CHAPITRE IV

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CHAPITRE IV

LES PUISSANCES EN TRIPHASÉ

Nous avons déjà examiné au chapitre2 l’intérêt d’introduire les notions de puissances actives, réactives et apparentes dans un système monophasé.

L’approche par puissance présentée pour le régime monophasé est étendue au système triphasé, ce qui, sur le plan industriel, correspond à la réalité.

En effet, la production, le transport et la distribution de l’énergie électrique ne se font que par le biais du processus triphasé, et la problématique du dimensionnement des lignes, du respect des paramètres nominaux et des chutes de tension ne se font en réalité que dans ce cadre.

Les mêmes critères pour les choix des câbles d’alimentation sont établis, avec les limites associés à la chute de tension admissible et le calcul des puissances d’un réseau donné est alors nécessaire pour répondre à la qualité d’une ligne de transport ou de distribution.

I- Les puissances en régime triphasé

Le calcul des puissances dans le cas d’un récepteur triphasé est très peu différent de celui déjà étudié pour le récepteur monophasé : il s’agit seulement de ‘sommer’ les différentes puissances actives et réactives au niveau de toutes les phases.

1) Puissance instantanée Charge triphasée équilibrée

A la différence de la puissance moyenne en monophasé, le calcul montre qu’aucun terme de puissance fluctuante n’apparaît dans l’expression de la puissance instantanée.

En effet, si on exprime les tensions et courants en valeurs instantanées, on peut en déduire la puissance absorbée p(t) à chaque instant :

1 V 1

2 V 2

3 V 3

v (t) 2V cos( t ) j (t) 2J cos( t )

2 2

3 3

2 2

3 3

 

         

  ^J

J

 

           

 

 

 

           

 

 

3

1 2 2 i i V J

1

V J V

p(t) p (t) p (t) p (t) v (t) j (t) 2VJ cos( t ) cos( t )

2 2 2

2VJ cos( t ) cos( t ) 2VJ cos( t ) cos( t )

3 3 3

          

  

                 



J

2 3



En développant l’expression précédente on trouve:

(2)

J V V J V J V J

0

4 4

p(t) 3VJ cos( ) VJ cos(2 t ) cos(2 t ) cos(2 t )

3 3



 

 

 

                         

 

 Par conséquent :

J V

p(t)3VJ cos(   ) 3VJ cos

On voit que la puissance instantanée est constante et égale au triple de la puissance active par phase. Il n’y a donc pas de puissance fluctuante en régime triphasé équilibré, comme le montre la figure ci-dessous:

Cette particularité est très appréciable dans certaines applications, telle l’électromécanique par exemple. Le couple délivré sur l’arbre des machines tournantes, souvent proportionnelle au courant, se trouve débarrassé de composantes vibratoires préjudiciables à la longévité des paliers mécaniques.

2) Puissances active, réactive

 Charge triphasée déséquilibrée

A l’instar du régime monophasé, la puissance active consommée par une installation est égale à la somme des puissances actives consommées par chacun de ses sous-ensembles.

La puissance réactive consommée par une installation est égale à la somme des puissances réactives consommées par chacun de ses sous-ensembles.

3

i i i

P V J cos

P V J cos V J cos V J cos

  

       





(3)

 Charge triphasée équilibrée

Le cas particulier du régime équilibré donne lieu à des expressions simplifiées des puissances. On a dans ces conditions :

1 2 3

V V V V

J J J J

cos cos cos cos

  

   

       

 On obtient :

1 2 3

P P P P 3VJ cos Q Q Q Q 3VJ sin

    

    

 

Si la charge est en étoile :

P 3VJ cos 3UI cos

U V 3

I J Q 3VJ sin 3UI sin

     

   

      

Si la charge est en triangle :

U V P 3VJ cos 3UI cos

I J 3 Q 3VJ sin 3UI sin

       

      

Finalement, on retrouve la même expression que le récepteur soit en étoile ou en triangle.

En résumé, la puissance peut toujours être exprimée de la même manière avec les grandeurs en tête de réseau, tension composée U et courant en ligne I.

C’est pourquoi on utilise souvent la notion de ‘l’étoile équivalente’ : tout un ensemble de récepteur (en étoile et en triangle, branchés sur un réseau constituent une impédance équivalente en étoile (même si elle est en triangle) et on étudie généralement une seule phase (les autres étant identiques du point de vue énergétique).

Cela permet, entre autre, de dégager une expression simple de la chute de tension, de la même façon que cela a été fait pour les lignes monophasées.

On obtient ainsi le schéma par phase (sans préciser phase 1, 2 ou 3 parce que ça n’a pas d’importance sur le plan énergétique):

Schéma général Schéma de l’étoile équivalente (consomme le tiers de la puissance)

(4)

3) Représentation complexe

On peut exprimer la puissance complexe qui serait définie par :

S

 

P jQ



3VJ cos

 

j3VJ sin

 Par conséquent :

j v

j( )

S



3VJe

j^ 

3VJe.

^{ } 

3V.J

La même représentation par phase est définie et où il est possible de représenter la tension simple et le courant simple correspondant. Toutefois il ne faut pas oublier que la puissance représentée sur le plan des complexes doit être multipliée par trois.

4) Facteur de puissance fp

La problématique du facteur de puissance est la même que pour le régime monophasé, il s’agit de ne pas permettre, pour les mêmes raisons que nous avons développé, un facteur de puissance trop bas pour ne pas perturber la distribution de l’énergie en termes de rendement de la ligne et de chute de tension.

Aussi, il faut préciser que dans la réalité, ce sont les récepteurs triphasés, notamment les industriels qui font l’objet de contrôle du facteur de puissance. La démarche est tout à fait analogue à celle déjà étudiée pour les lignes monophasées.

5) Méthode de Boucherot

Soit une installation qui comprend de nombreux récepteurs triphasés équilibrée, les uns peuvent être en étoile, les autres en triangle (on ne précise pas sur le schéma parce que c’est inutile). Il est plus pratique de représenter l’installation de la façon qui suit, en illustrant uniquement les courants de la phase 1 (sachant que les courants des autres phases sont identiques mais déphasés respectivement de  2 3 et  2 3).

Les courants Ii illustrés sur la figure sont les courants de lignes (composés) de chaque récepteur, qu’il soit en étoile ou en triangle.

(5)

La méthode de Boucherot peut se traduire, de même que pour le monophasé par :

n n

t i t

1 1

P 



P et Q 



Q_i On en déduit :

2 2

t t

S  P Q_t

En exprimant la puissance apparente en fonction du courant et de la tension composés :

t t

S 3UI I S

   3U

et le facteur de puissance :

t t t

cos P

  S II- Branchement des récepteurs sur le réseau

1) Branchement des récepteurs triphasés sur le réseau

La plaque signalétique d’un récepteur triphasé (comme les moteurs par exemple), comporte parfois deux indications concernant la tension nominale, U1/U2, avecU₂  3U₁. La sortie du récepteur comporte six bornes permettant de le coupler soit en étoile, soit en triangle, selon la disponibilité du réseau.

Ces six bornes sont reliées à chacune des entrées des trois branches du récepteur de la façon qui suit :

Chaque « branche » du récepteur, prise séparément doit être alimentée correctement pour bien fonctionner sous la tension U1 qui est en fait la tension simple nominale du récepteur.

Si le réseau délivre une tension composée de U1, il faut monter naturellement le récepteur en triangle. Si le réseau délivre une tension composée de 3U1, il est nécessaire de monter le récepteur en étoile afin de respecter toujours les valeurs simples nominales. Deux réseaux (ou deux sources) différents peuvent être donc connectés à ce récepteur. La plaque signalétique est conçue de manière à réaliser de façon pratique la configuration « étoile » ou « triangle » à l’aide de « barrettes» (deux pour le coulage étoile et trois pour le couplage triangle (figure ci-dessous)).

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Plaque à bornes couplage « étoile » couplage « triangle » 2) Branchement des récepteurs monophasés sur le réseau (alimentation domestique) La consommation domestique monophasée (220V, 50Hz) comprend tous les récepteurs comme les logements de particuliers ainsi que dans les lieux où les besoins sont similaires : bureaux, boutiques…

Chaque récepteur (ou ensemble de récepteurs monophasés) est branché aux bornes d’une branche de l’étoile (si la tension de service exigée est de 220V) ou de triangle (si la tension de service exigée est de 380V). Il est en effet impératif d’assurer la tension de service de tous les appareils branchés sous peine de les endommager ou de ne pas satisfaire un fonctionnement optimal. Respecter la tension nominale de tout récepteur est essentiel dans le domaine de la distribution de l’énergie.

Mais ce n’est pas tout. Le choix de distribuer l’énergie à partir d’un système triphasé n’est intéressant que si on arrive autant que faire se peut à un équilibre des phases, avec un courant dans le neutre proche du zéro : ce serait, d’un point de vue technico- économique le choix le plus approprié.

