Deux exercices d'examen sur les formes normales

Université Paris-Diderot Outils Logiques

Licence Année 2017-2018

TD n ^◦ 6

Deux exercices d'examen sur les formes normales

Exercice 1 SoitFl'ensemble de toutes les formules contenant uniquement les opérateurs{True,False,⊕}

et soit z ∈ V une variable propositionnelle donnée. On considère les règles de transformation suivantes :

True (z∨ ¬z)

False (z∧ ¬z)

(X⊕Y) ((X∧ ¬Y)∨(¬X∧Y))

qu'on utilise pour transformer chaque formule de l'ensemble F en une formule du calcul propositionnel vu en cours (ne contenant aucune occurrence de True, False et ⊕).

1. Compléter les séquences de transformations suivantes :

p1 p2 p3

(False⊕x) (x⊕True)

2. Est-ce que les formules dans la colonnep₂ sont dans l'ensembleF? Pourquoi ?

3. On considère l'ensemble G de toutes les formules construites à partir d'un ensemble de variablesV et des opérateurs{True,False,¬,∨,∧,⊕}. On considère également la fonction Φsur les formules de l'ensembleG :

Φ(x) := 0 Φ(¬p) := Φ(p)

Φ(True) := 1 Φ(p∨q) := Φ(p) + Φ(q) Φ(False) := 1 Φ(p∧q) := Φ(p) + Φ(q)

Φ(p⊕q) := 2·Φ(p) + 2·Φ(q) + 1

(a) Pour chaque séquence de transformationsp₁ p₂ p₃ du point 1, vérier que Φ(p1)>Φ(p2)>Φ(p3).

(b) Montrer par induction sur les formules deG que :p q implique Φ(p)>Φ(q). (c) Comment conclure que toute séquence de transformations à partir d'une formule

quelconque de l'ensembleG est de longueur nie ?

Exercice 2 Soientx1, ..., xn∈V (n >0)des variables propositionnelles. Une clause disjonctive complète et ordonnée sur x₁, .., x_n est une disjonction de litteraux de la forme(l₁∨. . .∨l_n) où, pour chaque 1≤i≤n, soit l_i=x_i, soit l_i=¬x_i.

Nous allons écriren-cdco pour abréger clause disjonctive complète et ordonnée surx1, .., xn. Par exemple, (x₁∨ ¬x₂∨ ¬x₃) est une3-cdco.

1. Écrire toutes les 2-cdco.

2. Combien y a-t-il de n-cdco distinctes ?

3. Montrer que si d etd⁰ sont deux n-cdco distinctes, alors d6|=d⁰, c'est à dire, exhiber une aectationv telle que[[d]]v= 1 et[[d⁰]]v= 0.

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Soitc_nla formule en forme conjonctive normale obtenue par conjonction de toutes lesn-cdco (l'ordre est inessentiel). Ainsi par exemple, à l'ordre des2-cdco près, on a :

c₂ = ((x₁∨x₂)∧(x₁∨ ¬x₂)∧(¬x₁∨x₂)∧(¬x₁∨ ¬x₂))

5. Soitdune n-cdco et soitc^−d_n la forme conjonctive normale obtenue en retirantdde c_n. Donnerc^−(x₂ ^1∨x2).

Montrer quec^−d_n est satisfaisable pour toutnet toutd, c'est à dire, exhiber une aectation v telle que [[c^−d_n ]]v= 1.

6. Montrer quec_nest une contradiction pour toutn, c'est à dire que pour toute aectationv on a[[c_n]]v= 0.

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