moyennes quadratiques de s´ eries de Dirichlet. Nous obtenons ainsi des formules asymptotiques significativement plus pr´ ecises que celles de la litt´ erature et dont les cons´ equences, notamment au comportement local — voir en particulier les Corollaires 3.1, 3.2 et 3.3 infra —, sont suffisantes pour la quasi-totalit´ e des applications envisag´ ees ; certaines sont d´ ecrites plus loin.

L’adjonction des estimations issues de la m´ ethode du col ` a celles du pr´ esent travail finalise l’´ etude globale de la fonction de comptage Ψ(x, y). Un trait sp´ ecifique distinguant nos r´ esultats des ´ evaluations ant´ erieures tient ` a la nature des termes d’erreur, d´ ecroissants

`

a la fois en x et en y. Pour les tr` es petites valeurs du param` etre de friabilit´ e, la pr´ ecision est de l’ordre d’une puissance fractionnaire du terme principal.

L’´ etude qui suit est donc restreinte au domaine

(1·1) 2 6 y 6 (log x)

^1−ε

,

o` u ε > 0 d´ esigne une constante arbitraire.

2. ´ Enonc´ e des estimations principales

Soit

ζ (s, y) := Y

p6y

1 − 1

p

^s

−1

(s ∈ C , y > 2).

Ici et dans la suite, nous notons syst´ ematiquement s = σ + iτ ; la lettre p est r´ eserv´ ee pour d´ esigner un nombre premier, et nous d´ enotons par P l’ensemble de tous les nombres premiers.

Pour x ∈ R

⁺

r N, nous avons

(2·1) Ψ(x, y) = 1

2πi

Z

α+i∞

α−i∞

ζ (s, y)x

^s

s ds,

o` u α = α(x, y) d´ enote le point-selle r´ eel de ζ(s, y)x

^s

, d´ efini par l’´ equation X

p6y

log p

p

^α

− 1 = log x.

Il est ´ etabli dans [13] que

(2·2) α = 1

log y log 1 + y

log x n

1 + O log

₂

2y log y

o

(x > y > 2), et, pr´ ecis´ ement, que, pour tout ε > 0,

(2·3) α =



 

 

 

 

1 − ξ(u) log y + O

1

L

ε

(y) + 1 u(log y)

²

((log x)

^1+ε

6 y 6 x), log(1 + y/ log x)

log y

n

1 + O 1 log y

o

(2 6 y 6 (log x)

³

),

o` u l’on a pos´ e L

ε

(y) := exp{(log y)

^3/5−ε

} et o` u ξ(v) est d´ efini comme la solution de l’´ equation e

^ξ(v)

= 1 + vξ(v) pour v > 1 et ξ(1) := 0.

Ainsi que l’a soulign´ e de Bruijn dans [5], il est raisonnable d’attendre que le r´ esidu

`

a l’origine, not´ e P

y

(log x), fournisse une bonne approximation du membre de gauche lorsque y est petit devant x. Un tel r´ esultat a ´ et´ e obtenu par Ennola [8] dans le domaine 2 6 y 6 (log x)

^3/4−ε

avec un terme d’erreur relatif 1 + O(1/(log x)

^1/8−ε

), am´ eliorable en

1 + O

y

²

(log x) log y

lorsque y 6 (log x)

^7/16

.

Nous ´ etablissons effectivement que P

y

(log x) est une bonne approximation de Ψ(x, y) dans l’ensemble du domaine (1·1) avec un terme d’erreur significativement plus pr´ ecis et globalement compatible avec les applications envisag´ ees.

La fonction g´ en´ eratrice x

^s

ζ(s, y)/s poss` ede une infinit´ e d’autres pˆ oles, aux points 2πik/ log p, pour p 6 y, k ∈ Z

^∗

. En raison du th´ eor` eme fondamental de l’arithm´ etique, ces pˆ oles sont simples : cela explique en partie le fait que les r´ esidus correspondants n’ont pas une influence essentielle sur le comportement asymptotique de Ψ(x, y) et constituent, dans le domaine (1·1), des termes secondaires par rapport au r´ esidu ` a l’origine. Alors que la prise en compte de tous les r´ esidus fournit ´ evidemment une formule exacte pour Ψ(x, y), on peut imaginer qu’une prise en compte partielle permettrait d’´ elucider le changement de phase autour de y = log x. Une telle d´ emarche serait certainement d´ elicate en raison de la semi-convergence des s´ eries des r´ esidus, elle-mˆ eme li´ ee ` a l’ind´ ependance sur Q des log p pour p 6 y. On a par exemple, notant hvi la partie fractionnaire d’un nombre r´ eel v,

Ψ(x, 2) − P

2

(log x) =

¹₂

− log x

log 2

= lim

K→∞

X

0<|k|6K

x

^{2πik/log 2}

2πki ·

Commen¸ cons par expliciter P

y

(log x). Notant {B

m

}

^∞_m=0

la suite des nombres de Bernoulli, nous avons le d´ eveloppement de Laurent

(2·4) 1

1 − e

^−s

= X

m>0

(−1)

^m

B

m

m! s

^m−1

(|s| < 2π), d’o` u

(2·5) ζ(s, y) = X

n>0

(−1)

ⁿ

s

^n−π(y)

X

∗n

Y

p6y

B

jp

(log p)

^jp−1

j

p

! (|s| < 2π/ log y),

o` u le symbole ∗n signifie que la sommation porte sur toutes les suites {j

p

}

p6y

∈ N

^π(y)

telles que P

p6y

j

p

= n.

⁽¹⁾

Il s’ensuit que

(2·6) P

y

(ξ) = X

06k6π(y)

ξ

^π(y)−k

c

k

(y) (π(y) − k)! Q

p6y

log p , avec

(2·7) c

k

(y) := (−1)

^k

X

∗k

Y

p6y

B

jp

(log p)

^jp

j

p

! (k > 0)·

Nous pouvons ´ enoncer le r´ esultat suivant, o` u nous faisons usage de la notation

(2·8) Y

ε

:= e

^{(logy)3/2−ε}

.