Ainsi, les distributeurs d’électricité veillent à connecter les différentes charges monophasées de manière à équilibrer les trois phases. C’est pourquoi il arrive que dans un même immeuble par exemple, les appartements ne sont pas tous branchés sur la même phase et qu’il arrive qu’une coupure de courant puisse en toucher certains et pas d’autres. Aussi, grâce à ce choix de branchements, il est raisonnable de considérer que les charges vues du réseau de transport sont équilibrées.

III- chutes de tension dans les câbles d’alimentation

Le schéma équivalent d’une ligne triphasé peut se ramener à l’étoile équivalente et il suffit d’étudier une branche de l’étoile pour déterminer les caractéristiques de la ligne.

Le schéma équivalent de la ligne triphasée en est donc grandement simplifié :

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Remarquons que le retour qui se fait par le neutre n’est parcouru par aucun courant (la charge étant équilibrée), la chute n’est donc occasionnée que par un seul câble, celui de la phase considérée (1, 2 ou 3).

On établit donc l’équation électrique de la ligne :

s c c

V



(r



jx )I



V

On définit la chute de tension par :

V Vs V

  

Si on s’intéresse à la tension composée, on peut aussi définir la chute de tension par rapport à la tension composée de la source :

 

U 3 Vs V

  

Comme on s’intéresse à la différence des tensions en module, on établit des expressions analogues à celles établies pour le monophasé en utilisant la formule de Kapp.

 Pour une charge selfique, on représente les vecteurs courant-tensions, qui illustrent l’équation électrique de la ligne:

s c c

V



r I



jx I V

 Le schéma électrique est donc :

On obtient alors :

V=rcIcos +xcI|sin| pour récepteur inductif

 Pour une charge capacitive, on représente également les vecteurs courant-tensions, qui illustrent l’équation électrique de la ligne (c’est la même chose sauf que  est positif):

s c c

V



r I



jx I



V

1^e cas V0 2^e cas V0 On obtient alors :

V=rcIcosxcI|sin| pour récepteur capacitif IV-Méthodes de mesure des puissances en triphasé (Circuit équilibré)

1) Principe du Wattmètre

Un wattmètre est un appareil qui a une déviation proportionnelle à la puissance moyenne (VJcos) absorbée par un circuit quelconque.

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Il possède donc deux circuits :

 Une bobine « courant » constituée d’un gros fil de résistance négligeable traversée par le courant J du récepteur (la bobine « courant » se branche comme un ampèremètre)

 Une bobine « tension » constituée d’un fil fin de grande résistance alimentée par la tension V imposée au récepteur : (la bobine « tension » se branche comme un voltmètre).

Le symbole « * » sur l’appareil indique l’entrée commune des bobines (il y en a autant que de calibres, la sortie est donc choisie en fonction du calibre).

Si on néglige la résistance de la bobine courant, les deux schémas « amont » ou « aval » sont équivalents :

Montage « amont » Montage « aval » 2) Méthode d’un seul wattmètre

On peut utiliser un seul wattmètre pour mesurer la puissance active puisque la charge est équilibrée. On a en général :

 

2 2 2 3 3 3 2 2 3 3

1 1 1

P = V J cos V J cos V J cos = V J cos J cos J cos Q = V J sin V J sin V J sin = V J sin J sin J sin

 

         



         





Pour une charge équilibrée on obtient :

P = 3VJcos Q = 3VJsin

 

 



Il suffit de mesurer la puissance absorbée par une seule phase, puis de multiplier par trois le résultat obtenu. On branche alors les wattmètres de la manière indiquée sur la figure ci-dessous :

(9)

Remarque : Le récepteur peut être en étoile ou en triangle (ou il peut comporter un ensemble de récepteurs) mais ce type de mesure sous-entend qu’on utilise le schéma de l’étoile équivalente, le courant de ligne I et est donc égal à J :

P = 3VIcos Q = 3VIsin

 

 



On a donc, si W est la lecture sur le wattmètre : P = 3W

Pour déterminer la puissance réactive, il est nécessaire de mesurer également le courant et la tension absorbés afin d’obtenir la valeur de la puissance apparente, et en déduire Q.

En branchant le voltmètre entre phase et neutre (on aura la tension simple V), on peut en déduire S (on peut aussi le brancher entre deux phases on aura la tension composée U):

 

²

2 2

S = 3VJ = 3UI = P +Q Q = 3UI P² 3) Méthode des deux wattmètres

En régime triphasé, il faut bien faire attention à la manière dont on branche les bobines courant et tension. Si on utilise la méthode d’un seul wattmètre par exemple, il faut prendre soin d’alimenter le wattmètre par la même phase, en courant et en tension : de cette façon le wattmètre donne l’indication du produit UI par le cosinus du déphasage du courant et de la tension injectés, c'est-à-dire l’angle .

