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Spécialité math - Contrôle n°2
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La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.●
Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.●
La calculatrice est autorisée, le téléphone portable et la montre connectée sont interdits.●
Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.●
Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.Exercice n°1 [12 pts]
On dispose de deux sacs U et V contenant chacun deux jetons. Au départ, le sac U contient deux jetons blancs et le sac V contient deux jetons rouges.
On effectue des tirages successifs dans ces sacs de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, un jeton dans chaque sac et à le mettre dans l’autre sac.
On a donc à l’étape n, les possibilités suivantes :
— Le sac U contient deux jetons blancs
— Le sac U contient deux jetons rouges.
— Le sac U contient un jeton rouge et un jeton blanc.
Pour tout entier naturel n non nul, on note $/t{B_n;R_n}$ la variable aléatoire égale au nombre de jetons /si{#1=B_n;blancs;rouges} que contient le sac U à l’étape n . Elle peut donc prendre les valeurs 0, 1 ou 2.
1.a. (0,5pt) Que vaut P($/si{#1=B_n;B_1;R_1}$=1) ?
b. (0,25 pt) Traduire par une phrase la probabilité P($/si{#1=B_n;B_n;R_n}$=1). c. (0,5 pt) Traduire par une phrase la probabilité $P_{(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=1)}
(/si{#1=B_n;B_{n+1};R_{n+1}}=1)$.
d. (0,5 pt) