Calculs matriciels

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Matrices

Calculs matriciels

I. Notion de matrices et vocabulaire Définition 1

netpdésignent des nombres entiers naturels non nuls.

Unematrice de format (ou taille) (n,p) (oun×p)est untableau de nombres réels ànlignes etp colonnes.

Exemple µ2 −1 5

0 4 1, 8

¶

est une matrice de 2 lignes et 3 colonnes donc de taille 2×3.

Notation générale

M=



















a₁₁ . . . a_1j . . . a_1p ... ... ... a_i1 . . . a_{i j} . . . a_{i p}

... ... ... a_n1 . . . a_{n j} . . . a_np



















=(a_{i j}) oùa_{i j}désigne le coefficient situé à lai^ièmeligne etj^ièmecolonne.

Définition 2

Lorsquen=1, on dit queM estune matrice ligne, formée d’une seule ligne.

Lorsquep=1, on dit queM estune matrice colonne, formée d’une seule colonne.

Lorsquen=p, on dit queMestune matrice carrée d’ordren.

Lamatrice identité d’ordrenest la matrice carrée d’ordrendont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 1. On la noteI_n.

Lamatrice nulle d’ordren, notéeO_n, est la matrice carrée d’ordren dont tous les coefficients sont nuls.

Exemples µ

2 1 9 −15

¶

est une matrice ligne

µ3 2

¶

est une matrice colonne





3 0 −1

1 2 3

−2 0 0



est une matrice carrée d’ordre 3. I₃=





1 0 0

0 1 0

0 0 1



 O₃=





0 0 0

0 0 0

0 0 0





Définition 3

Dire que deux matrices sont égalessignifie qu’elles ont la même taille et qu’elles ont les mêmes coefficients aux mêmes places.

Exercices n^o1 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 p 142

II. Opérations sur les matrices (A) Addition de deux matrices

Définition 4

On appellesomme de deux matricesdemême taillela matrice obtenue en additionnant les co- efficients de même emplacement.

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Exemple µ1 −5 0

2 3 −1

¶ +

µ4 3 2

−3 −3 −1

¶

=

µ5 −2 2

−1 0 −2

¶

Propriétés 1

SoientA,BetCtrois matrices de même taille etOla matrice nulle de même taille.

lA+B=B+A

lA+(B+C)=(A+B)+C

lA+O=O+A=A

(B) Multiplication d’une matrice par un réel Définition 5

On appelleproduit d’une matricepar un nombre réel la matrice obtenue en multipliant tous les coefficients par ce nombre.

Exemple

−2×

µ1 −5 0

2 3 −1

¶

=

µ−2 10 0

−4 −6 2

¶

Propriétés 2

Soient M etM⁰ deux matrices de même taille etO la matrice nulle de même taille.αetβsont deux nombres.

l0M=Oet1M=M

l(α+β)M=αM+βM

lα(M+M⁰)=αM+αM⁰ Définition 6

On appelle opposée deM la matrice (−1)M, notée−M et on noteA−B la matriceA+(−B).

Conséquences

lM−M est la matrice nulle.

lL’égalitéM+A=B équivaut à l’égalitéM=B−A.

Exercices n^o10 - 11 - 12 - 13 p 143

(C) Multiplication d’une matrice ligne par une matrice colonne Définition 7

Soitnun entier non nul. SoitL=¡

a11 a12 . . . a1n¢

une matrice ligne 1×n etC=











 b11

b12

... b_n1













une matrice

colonnen×1.

AlorsL×C=¡

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n¢

×











 b11

b12

... b_n1













=a11×b11+a12×b12+ · · · +a1n×b1n.

Exemples

¡1 4¢

× µ−5

3

¶

=1×(−5)+4×3=7 ¡

2 −3 1¢

×



 4 2 0



=2×4+(−3)×2+1×0=2

Exercices n^o14 p 144

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(D) Multiplication de deux matrices Définition 1

Si Aest une matrice de taillem×n etB une matrice de taillen×p, le produit A×B ou AB est la matrice de taillem×pdont le coefficient situé à la lignei et la colonne j est le « produit de la lignei de A et de la colonne j deB»(au sens de la définition du produit d’une matrice ligne par une matrice colonne) pour 1≤i ≤met 1≤j≤p.