Th´ eor` eme 2.1. Pour chaque ε > 0 et sous la condition (1·1), nous avons

(2·9) Ψ(x, y) = n

1 + O 1 Y

ε

log x

o

P

y

(log x).

1. Ainsi qu’il est d’usage dans la litt´erature en langue fran¸caise, l’ensembleNd´esigne ici l’ensemble des entiers naturels positifs ou nuls.

Remarque. Nous donnons au Th´ eor` eme 2.4 une ´ evaluation asymptotique pour les coef- ficients c

k

(y) et explicitons les premi` eres valeurs au Lemme 5.1. La majoration issue de l’estimation ´ etablie en (2·22) infra

(2·10) c

k

(y) = ϑ(y)

^k

2

^k

k!

n 1 + O

k

²

π(y)

o

0 6 k 6 π(y) ,

o` u ϑ d´ esigne la fonction de Tch´ ebychev, permet de retrouver le th´ eor` eme 1 d’Ennola [8], valide pour

(2·11) 2 6 y 6 c p

log x log

₂

x

o` u c > 0 est une constante assez petite. Nous verrons au Th´ eor` eme 2.4 que ce domaine peut ˆ etre ´ etendu.

Pour σ := <e s > 0, posons

ϕ

0

(s, y) := log ζ(s, y), ϕ

k

(s, y) := ϕ

^(k)₀

(s, y), σ

k

= σ

k

(α, y) := (−1)

^k

ϕ

k

(α, y) (k ∈ N ),

o` u la branche du logarithme complexe est obtenue par addition des d´ eterminations principales log{1/(1 − p

^−s

)} pour p 6 y. Notant

(2·12) M (x, y) := x

^α

ζ(α, y)

α √ 2πσ

2

,

o` u α est d´ efini comme en (2·1), Hildebrand et Tenenbaum [13] ont ´ etabli par la m´ ethode du col que l’estimation

(2·13) Ψ(x, y) = M(x, y)

n 1 + O

1 π(y)

o

est valable dans le domaine y 6 log x. Il r´ esulte donc du Th´ eor` eme 2.1 que l’on a, dans le domaine (1·1),

P

y

(log x) = M (x, y) n

1 + O 1

π(y) o

.

Une ´ etude directe permet d’affiner cette estimation. Nous posons (2·14) s(h) := h!e

^h

h

^−h

/ √

2πh (h > 1),

de sorte que la formule de Stirling implique s(h) = 1 + 1/(12h) + O(1/h

²

) pour h > 1.

Proposition 2.2. Soit ε > 0. Sous la condition (1·1) et en notant h := π(y), nous avons

(2·15)

P

y

(log x) = n

1 + O hy

²

(log x)

²

o M (x, y) s h

= n 1 − 1

12h + O 1

h

²

+ hy

²

(log x)

²

o

M (x, y).

Remarques. (i) Dans cet ´ enonc´ e et les suivants, nous adoptons la convention standard selon laquelle les constantes implicites peuvent d´ ependre des constantes fix´ ees initialement.

(ii) Ce r´ esultat implique que le terme d’erreur de (2·13) est optimal sous la condition y 6 c p

log x log

₂

x o` u c est une constante assez petite.

(iii) Le biais, mis en ´ evidence par (2·15), des ´ evaluations asymptotiques de Ψ(x, y) obtenues par la m´ ethode du col pour les petites valeurs du param` etre y s’explique par la nature de la singularit´ e ` a l’origine de la fonction ζ(s, y), qui est du type 1/s

^h

avec h = π(y). Nous avons en effet

1 2πi

Z

α+i∞

α−i∞

x

^s

s

^h+1

ds = (log x)

^h

h!

pour tout α > 0. Or, le col relatif ` a la fonction x

^s

/s

^h

vaut α

h

:= h/ log x. Le terme principal issu d’un emploi standard de la m´ ethode du col vaut donc

1 2π

Z

∞

−∞

x

^αh

α

^h+1_h

e

^−τ2σh/2

dτ = x

^αh

α

^h+1_h

√

2πσ

h

= (log x)

^h

h! s(h), o` u nous avons pos´ e σ

h

= h/α

²_h

.

La m´ ethode des r´ esidus employ´ ee pour ´ etablir le Th´ eor` eme 2.1 fonctionne ´ egalement pour estimer les quantit´ es

Ψ

m

(x, y) := X

n∈S(x,y) (n,m)=1

1

lorsque l’entier m ne poss` ede pas un trop grand nombre de facteurs premiers. Nous nous restreignons ici au cas o` u le nombre ω(m) des facteurs premiers distincts de m est born´ e, ce qui est suffisant pour certaines applications fondamentales, notamment l’in´ egalit´ e de Tur´ an–Kubilius friable [4]. Nous posons

g

m

(s) := Y

p|m

(1 − p

^−s

) (m ∈ N

^∗

, s ∈ C)

et notons ζ

m

(s; y) = g

m

(s)ζ(s; y) la s´ erie de Dirichlet associ´ ee ` a la fonction de comp- tage Ψ

m

(x, y) lorsque P

⁺

(m) 6 y.

Th´ eor` eme 2.3. Soient ε > 0, M > 1 fix´ es. Sous les conditions (1·1), m > 1, 0 6 ω(m) 6 M , P

⁺

(m) 6 y, nous avons uniform´ ement

(2·16) Ψ

m

(x, y) = n

1 + O 1 Y

ε

log x

o

P

y,m

(log x), o` u l’on a pos´ e

(2·17) P

y,m

(ξ) := X

06j6π(y)

(−1)

^j

λ

j

(m)

j! P

_y^(j)

(ξ) avec λ

j

(m) := P

d|m

µ(d)(log d)

^j

(0 6 j 6 π(y)).

Nous avons ´ egalement (2·18) P

y,m

(ξ) = X

d|m

µ(d)P

y

(ξ − log d) = X

06k6π(y)−ω(m)

ξ

π(y)−ω(m)−k

c

k

(y; m) (π(y) − ω(m) − k)! Q

p6y p-m

log p o` u l’on a pos´ e

(2·19) c

k

(y; m) := (−1)

^k

X

∗k

Y

p6y p-m

B

jp

(log p)

^jp

j

p

! 0 6 k 6 π(y) − ω(m)

.

Remarques. (i) On v´ erifie facilement que λ

j

(m) = 0 si j < ω(m).

(ii) Un emploi direct de la m´ ethode du col permet, dans les hypoth` eses du Th´ eor` eme 2.3, d’obtenir l’´ evaluation

(2·20) Ψ

m

(x, y) x

^α

ζ

m

(α, y)

p π(y) g

m

(α)Ψ(x, y).

L’´ enonc´ e suivant fournit une ´ evaluation asymptotique des coefficients c

k

(y; m) et une formule asymptotique pour le terme principal de (2·16) dans le sous-domaine

(2·21) y = o (log x)

^2/3

(log

₂

x)

^1/3

.

Nous posons

ϑ

r

(y; m) = X

p6y p-m

(log p)

^r

(r > 0, m > 1),

de sorte que ϑ

0

(y; m) = π(y) − ω(m), et notons simplement ϑ

r

(y) := ϑ

r

(y; 1) (y > 2).

Th´ eor` eme 2.4. Soit M > 1. Sous les conditions m > 1, 0 6 ω(m) 6 M , P

⁺

(m) 6 y, et en notant h := π(y), nous avons uniform´ ement

(2·22) c

k

(y; m) = ϑ

1

(y; m)

^k

2

^k

k!

n 1 + O

k(k − 1) h

o

k 6 h − ω(m)

.

En particulier, sous les mˆ emes conditions en y et m, nous avons

(2·23) P

y,m

(ξ) =

ξ +

¹₂

ϑ

1

(y; m)

^h−ω(m)

{h − ω(m)}! Q

p6y p-m

log p

1 + O y

²

h

ξ

²

(ξ > 1).

Remarque. Alors qu’Ennola [8] a ´ elucid´ e le comportement asymptotique de P

y,m

(log x) lorsque y = o p

log x log

₂

x

, la formule (2·23) fournit un ´ equivalent dans la r´ egion (2·21).

Un d´ eveloppement plus pr´ ecis des coefficients c

k

(y; m) permettrait d’agrandir encore ce domaine. On peut ainsi ´ etablir, par exemple, que l’on a, pour y > 2, ξ > 1,

(2·24) P

y

(ξ) =

ξ +

¹₂

ϑ

1

(y)

^h

h! Q

p6y

log p

1 − h(h − 1)ϑ

2

(y)

6ξ

²

+ O

y

³

h

ξ

³

+ y

⁴

h

²

ξ

⁴

.

3. Cons´ equences

Nous conservons la notation h = π(y) dans toute la suite de ce travail.

Dans ce paragraphe, nous d´ eveloppons des r´ epercussions directes de nos r´ esultats sur les estimations relatives au comportement local des fonctions Ψ

m

(x, y).

Le corollaire suivant pr´ ecise les discontinuit´ es de Ψ(x, y) par rapport ` a la seconde variable lorsque le param` etre de friabilit´ e y est petit. L’´ enonc´ e d´ ecoule directement de (2·23) avec m = 1.

Corollaire 3.1. Soit ε > 0. Sous les conditions (1·1) et y ∈ P , nous avons (3·1) Ψ(x, y)

Ψ(x, y−) = log x h log y

1 + ϑ

1

(y) + (h − 1) log y

2 log x + O

1

Y

ε

log x + y

²

h (log x)

²

.

Remarques. (i) Le membre de droite de (3·1) est ∼ (log x)/y dans le domaine (2·21).

(ii) Une formule analogue ` a (3·1) r´ esulte des estimations d’Ennola [8] dans un domaine restreint. Cependant, le terme d’erreur, toujours (y

²

/ log x log y), inh´ erent ` a un tel r´ esultat ne permet pas de faire apparaˆıtre la correction au premier ordre figurant dans l’accolade.

Le r´ esultat suivant apporte une pr´ ecision suppl´ ementaire aux ´ evaluations du th´ eo- r` eme 2.4 de [1]. ` A fins de r´ ef´ erence ult´ erieure, nous l’´ enon¸cons en toute g´ en´ eralit´ e. Nous posons u := min(u, y/ log y), u

y

:= u + (log y)/ log(u + 2), et

R := R(d; x, y) := min n 1

Y

ε

log x + y

²

h (log x)

²

, 1

u

y

+ log d log x

o .

Notons que, dans le domaine y 6 log x, nous avons R min

n 1

Y

ε

log x + y

²

h

(log x)

²

, log y

y + log d log x

o .

Corollaire 3.2. Soit ε > 0. Il existe des constantes absolues positives b

1

, b

2

, et une fonction b = b(x, y; d, m) satisfaisant ` a b

1

6 b 6 b

2

(x > y > 2, d > 1, m > 1) telles que, sous les conditions x > y > 2, 1 6 d 6 x

^1−ε

, P

⁺

(m) 6 y, µ(m)

²

= 1, et ω(m) 1, on ait uniform´ ement

(3·2) Ψ

m

x d , y

=

1 − t

²

u

²

+ u

²

bu

h!g

m

(α)Ψ(x, y) {h − ω(m)}!h

^ω(m)

d

^α

1 + ω(m) log m

2 log x + O(E)

o` u l’on a pos´ e t := (log d)/ log y, E := ω(m)t/u + R. De plus, quitte ` a ajouter t/u au terme d’erreur, cette estimation demeure valide pour 1 6 d 6 x.

Nous explicitons ci-dessous une cons´ equence imm´ ediate, utile pour les applications, du cas d = 1, ω(m) = 1 ou 2, de l’´ enonc´ e pr´ ec´ edent.

