Devoir (II,2)

(1)

Devoir (II,2) du 12 mars 2009

Sans

Exercice 1

Résolvez le système d'équations donné suivant les valeurs du paramètre réel m.

Donnez une interprétation géométrique du résultat dans le seul cas où la solution donne une droite, dont il faut déterminer les caractéristiques.

2 2

3 2 1

x y mz

mx my z

x my z

  

    

    



_______________________________________________________________________________________

_

Exercice 2

Figure 1:

 

¹ ³ ² ²

f x 4x x 

 Etablissez l'équation de la droite à partir de la figure;

 Déterminez, par le calcul, les bornes d'intégration;

 Calculez ensuite l'aire de la surface coloriée.

Figure 2:

Lisez les bornes sur le graphique et déterminez l'aire de la surface coloriée, sachant que:

 

¹₂



³ ³ ²



²

^{ }

¹₂

^

¹

^ ^{ }

¹₂ ² ³₂ ²

f x  x  x  g x  x h x   x  x

_______________________________________________________________________________________

Répartition des points: 28+30 + 2 (forme et présentation)

(2)

Exercice 2.1 (Devoir 1D-II2-2009)

 

¹ ³ ² ²

f x  4x x 

 Etablissez l'équation de la droite à partir de la figure;

 Déterminez, par le calcul, les bornes d'intégration;

 Calculez ensuite l'aire de la surface coloriée.

Résolution:

Appelons A B C, , les trois points d'intersection des deux courbes. Nous pouvons lire sur le graphe que leurs coordonnées sont: ^A



^{ }^{2; 4 ,}

    

^B ^{2;0 ,}^C ^4;2 ^.

 Sur le graphique, on peut lire que ^d^^{g x}

 

^{  }^y ^x ² ce qui se contrôle aisément par:

 

Equation générale d'une droite :

: 4 1

4

2;0 : 0 2 2

' : 2

AB

y mx h

pente m y d y x h

x

Comme B d h h

D où d y x

 

      



     

  

 Les bornes d'intégration se déterminent par l'intersection des deux courbes:

         

   

3 2

3 2 3 2

expression servant pour la détermination de la primitive

0 1 2 2 0

4

1 1

2 2 0 4 0

4 4

f x g x

f x g x f x g x x x x

x x x x x x



         

          

Or: 1 ³ ² ³ ²

4 0 4 4 4 16 0

4x x   x   x  x  x 

Une solution évidente étant x2 (abscisse de B, à lire sur le graphique), nous pouvons utiliser Horner pour résoudre cette équation:

1 4 4 16

2 2 4 16

1 2 8 0

 

  

 

,

donc: ^x³^⁴^x²^⁴^x^¹⁶^



^x^²

 

^x²^²^x^⁸



^

^

^x^²

^

^x^⁴

^

^x^²

^

Les bornes d'intégration sont par conséquent: x 2x2 et x4.

 Position relative des deux courbes :

   

¹



²



²



⁴



⁰

f x g x  4 x x x 



²



) Racines: 2 2 4

) Tableau des positions:

2 2 4

4 0 0 0

g f g f

i x x x

ii

x x x

Positions Int Int Int

   



    

C C C C

A

B

C

(3)

 Aire cherchée = ²

   

⁴

   

²

   

²

   

2 2 2 4

f x g x dx g x f x dx f x g x dx f x g x dx

 

              

       

   

o Calcul d'une primitive:

     

¹ ³ ² ⁴ ¹ ⁴ ¹ ³ ¹ ² ⁴

4 16 3 2

F x  f x g x dx  x x  x dx x  x  x  x







o Aire cherchée ^^F

 

² ^^F

 

^{ }² ^F

 

² ^^F

 

⁴ ^{ }² ^F

 

² ^^F

 

^{ }² ^F

 

⁴

     

⁸ ⁸ ⁶⁴

2 2 2 4 2 1 2 8 1 2 8 16 8 16

3 3 3

F F F      

                   

     

Aire cherchée = 37 3 u a. .



_______________________________________________________________________________________

Exercice 2.2 (Devoir 1D-II2-2009)

Lisez les bornes sur le graphique et déterminez l'aire de la surface coloriée, sachant que:

    ^{ } ^ ^

 

3 2

2

1 1

3 2 1

2 2

1 3

2 2 2

f x x x g x x

h x x x

    

   

Résolution: 1^ere méthode

Appelons A B C, , les trois points d'intersection des courbes. Nous pouvons lire sur le graphe que leurs coordonnées sont: ^A



^^{1;0 ,}

    

^B ^{0;2 ,}^C ^3;2 . Nous en dégageons que les bornes d'intégration sont

1, 0 et 3

x  x x , les abscisses des points d'intersection.

 Positions relative des courbes :

     

 

   

3 2

2

) 1 3 4 1 0

2

1 3 3 0

2

1 3 1 0

2

a f x g x x x x

x x x

x x

      

    

   

  

²



) Racines: 1 1 3

1 0 1 3

1 3 1 0 0 0

2

g f f f g f

f g g g f g

i x x x

ii

x

x x

   



       

C C C C C C

A

B C





(4)

     

 

2

) 1 3 4 1 0

2

1 2 3 0

2

b h x g x x x x

x x

       

    



²



) Racines: 1 3

1 0 3

1 2 3 0 0

2

g h h h g

h g g g h

i x x

ii

x

x x

Positions Int Int

  



       

C C C C C

Donc, en découpant l'aire en tranches verticales, nous constatons que l'aire totale se décompose en deux parties que nous calculons à l'aide des formules suivantes:

L'aire totale = ⁰

   

³

   

1 0

1 2

Aire Aire

f x g x dx h x g x dx



      

   

 

Calcul de primitives:

        ^ ^

     

3 2

1 4 2

3 4 3 2

1 1

3 2 1

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 1

2 4 2 2 8 2 4

di dx

F x f x g x dx x x x dx

x x

F x x x x x x x



 

 

          

 

 

  

         

 









     

 

2

3 2 3 2

2

1 3 1 1

2 2 2 2 2

1 3 1 3 1 3

2 2 2 3 2 2 2 3 2 2

G x h x g x dx x x x dx

x x x x

G x x x dx x x

 

          

 

             











Calcul des aires:

   

¹ ¹ ¹ ⁹

1 0 1 2

4 8 2 8

Aire F F       

   

^{1 27} ⁹ ⁹ ⁹

2 3 0 0

2 3 2 2 2

Aire G G       

Aire totale = 9 9 45

5,625 . . 8 2 8  u a

(5)

Résolution: 2^me méthode

En découpant la surface d'une autre façon, on trouve:

(L’analyse des positions relatives est laissée – cette fois - aux soins des élèves !)

L'aire totale = ⁰

   

³

   

1 1

1 2

Aire Aire

f x h x dx h x g x dx

 

      

   

 

Calcul de primitives:

     

¹ ¹ ³ ² ³

2 3 2 2

voir ere

méthode

x x

G x  



h x g x dx     x

     

¹₂



³ ³ ²



²

H x  



f x h x dx x  x  ^¹₂^x²^³₂^x^²

 

3 2 2 3 2

4 3 2

1 3 1 3 1 3

2 2 2 2 2 2

1 3 1 1 3

2 4 3 2 2 8 3 4

dx

H x x x x x dx x x x dx

x x x

H x x x x

 

 

 

   

            

       





 

 

 

Calcul des aires:

   

¹ ¹ ³ ⁷

1 0 1 0

8 3

3 8 6

3 8 4 6 24

Aire H H         

   

^{1 27}

2 3 1

2 3 Aire G G     9

2 9 1 1 3 9 5 32 16

2 6 2 2 2 6

3

3 3 3

3 3

3 6

   

          

  Aire totale = 7 16 135 45

5,625 . .

24 3 24

8

8 8 u a

    

_______________________________________________________________________________________





(6)

Exercice 3: (Devoir 1E-II2-2009)

1) Déterminez l'aire géométrique de la surface délimitée par la courbe C_f et la droite AB, sachant que ^{f x}

 

^{ }¹₄



^x⁴^⁵^x²^⁴



^et^A

^

^{ }^{3; 8 ,}

^{  }

^B ^2;2 ^{. Vous}

êtes prié(e)s de déterminer l'équation de cette droite par le calcul.

Résolution:

 Détermination de la droite qui passe par les deux points A et B:

d y mxh

10 2 2

5

B A

y y

pente m y d y x h

x x x



        

 

Comme ^B

 

^{2, 2} ^^d^: ²^{  }^{2 2} ^h ^ ^h^{ }²

D'où ^d^{ }^y ²^x^{ }² ^{g x}

 

est l'équation de la droite cherchée.