A×B =(c_{i j}) pour 1≤i≤met 1≤j ≤pavecc_{i j}=

n

X

k=1

a_{i k}×b_{k j}

Exemple

Le produit d’une matrice 2×3 par une matrice 3×2 est une matrice 2×2. On dispose de manière pratique : µ1 −5 0

2 3 −1

¶





1 0

4 −1

−2 −3



 c11=1×1+(−5)×4+0×(−2) c12=1×0+(−5)×(−1)+0×(−3)

µ1 −5 0

2 3 −1

¶ µ−19 5 16 0

¶

c₂₁=2×1+3×4+(−1)×(−2) c₂₂=2×0+3×(−1)+(−1)×(−3)

Propriétés 3 (admises)

SoientA,BetCtrois matrices carrées d’ordren,n∈N,λun nombre réel.

l(A×B)×C=A×(B×C)=A×B×C :associativité

lA×(B+C)=(A×B)+(A×C) et (A+B)×C=(A×C)+(B×C):distributivité

l(λA)×B=λA×B etA×(λB)=λA×B :produit par un réelλ

lI_n×A=A×I_n=A

Remarques

lAttention, si les matricesAB etB Asont définies, en général,AB6=B A.

lSi A=0 ouB=0 alorsAB=0. La réciproque est fausse (voir exercice 24 p 144).

Exercices n^o15 - 16 - 17 - 18 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 28 - 29 - 30 - 31 p 144 - 146 Exercices n^o34 - 35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 - 43 - 44 - 45 p 146 - 147 DM n^o32 - 33 - 46 - 47 p 146 - 148

III. Matrices inversibles et application aux systèmes (A) Matrices inversibles

Définition - Proprieté 9

SoitAune matrice carrée d’ordren,n∈N^∗.

On dit que Aestinversiblesi, et seulement si, il existe une matrice carrée d’ordren, notée A⁻¹ telle queA×A⁻¹=A⁻¹×A=I_n.

La matriceA⁻¹est alorsuniqueet est appeléela matrice inversede A.

Propriété - Définition 4

SoitAune matrice carrée d’ordre 2,A= µa b

c d

¶ .

La matriceAestinversiblesi, et seulement si,ad−bc6=0.

Le réelad−bcest appelédéterminantde la matriceAet noté∆. Siad−bc6=0,A⁻¹= 1

ad−bc

µd −b

−c a

¶

Démonstration Activité 8 p 123

Exercices n^o48 - 49 - 50 - 51 - 52 p 148

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(B) Application aux systèmes linéaires

Un système de deux équations linéaires à deux inconnuesxetyest de la forme :

½ ax+b y = e c x+d y = f oùa,b,c,d,e, f sont des nombres.

Les solutions de ce système sont les couples (x;y) vérifiant simultanément ces deux équations.

En considérant les matricesA= µa b

c d

¶ ,X =

µx y

¶ etB=

µe f

¶

, le système s’écrit alorsAX =B. Dans cette écriture matricielle,Aest la matrice associée au système. Les deux équations linéaires se sont transformées en une seule équation matricielle d’inconnueX.

Théorème 1

SiAestinversible, alors le système admet un unique couple solution défini parX =A⁻¹B.

Démonstration

SiAX =B et siAest inversible alors A⁻¹(AX)=A⁻¹B d’oùI X =A⁻¹B c’est-à-direX =A⁻¹B.

Exemple

On considère le système

½ −x+4y = 9 3x+2y = 1 dont l’écriture matricielle estAX=BavecA=

µ−1 4

3 2

¶ ,X=

µx y

¶ etB=

µ9 1

¶ .

Le déterminant deAest∆= −1×2−3×4= −14 est non nul, donc d’après le théorème, la matriceAest inversible et il existe un unique couple solution défini parX=A⁻¹B.

Soit µx

y

¶

= 1

−14

µ2 −3

−4 −1

¶ µ9 1

¶

= µ−1

2

¶

, c’est-à-dire

½ −x = −1 y = 2

Remarque

Ce théorème se généralise aux cas des systèmes denéquations linéaires àninconnues, pour tout entiern≥2.

Exercices n^o53 - 54 - 55 - 56 - 57 - 58 - 59 - 60 - 61 p 148 - 149 Exercices n^o79 - 80 - 81 - 82 - 83 - 84 - 86 - 87 - 89 p 152 - 153 Problèmes n^o90 - 91 - 94 p 154 - 156

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