Corollaire 3.3. Soit ε > 0. Sous la condition (1·1) et pour tous nombres premiers distincts p, q n’exc´ edant pas y, nous avons

Ψ

p

(x, y) = g

p

(α)Ψ(x, y) n

1 + log p

2 log x + O y

²

h

(log x)

²

+ 1 Y

ε

log x

o (3·3) ,

Ψ

pq

(x, y) = g

pq

(α)

1 − 1 h

Ψ(x, y)

n

1 + log pq log x + O

y

²

h

(log x)

²

+ 1 Y

ε

log x

o (3·4) ,

Ce dernier r´ esultat joue notamment un rˆ ole crucial dans l’´ etude de l’in´ egalit´ e de Tur´ an-Kubilius friable telle qu’entreprise dans [2], et poursuivie dans [15], [10], [3]. Ce probl` eme fondamental en th´ eorie probabiliste des nombres est li´ e ` a la mod´ elisation de la r´ epartition, sur l’ensemble des entiers friables, d’une fonction arithm´ etique additive ` a valeurs complexes par une somme de variables al´ eatoires ind´ ependantes. Plus pr´ ecis´ ement,

´

etant donn´ es une fonction additive f et un couple de nombres r´ eels (x, y) tel que x > y > 2, nous d´ efinissons des variables al´ eatoires g´ eom´ etriques ξ

p

par

P ξ

p

= f(p

^ν

)

= 1 − 1/p

^α

p

^να

(ν = 0, 1, 2, . . .)

avec la convention que, si plusieurs valeurs (en nombre ´ eventuellement infini) f (p

^ν

) co¨ıncident, la probabilit´ e correspondante est obtenue en sommant les probabilit´ es ap- paraissant au second membre. Notant

Z

f

= Z

f,x,y

= X

p6y

ξ

p

,

o` u les ξ

p

sont ind´ ependantes, et introduisant la variance semi-empirique V

f

(x, y) := 1

Ψ(x, y) X

n∈S(x,y)

|f(n) − E (Z

f

)|

²

, le probl` eme consiste alors ` a majorer la quantit´ e

(3·5) C(x, y) := sup

f

V

f

(x, y)/V(Z

f

) (x > y > 2)

o` u le supremum est pris sur l’ensemble des fonctions arithm´ etiques additives complexes.

Classiquement, le comportement asymptotique de C(x, y) mesure l’´ ecart entre la th´ eorie probabiliste des nombres et celle des probabilit´ es. ` A l’instar du cas historique y = x, le fait que C(x, y) soit born´ ee met en ´ evidence la pertinence globale du mod` ele probabiliste alors que la comparaison asymptotique de cette quantit´ e ` a 1 + o(1) souligne les limites d’une hypoth` ese d’ind´ ependance.

A la suite des travaux pr´ ` ecit´ es, nous savons que sup

h(x)6y6x

C(x, y) 1 (x > 2) pour h(x) := √

log x log

₂

x, tandis que l’ind´ ependance asymptotique sous la forme C(x, y) = 1 + o(1) a lieu d` es que y/ log x et u := (log x)/ log y tendent vers l’infini.

Nous avons pu ´ etablir dans [4] la majoration universelle sup

x>y>2

C(x, y) 1

et, grˆ ace aux r´ esultats pr´ esent´ es plus haut, obtenir le renseignement suppl´ ementaire (3·6) C

1

(x, y) 6 1 + o(1) (1/u + 1/y → 0)

o` u C

1

(x, y) d´ esigne la quantit´ e analogue ` a (3·5) lorsque le supremum est pris sur l’ensemble des fonctions arithm´ etiques complexes fortement additives. Compte tenu des r´ esultats de [2] mentionn´ es plus haut, (3·6) devient une ´ egalit´ e d` es que u et y/ log x tendent vers l’infini. Nous renvoyons ` a [4] pour des d´ eveloppements et r´ esultats compl´ ementaires concernant cette question.

4. Applications

Les m´ ethodes utilis´ ees dans le pr´ esent travail sont ais´ ement g´ en´ eralisables aux cas o` u la s´ erie de Dirichlet en cause peut ˆ etre exprim´ ee comme le carr´ e d’une s´ erie ` a coefficients positifs ou nuls. D´ ecrivons ici deux applications li´ ees ` a des fonctions arith- m´ etiques classiques.

Consid´ erons d’abord la fonction nombre de diviseurs, n 7→ τ (n). Nous pouvons estimer, dans les mˆ emes domaines que pr´ ec´ edemment, la fonction sommatoire friable

Ψ

τ

(x, y) := X

n∈S(x,y)

τ (n).

Le terme principal attendu est Q

τ,y

(log x), un polynˆ ome en log x de degr´ e 2h = 2π(y).

Parall` element ` a (2·6), nous obtenons

(4·1) Q

τ,y

(ξ) = X

06k62h

ξ

^2h−k

d

k

(y) (2h − k)! Q

p6y

(log p)

²

, o` u l’on a pos´ e, avec la notation (2·7),

(4·2) d

k

(y) := X

06j6k

c

j

(y)c

_k−j

(y) (k > 0)·

L’analogue du Th´ eor` eme 2.1 s’´ enonce alors comme suit.

Th´ eor` eme 4.1. Pour chaque ε > 0 et sous la condition (1·1), nous avons

(4·3) Ψ

τ

(x, y) = n

1 + O 1 Y

ε

log x

o

Q

τ,y

(log x).

En particulier, notant h := π(y), nous avons (4·4) Q

τ,y

(ξ) =

ξ + ϑ

1

(y)

^2h

(2h)! Q

p6y

(log p)

²

1 + O y

²

h

ξ

²

(ξ > 1).

Remarque. Une ´ evaluation analogue peut ˆ etre obtenue pour la sous-somme restreinte aux entiers y-friables premiers ` a un entier m fix´ e.

Il r´ esulte en particulier des Th´ eor` emes 2.1 et 4.1 que, lorsque y = o p

log x log

₂

x , nous avons

(4·5) Ψ

τ

(x, y)

Ψ(x, y) = h!(log x)

^h

(2h)! Q

p6y

log p n

1 + O hy log x

o

= log x y

h+o(h)

(x → ∞).