 Position relative des deux courbes

      ^ ^

 

    

4 2

Racines par le graphique

2 par Horner

1 5 4 2 2 0

4

1 5 8 12 0

4

1 3 2 2 0

4

f x g x x x x

x x x

x x x x

       

     

      

   

²



0, 0

) Racines: 3 2

3 2

1 3 2 2 0 0

4

car

g f g

f g f

i x x

ii

x

x x x x

Positions Int Int

 

  



       

C C C

 Comme on veut déterminer l'aire de la surface délimitée par les courbes de f et g, les points A et B étant les extrémités et la position relative de ces deux courbes ne changeant pas, cette aire se détermine à l'aide de la formule: ²

   

3

Aire f x g x dx



 



   ^.

 Calculons d'abord une primitive ...

     

 

4 2 4 2

5 3 5 3

2 2

1 5 1 5

1 2 2 2 3

4 4 4 4

1 5 5

3 3

4 5 4 3 20 12

P x f x g x dx x x x dx x x x dx

x x x x

x x P x x x

   

                

           

 

 

 



Chez le dentiste

(7)

 ... ensuite l'aire:

 

²

 

³ ³² ⁴⁰ ^{4 6} ²⁴³ ¹³⁵ ^{9 9}

20 12 20 12

Aire P P               

32 243 40 135 275 175 55 175

2 18 20 20

20 12 20 12 4 12

165 175 5 125

20 20 . .

12 6 Aire 6 u a

    

         

 

    

Que faire, si on ne résussit pas à déterminer l'équation de cette droite ? (hautement déplorable !!!) Si tel est tout de même le cas,

 on trace une droite horizontale passant par ^A



^{ }^{3; 8}



, dont l'équation est donnée par ^{h x}

 

^{  }^y ⁸^,

 on trace la droite verticale qui passe par ^B

 

^2;2 pour former alors le triangle



^ABC



, rectangle en C,

 on calcule ensuite l' ²

   

3

275 Airebleue f x h x dx 6



 



    ^,

 ensuite l'aire du triangle rectangle violet: 5 10 2 25 Aire 

  , et

 on retranche ensuite l'aire du triangle de l'aire bleue: 275 25 6 125 6 6 6 . . Aire cherchée    u a

_______________________________________________________________________________________

Exercice 4: (Devoir 1E-II2-2009)

2) Déterminez l'aire géométrique de la surface délimitée par les courbes C_f et C_g(coloriée), sachant que:

  

³



²

2

f x x x et

 

²

8 g x  x x . Vous êtes prié(e)s de déterminer les bornes par le calcul.

Résolution:

 Comme les bornes d'intégration ne sont pas données - et même demandées -, nous allons les déterminer en premier lieu et en déduire la position relative des deux courbes:

       

⁰

f g

C C  f x g x  f x g x 

Or: ^{f x}

 

^^{g x}

 

^₂^x



^x^³



²^^^^x^^x₈²^^^¹₂ ⁴₄^x^



^x²^⁶^x^⁹



^^x ⁸₈^¹₈^x²

   

 



³ ² ²

 

³ ²



expression qui servira pour le calcul de la

1 1

4 24 36 8 4 23 28

8 x x x x x 8 x x x

         

C

(8)

     

 

3 2

2

0 1 4 23 28 0

8

1 4 23 28 0

8

) Racines: 0 7 4

4 ) Tableau des positions:

0 7 4

4

1 4 23 28 0 0 0

8

g f g f

f g f g

f x g x x x x

x x x

i x x x

ii

x

x x x

      

   



  

     

C C C C

Valeurs et positions que l'on peut aisément contrôler sur le graphique.

 Calculons ensuite une primitive ...

     

¹₈



⁴ ³ ²³ ² ²⁸



¹₈ ⁴ ²³₂ ³ ¹⁴ ²

P x  



f x g x dx



x  x  x dx x  x  x 

 ... pour terminer avec le "sympathique" calcul de l'aire cherchée:

       

7 4 4 0 7

4

7 7

4 4

...

... 0 4

7 7 7

0 4 2 0 4

4 4 4

1 2401 23 343 14 49

2 0

8 256 3 6

3

4 16

4 48

3 4 48

en échangeant les bornes

et le signe

Aire f x g x dx f x g x dx

f x g x dx f x g x dx

P P P P P P P

        

       

     

             

  

          

 

23 64

256 14 16

3 1 7203 31556 32928 768 1472 672 1 8575 32

8 2 768 3 8 38

3 3

128 128

4 3

1 8575 4096 12671 12671

4,125 . .

8 384 3072 Aire 3072 u a

      

  

 

   

   

       

 



     