Sinon le wattmètre peut indiquer une valeur qui n’a rien à voir avec la puissance à mesurer : par exemple, brancher la bobine courant sur la phase 1 et la bobine tension sur la phase 2 donnera le résultat suivant :

 

2 1 2 1

W V J cos( V , J )

Si on représente les courants et tensions des trois phases dans le plan des complexes on aura :

W VJ cos(2 ) P 3

    

Pourtant, il existe des méthodes où justement, il est possible de mesurer la puissance en branchant de façon judicieuse les bobines courants et tensions des wattmètres.

En particulier la méthode dite des deux wattmètres où on peut mesurer simultanément la puissance active et réactive d’un circuit triphasé équilibré.

Il suffit de brancher les wattmètres de la manière indiquée sur la figure ci-dessous, en prenant soin de tenir compte des sens des indications des deux wattmètres qui peuvent être positifs ou négatifs. Les lectures sont donc des valeurs algébriques.

(10)

Le branchement des wattmètres conduit aux indications suivantes :

   

13 1 13 1 23 2 23

1 2

W  U J cos( U , J ) W  U J cos( U , J ) ₂

Si on représente vectoriellement les tensions et courants, on peut déterminer les angles entre U et J13 1, puis entre U et J23 2 :

La représentation vectorielle montre qu’on a :



^{U , J}¹³ ¹



³⁰

     et ^



^{U , J}²³ ²



^{   }³⁰

Par conséquent :

   

13 1 13 1 23 2 23 2

1 2

W  U J cos( U , J ) UI cos(30    ) W  U J cos( U , J ) UI cos(30    ) (I=J puisqu’on se ramène toujours à l’étoile équivalente)

On obtient donc :

 

1 2

W W UI cos(30   ) UI cos(30   ) 2UI cos 30 cos   3UI cos En effectuant la différence :

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

v j



u j



u j

₂

On trouve donc la puissance active, qui est la valeur moyenne de la puissance instantanée :

   

 13 1  13 1  23 2  23

P U J cos( U , J ) U J cos( U , J )₂

Il est donc possible de mesurer la puissance active à l’aide de cette méthode, même dans le cas déséquilibré.

4) Méthode de Boucherot de mesure de la puissance réactive

Il s’agit d’une méthode de mesure de puissance réactive pour un récepteur triphasé équilibré. Le branchement doit être effectué de la manière indiquée sur la figure ci- dessous :

Le branchement du wattmètre correspond à:

 

23 1 23 1

W U J cos( U , J )

Si on représente vectoriellement les tensions et courants, on peut déterminer l’angle entre U et J23 1:

La représentation vectorielle montre qu’on a :



^{U , J}²³ ¹



⁹⁰

     Par conséquent :

  ^ ^

23 1 23 1

W U J cos( U , J )  UI cos 90   UI sin On obtient donc :

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W UI sin Q Q 3W

   3  

Pour déterminer la puissance active, il faut mesurer également la puissance apparente à travers le voltmètre et l’ampèremètre :

 

²

2 2

S = 3UI = P + Q P = 3UI Q² IV- Exercices résolus

Remarque importante

Dans les exercices qui suivent les conventions de signe adoptées pour les consommations réactives sont, conformes à ceux choisis au chapitre2 (pages 8 et 9), à savoir :

 Consommation selfique Q0

 Consommation capacitive Q₀

Ces conventions de signe découlent du fait que nous avons défini le déphasage  entre tension et courant comme étant :     _J _V.

Et par conséquent :

0 le circuit est inductif (courant en retard par rapport à la tension)

0 le circuit est capacitif (courant en avance par rapport à la tension)

Il est tout à fait possible de prendre l’inverse :    _V _J, on aurait eu les signes inversés.

Il faut comprendre que cela n’a pas d’importance, pourvu qu’on prenne soin de donner des signes contraires aux consommateurs inductifs (par exemple bobine, moteur, atelier etc) par rapport aux consommateurs capacitifs (condensateurs).

En électrotechnique, c’est souvent la tension (et non le courant) qui est la référence, notamment en terme d’origine de phase, d’où le choix de la définition du déphasage qui a été choisi dans ce cours.

Exercice1

Un moteur connecté en étoile, alimenté sous une tension composée de 380 V, délivre une puissance utile de P=95 kW avec cos=0,8.

1) Sachant que le rendement du moteur est =85%, déterminer le courant simple absorbé.

2) Le même moteur étant connecté en triangle, sous quelle nouvelle tension composée devrait-il être alimenté si on doit respecter la même valeur de la tension simple du moteur (valeur nominale).

3) Dans le cas de la question 2, déterminer les courants simples et composés absorbé par