Cela pr´ ecise, dans le cas particulier et pour le domaine consid´ er´ es, l’´ evaluation du th´ eor` eme 2.5 de [1], soit

Ψ

τ

(x, y)

Ψ(x, y) = ζ (α, y) n

1 + O 1 h

o ,

dont le terme r´ esiduel ne tend pas vers 0 lorsque y est born´ e. Qualitativement, ces r´ esultats fournissent une nouvelle illustration du fait qu’un entier tr` es friable poss` ede en moyenne un nombre anormalement grand de diviseurs.

Notre seconde application concerne l’estimation de

(4·6) Ψ

r

(x, y) := X

n∈S(x,y)

r(n),

o` u r(n) d´ esigne le nombre de repr´ esentations de l’entier n comme somme de deux carr´ es.

Notons, pour y > 2,

(4·7)

π(y; j, 4) := X

p6y p≡j(mod 4)

1 (j = 3, 4), ν

p

:=

2 si p ≡ 1 (mod 4)

1 si p = 2 ou p ≡ 3 (mod 4), h

4

:= X

p6y

ν

p

= π(y) + π(y; 1, 4), b

k

(y) := (−1)

^k

X

†k

Y

p6y

B

jp

w

p

(j

p

)(−1)

^mp

(log p)

^jp+mp

j

p

!m

p

! (k > 0),

o` u le symbole †k signifie que la sommation porte sur toutes les suites de vecteurs {(j

p

, m

p

)}

p6y

∈ N

^π(y)

× N

^π(y;1,4)

telles que P

p6y

j

p

+ P

p6y, p≡1 (mod 4)

m

p

= k et o` u l’on a pos´ e

w

p

(j) :=

( 1 si p = 2

1 − j si p ≡ 1 (mod 4),

2

^j

si p ≡ 3 (mod 4).

Le terme principal attendu dans l’´ evaluation de (4·6) fait intervenir le polynˆ ome de degr´ e h

4

d´ efini par

(4·8) Q

r,y

(ξ) := 2

^{2−π(y;3,4)}

Q

p6y

(log p)

^νp

X

06k6h4

ξ

^h4−k

b

k

(y) (h

4

− k)! ·

Th´ eor` eme 4.2. Pour chaque ε > 0 et sous la condition (1·1), nous avons

(4·9) Ψ

r

(x, y) =

n 1 + O

1 Y

ε

log x

o

Q

r,y

(log x).

De plus,

(4·10) Q

r,y

(ξ) = 4

ξ + ϑ

1

(y) −

¹₂

log 2

^h4

h

4

!2

^π(y;3,4)

Q

p6y

(log p)

^νp

1 + O y

²

h

4

ξ

²

(ξ > 1).

Il r´ esulte en particulier des Th´ eor` emes 2.1 et 4.2 que, lorsque y = o p

log x log

₂

x , nous avons

Ψ

r

(x, y)

Ψ(x, y) = 4(log x)

^π(y;1,4)

h!

h

4

!2

^π(y;3,4)

Q

p6y p≡1 mod 4

log p n

1 + O h

4

y log x

o

= log x y

{1+o(1)}π(y;1,4)

(x → ∞).

Par comparaison avec (4·5), nous obtenons ainsi que l’ordre moyen friable de r(n) est comparable ` a la racine carr´ ee de celui de τ (n) pour les petites valeurs du param` etre y.

5. Preuves

5 · 1. D´ emonstration du Th´ eor` eme 2.1

Pour des raisons techniques, nous faisons appel ` a la variante de la formule (2·1) (5·1)

Z

x 0

Ψ(t, y) dt = 1 2πi

Z

α+i∞

α−i∞

ζ(s, y)x

^s+1

s(s + 1) ds,

qui est valable pour tout x > 0. L’´ etape liminaire de la preuve consiste ` a tronquer l’int´ egrale du membre de droite de (5·1). ` A cette fin, nous observons d’abord qu’il existe une constante absolue y

0

telle que, si y > y

0

, nous ayons pour tout ε > 0 et une constante convenable c = c

ε

> 0,

(5·2) ζ (s, y) ζ(α, y)

1 + τ

²

(log x)

²

(1 + τ

²

)y

²

−cπ(y)

(2 6 y 6 log x, σ = α, |τ | 6 Y

_ε²

).

En effet, compte tenu de l’´ evaluation connue α π(y)/ log x, valable dans le domaine 2 6 y 6 log x — voir (2·2) —, et de l’identit´ e

1 − p

^−α

|1 − p

^−s

|

2

= 1

1 + 4(sin

¹₂

τ log p)

²

/p

^α

(1 − p

^−α

)

²

(p ∈ P, s = α + iτ ),

la majoration (5·2) est ´ evidente sous la condition suppl´ ementaire |τ | 6 π/ log y. Lorsque π/ log y < |τ | 6 √

y et y

0

est assez grand, nous pouvons employer les majorations

classiques pour le nombre de nombres premiers dans les petits intervalles. Nous omettons

les d´ etails, analogues ` a ceux de la preuve du lemme 5.12 de [18]. Enfin, dans le domaine

√ y 6 |τ | 6 Y

_ε²

, nous utilisons d’une part l’estimation, suivante, valable pour une constante c

0

> 0 convenable et ´ etablie par la m´ ethode usuelle d’int´ egration complexe ` a partir de la r´ egion sans z´ ero de Vinogradov-Korobov,

X

p6y

p

^iτ

y

^1−c0β(τ)

+ π(y)

3 + |τ | + y

^1−c0β(y)

y > 3, τ ∈ R , log(3 + |τ |) 6 (log y)

^3/2

(log

₂

y)

²

,

o` u l’on a pos´ e β(τ ) := {log(3 + |τ |)}

^−2/3

{log

₂

(3 + |τ |)}

^−1/3

, et, d’autre part, l’in´ egalit´ e d’Erd˝ os-Tur´ an — voir, par exemple, [19], th. I.6.15. Nous obtenons ainsi, dans le domaine

√ y 6 |τ | 6 e

^{(logy)3/2/(log2y)3}

,

X

p6y k(τ /2π) logp−¹₄k6t

1 = tπ(y) + O π(y) (log y)

²

(y > 2, 0 6 t 6

¹₂

).

Cela suffit pleinement ` a ´ etablir (5·2) en choisissant par exemple t =

¹₆

puis y

0

assez grand.

Nous notons incidemment que la majoration (5·2) est valable dans le domaine ´ etendu y 6 log x, mais nous n’utiliserons pas cela dans la suite.

Il d´ ecoule de (5·2) que (5·3)

Z

Y_ε²

−Y_ε²

|x

^s

ζ (s, y)| dτ x

^α

ζ (α, y)y

p π(y) log x Ψ(x, y)y

log x Ψ(x, y)Y

ε

log x , o` u la seconde majoration est issue de l’´ evaluation

Ψ(x, y) x

^α

ζ(α, y) p π(y)

α log x x

^α

ζ(α, y) p π(y) ,

´

etablie dans [13] sous l’hypoth` ese 2 6 y 6 log x.

Introduisons ` a pr´ esent la fonction arithm´ etique multiplicative r d´ efinie par r(p

^ν

) = r

ν

:=

2ν ν

/4

^ν

(ν > 0, p ∈ P).

Nous avons

Z (s, y) := X

n>1

r(n)

n

^s

= ζ(s, y)

^1/2

(σ > 0, y > 2)

et, puisque r > 0, nous pouvons ´ ecrire en vertu de l’in´ egalit´ e de Montgomery–Wirsing (voir [16], th. 7.3 ou [19], lemme III.4.10),

Z

U+2V U

|ζ(s, y)| dτ =

Z

U+2V U

|Z (s, y)|

²

dτ 6 3

Z

V

−V

|Z (s, y)|

²

dτ = 3 Z

V

−V

|ζ(s, y)| dτ

(U ∈ R , V > 0).

Compte tenu de (5·3), nous en d´ eduisons que Z

α+i(k+1)Y_ε²

α+ikY_ε²

ζ (s, y)x

^s+1

s(s + 1) ds xΨ(x, y)

k

²

Y

_ε²

log x (k ∈ Z , k 6= −1, 0).

D’autre part, grˆ ace ` a (5·2), nous avons Z

α±iY_ε²

α±i/logy

ζ(s, y)x

^s+1

s(s + 1) ds x

^1+α

ζ (α, y)(log

₂

2y) log x 2y log y

−2cπ(y)

xΨ(x, y) Y

_ε²

log x En reportant dans (5·1) et en tenant compte de (5·2), nous obtenons, dans le domaine y

0

< y 6 (log x)

^1−ε

,

(5·4)

Z

x 0

Ψ(t, y) dt = 1 2πi

Z

α+i/logy α−i/logy

ζ(s, y)x

^s+1

s(s + 1) ds + O

xΨ(x, y) Y

_ε²

log x

.

Pour montrer que (5·4) persiste pour 2 6 y 6 y

0

, il suffit de remplacer, dans les calculs qui pr´ ec` edent, Y

_ε²

par π/ log y

0

, de sorte que (5·2) est trivialement valable. Comme cette manipulation n’alt` ere que la constante implicite dans (5·4), la conclusion est acquise.

D´ epla¸ cons alors le segment d’int´ egration vers la gauche jusqu’` a l’abscisse σ = −1/ log y.

Le seul r´ esidu ` a prendre en compte est en s = 0. La contribution des segments horizontaux peut ˆ etre ´ evalu´ ee en observant que

ζ

σ ± i log y , y

6 Y

p6y

p

^σ/2

2 sin{(log p)/(2 log y)} e

^c1π(y)

(−1/ log y 6 σ 6 α) pour tout c

1

> log(π/2). Celle du segment vertical rel` eve de la majoration

|ζ (s, y)| 6 Y

p6y

1

p

^1/logy

− 1 e

^c1π(y)

(s = −1/ log y + iτ ).

Comme ζ(α, y) (log x)

^επ(y)/2

+ (log x)

^π(y)

e

^{−y+O(y/logy)}

dans le domaine (1·1), nous obtenons ainsi

Z

x 0

Ψ(t, y) dt = Z

x

0

P

y

(log t) dt + O

xΨ(x, y) Y

_ε/2²

log x

.

En utilisant l’encadrement 1 z

Z

x x−z

Ψ(t, y) dt 6 Ψ(x, y) 6 1 z

Z

x+z x

Ψ(t, y) dt avec z := x/Y

_2ε/3

et l’estimation

(5·5) P

_y⁰

(log x) π(y)

log x P

y

(log x), valable dans le domaine (1·1), nous obtenons bien (2·9).

Pour ´ etablir (5·5), nous ´ ecrivons (5·6) P

y

(log x) = 1

2πi Z

R

x

^s

ζ(s, y)

s ds, P

_y⁰

(log x) = 1 2πi

Z

R

x

^s

ζ(s, y) ds,

o` u R est le rectangle de sommets α ± i/ log y, (−1 ± i)/ log y, parcouru dans le sens direct.

Consid´ erons d’abord la premi` ere int´ egrale de (5·6). La contribution globale des segments horizontaux et du segment vertical gauche est major´ ee comme pr´ ec´ edemment par

(5·7) x

^α

e

^c2π(y)

x

^α

ζ(α, y)

p π(y)(log x)

^επ(y)/2

,

pour toute constante c

2

> 1. D’apr` es le lemme 10 de [13], la contribution du segment vertical droit est de l’ordre de

(5·8) x

^α

ζ(α, y)

p π(y) Ψ(x, y).

Nous pouvons donc ´ ecrire, dans le domaine (1·1),

(5·9) P

y

(log x) Ψ(x, y).

La seconde int´ egrale de (5·6) peut ˆ etre trait´ ee similairement pour fournir (5·10) P

_y⁰

(log x) αΨ(x, y) π(y)Ψ(x, y)

log x · 5 · 2. D´ emonstration du Th´ eor` eme 2.3

L’estimation (2·16) est obtenue en appliquant ` a ζ

m

(s, y) la m´ ethode employ´ ee pour ζ (s, y) dans la d´ emonstration du Th´ eor` eme 2.1. Les calculs ´ etant identiques, nous omettons les d´ etails. Nous obtenons (2·16) avec le terme principal

P

y,m

(ξ) := R´ es e

^ξs

s ζ

m

(s, y); 0

= X

d|m

µ(d)P

y

(ξ − log d)

= X

06k6π(y)−ω(m)

ξ

π(y)−ω(m)−k

c

k

(y; m) (π(y) − ω(m) − k)! Q

p6y p-m

log p , o` u la seconde ´ egalit´ e est l’analogue de (2·6) pour P

y,m

.

Nous obtenons (2·17) en observant que R´ es

e

^ξs

s ζ

m

(s, y); 0

= X

d|m

µ(d) R´ es

e

^(ξ−logd)s

s ζ(s, y); 0

.

5 · 3. D´ emonstration du Th´ eor` eme 2.4

L’´ enonc´ e suivant explicite les premi` eres valeurs des c

k

(y; m).

Lemme 5.1. Soit M > 1. Sous les conditions m > 1, 0 6 ω(m) 6 M et P

⁺

(m) 6 y, nous avons

(5·11)

c

0

(y; m) = 1,

c

1

(y; m) =

¹₂

ϑ

1

(y; m),

c

2

(y; m) =

¹₈

ϑ

1

(y; m)

²

−

₂₄¹

ϑ

2

(y; m), c

3

(y; m) =

₄₈¹

ϑ

1

(y; m)

ϑ

1

(y; m)

²

− ϑ

2

(y; m) . D´ emonstration. Nous avons B

1

= −

¹₂

, B

2

=

¹₆

, B

3

= 0, et

(5·12) c

0

(y; m) = 1, c

1

(y; m) = −B

1

ϑ

1

(y; m) =

¹₂

ϑ

1

(y; m).

L’analyse des conditions ∗2 permet d’´ ecrire c

2

(y; m) =

¹₂

B

2

ϑ

2

(y; m) + B

²₁

X

p1<p26y (p1p2,m)=1

(log p

1

)(log p

2

)

=

¹₂

B

2

ϑ

2

(y; m) +

¹₂

B

₁²

ϑ

1

(y; m)

²

− ϑ

2

(y; m) =

¹₈

ϑ

1

(y; m)

²

−

₂₄¹

ϑ

2

(y; m).

Comme B

3

= 0, nous obtenons de mˆ eme c

3

(y; m) = −

¹₂

B

1

B

2

ϑ

1

(y; m)ϑ

2

(y; m) − ϑ

3

(y; m)

− B

₁³

X

p1<p2<p36y (p1p2p3,m)=1

(log p

1

)(log p

2

)(log p

3

)

= −

¹₂

B

1

B

2

ϑ

1

(y; m)ϑ

2

(y; m) − ϑ

3

(y; m)

−

¹₆

B

³₁

ϑ

1

(y; m)

³

− 3ϑ

1

(y; m)ϑ

2

(y; m) + 2ϑ

3

(y; m)

=

₄₈¹

ϑ

1

(y; m)

³

−

₄₈¹

ϑ

1

(y; m)ϑ

2

(y; m).

Cela ach` eve la d´ emonstration du lemme. u t

Nous sommes maintenant en mesure de d´ emontrer le Th´ eor` eme 2.4.

Pour ´ etablir (2·22), nous pouvons manifestement supposer y assez grand, et, compte tenu de (5·12), k > 2. Nous observons alors que, d’apr` es (2·4), la formule de Cauchy permet d’´ ecrire, pour tout r ∈]0, 2π/ log y[,

(5·13) c

k

(y; m) = 1

2πi I

|z|=r

f

y,m

(z) dz z

^k+1

avec

f

y,m

(z) := Y

p6y p-m

z log p

1 − p

^−z

= e

^zϑ1(y;m)/2

Y

p6y p-m

(z/2) log p sh{(z/2) log p}

= e

^zϑ1(y;m)/2

n

1 + O

z

²

ϑ

2

(y; m) o

(z log y 1).

La contribution du terme principal au membre de droite de (5·13) co¨ıncide avec celui de (2·22). Pour ´ evaluer le terme r´ esiduel, nous choisissons r := 2k/ϑ

1

(y; m). Nous obtenons la majoration

e

^k

ϑ

1

(y; m)

^k

k

²

h(2k)

^k

Z

π

−π

e

^{−(1−cosv)k}

dv ϑ

1

(y; m)

^k

k

²

h2

^k

k! , ce qui ach` eve la preuve.

L’estimation (2·23) pour P

y,m

(ξ) en r´ esulte par sommation sur k grˆ ace ` a la formule du binˆ ome et ` a l’identit´ e

X

06k6h

k(k − 1) h

k

a

^k

b

^h−k

= h(h − 1)a

²

(a + b)

^h−2

.

Un d´ eveloppement ` a l’ordre 4 de l’int´ egrande de (5·13) permet d’affiner (2·23) pour obtenir (2·24).

5 · 4. D´ emonstration du Corollaire 3.2

Le lemme suivant fournit une approximation au premier ordre du rapport des termes principaux des approximations de Ψ(x, y) et Ψ

m

(x, y) apparaissant respectivement en (2·9) et (2·16).

Lemme 5.2. Soit ε > 0. Sous les conditions ξ := log x > 2, 2 6 y 6 ξ

^1−ε

, P

⁺

(m) 6 y, µ(m)

²

= 1, ω(m) 1, nous avons uniform´ ement

(5·14) P

y,m

(ξ) = g

m

(α)P

y

(ξ)h!

{h − ω(m)}! h

^ω(m)

1 + ω(m) log m

2ξ + O

y

²

h ξ

²

.

