Chapitre IV : Fonctions de références
1 Fonctions affines
Définition :a, bdeux nombres réels, la fonction définie sur Rparf(x) =ax+best appelée fonction affine.
Vocabulaire : pour la fonctionf définie parf(x) = 2x 1,
2 est le coefficient directeur de la droite (cela signifie que lorsque l’on avance de 1 unité, on monte de 2 unités) -1 est l’ordonnée à l’origine : cela signifie que la droite coupe l’axe des ordonnées en 1.
Théorème : Soitf une fonction affine définie parf(x) =ax+b, aveca, b2R.
— Sia >0,f est strictement croissante surR,
— Sia <0,f est strictement décroissante surR,
— Sia= 0,f est constante surR.
Théorème : Soitf une fonction affine définie parf(x) =ax+b, alors pour tous nombres réelsx1,x2distincts :a= f(x1) f(x2)
x1 x2 . Démonstration : f(x1) f(x2)
x1 x2
= ax1+b (ax2+b) x1 x2
= ax1+b ax2 b x1 x2
=ax1 ax2
x1 x2
=a(x1 x2) x1 x2
=a.⌅
Remarque : on peut diviser parx1 x2carx1et x2 sont distincts doncx1 x26= 0.
Exemple : Déterminer l’expression de la fonction affinef telle que :f(3) = 5 etf( 1) = 17. f est une fonction affine, donc son expression est
de la forme f(x) =ax+baveca, b2R.
Calcul du coefficient directeur : a=f(3) f(7)
3 7 = 5 17 3 7 = 12
4 = 3 Doncf(x) = 3x+b
On sait quef(3) = 5, ainsi 3⇥3 +b= 5 donc 9 +b= 5
donc b= 5 9
donc b= 4
Doncf(x) = 3x 4.
2 Fonction carré
Fonction carré : f :x7!x2 Df =R La fonction carré est strictement décroissante sur] 1; 0]
et strictement croissante sur[0; +1[
x 1 0 +1
Variations dex2 & %
0
x 1 0 +1
Signe dex2 + ; +
Définition : Dans un repère orthogonal(O;I;J), la courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommetO.
Cette parabole admet l’axe des ordonnées du repère comme axe de symétrie. C’est une fonction paire.
Défnition : Une fonction paire est une fonction qui admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
Propriété : Une fonctionf est paire si, et seulement si,f( x) =f(x)pourx2Df. Démontrons que la fonction carré est paire :Notonsf :x7!x2
f( x) = ( x)2=x2=f(x).⌅
2
3 Fonction inverse
Fonction inverse : f :x7! 1
x Df =R⇤
La fonction inverse est strictement décroissante sur] 1; 0[
et strictement décroissante sur]0; +1[
x 1 0 +1
Variations de 1
x & &
x 1 0 +1
Signe de 1
x +
Définition : Dans un repère orthonormé(O;I;J), la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole de centreO.
Cette hyperbole admet l’origineO du repère comme centre de symétrie. C’est une fonction impaire.
Défnition : Une fonction impaire est une fonction qui admet l’origine du repère comme centre de symétrie.
Propriété : Une fonctionf est impaire si, et seulement si, f( x) = f(x)pourx2Df. Démontrons que la fonction inverse est impaire :Notonsf :x7! 1
x f( x) = 1
x= 1
x = f(x).⌅
4 Fonction cube
Fonction cube : f :x7!x3 Df =R La fonction cube est strictement croissante surR
x 1 +1
Variations dex3 %
x 1 0 +1
signe dex3 ; +
Propriété : La fonction cube est une fonction impaire.
Démonstration :Notonsf :x7!x3
f( x) = ( x)3= ( x)⇥( x)⇥( x) = x3= f(x).⌅
5 Fonction racine carrée
Fonction racine carrée : f :x7!px Df=R+= [0; +1[ La fonction racine carrée eststrictement croissante sur [0; +1[
x 0 +1
Variations depx % 0
x 0 +1
signe depx ; +
Remarque :px=x12 En effet :px⇥px=x et x12 ⇥x12 =x12 +12 =x1=x
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