D´ emonstration. Observons d’abord que la d´ efinition de α = α(x, y) et le d´ eveloppement (2·4) impliquent, pour y/ξ assez petit, puisque α

^r

ϑ

r

(y) h 2y/ξ

r

(r > 0),

(5·15) αξ = X

p6y

α log p p

^α

− 1 = X

r>0

B

r

r! α

^r

ϑ

r

(y), de sorte qu’un d´ eveloppement ` a l’ordre 2 fournit

αξ = X

p6y

α log p

p

^α

− 1 = h −

¹₂

αϑ

1

(y) + O y

³

ξ

²

log y

,

et donc

α

ξ +

¹₂

ϑ

1

(y) = h

1 + O y

²

ξ

²

(2 6 y 6 ξ), (5·16)

α = h ξ

1 − ϑ

1

(y) 2ξ + O

y

²

ξ

²

(2 6 y 6 ξ).

(5·17) Il suit

(5·18) g

p

(α) = h log p ξ +

¹₂

ϑ

1

(y)

n

1 − h log p 2ξ + O

y

²

ξ

²

o

(p 6 y), et donc, dans les conditions de l’´ enonc´ e,

(5·19) g

m

(α) = h

^ω(m)

Y

p|m

log p ξ +

¹₂

ϑ

1

(y)

n

1 − h log m

2ξ + O y

²

ξ

²

o .

Effectuons alors le rapport de l’´ evaluation (2·23) ` a sa sp´ ecialisation pour m = 1. Nous obtenons, compte tenu de (5·19),

P

y,m

(ξ) P

y

(ξ) =

1 − log m 2ξ + ϑ

1

(y)

h−ω(m)

h!

(h − ω(m))!

Y

p|m

log p ξ +

¹₂

ϑ

1

(y)

n

1 + O y

²

h ξ

²

o

= {1 − (h − ω(m))(log m)/2ξ}h!g

m

(α) {1 − h(log m)/2ξ}(h − ω(m))!h

^ω(m)

n

1 + O y

²

h ξ

²

o

=

1 + ω(m) log m 2ξ

h!g

m

(α) (h − ω(m))!h

^ω(m)

n 1 + O

y

²

h ξ

²

o .

Cela implique bien (5·14). u t

Nous sommes ` a pr´ esent en mesure de prouver le Corollaire 3.2. Nous pouvons nous re- streindre au cas y 6 p

log x log

₂

x : la circonstance compl´ ementaire rel` eve du th´ eor` eme 2.4 de [1] puisque l’on a alors R 1/u

y

+ t/u.

L’estimation (2·23) fournit alors, sous les hypoth` eses consid´ er´ ees, notant ξ = log x, P

y,m

(ξ − t log y)

P

y,m

(ξ) =

1 − 2 log d 2ξ + ϑ

1

(y) − log m

h−ω(m)

n 1 + O

y

²

h ξ

²

o

= 1 d

^β

1 − t

²

u

²

+ u

²

bu

1 + O

y

²

h ξ

²

, avec β := 2{h − ω(m)}/(2ξ + ϑ

1

(y) − log m). Comme (5·16) implique

d

^{h/(2ξ+ϑ1(y))}

= d

^α

1 + O y

²

h

ξ

²

, nous avons

d

^β

= d

^α

1 + O

tω(m) u + y

²

h

ξ

²

.

La conclusion requise r´ esulte alors du Th´ eor` eme 2.3 et du Lemme 5.2.

5 · 5. Comparaison avec la m´ ethode du col : preuve de la Proposition 2.2 Consid´ erons un couple (x, y) v´ erifiant (1·1) et, pour simplifier les ´ ecritures, posons encore

h := π(y).

Constatons d’abord que nous pouvons restreindre l’´ etude au domaine (2·11). En effet, lorsque y p

log x log

₂

x, les relations (2·15) r´ esultent de (2·13) et du Th´ eor` eme 2.1 puisque s(h) = 1 + O(1/h) et y

²

h/(log x)

²

1/h. De plus, nous pouvons clairement supposer x assez grand.

Comme le d´ eveloppement de 1/(e

^s

− 1) fournit, par d´ erivation, s

²

e

^s

(e

^s

− 1)

²

= X

r>0

B

r

r! (1 − r)s

^r

, nous avons

α

²

σ

2

= X

p6y

(α log p)

²

p

^α

(p

^α

− 1)

²

= h + X

r>2

B

r

r! (1 − r)α

^r

ϑ

r

(y).

Compte tenu de la majoration classique B

r

/r! 1/(2π)

^r

(r > 1) et de l’estimation (5·17), la derni` ere somme en r est h(y/ log x)

²

. Elle n’exc` ede donc pas

¹₂

h en valeur absolue lorsque (x, y) v´ erifie (2·11) et x est assez grand. Le d´ eveloppement

√ 1

1 − z = X

ν>0

2ν ν

z

^ν

4

^ν

(|z| < 1), permet alors d’´ ecrire

(5·20)

√ 1

2πα

²

σ

2

= 1

√ 2πh X

ν>0

2ν ν

1 4

^ν

X

r>2

B

r

r! (r − 1)α

^r

ϑ

r

(y) h

ν

= 1

√ 2πh n

1 + O y

²

(log x)

²

o .

Maintenant, la formule (2·5) appliqu´ ee en s = α implique, avec la notation (2·7), ζ(α, y) Y

p6y

log p = 1 α

^h

X

k>0

(−1)

^k

α

^k

X

∗k

Y

p6y

B

jp

(log p)

^jp

j

p

! = 1

α

^h

X

k>0

α

^k

c

k

(y).

En reportant l’estimation (2·22), nous obtenons

(5·21)

ζ(α, y) Y

p6y

log p = 1 α

^h

X

k>0

α

^k

ϑ

1

(y)

^k

2

^k

k!

n 1 + O

k(k − 1) log y y

o

= e

^αϑ1(y)/2

α

^h

n 1 + O

y

²

h (log x)

²

o .

Au vu de (5·16), nous avons, dans le domaine (2·11), (5·22) x

^α

e

^αϑ1(y)/2

= exp

h + O

y

²

h (log x)

²

= e

^h

1 + O

y

²

h (log x)

²

,

et aussi

(5·23)

α

log x +

¹₂

ϑ

1

(y)

h

h

^−h

=

1 + O y

²

(log x)

²

h

= 1 + O

y

²

h (log x)

²

.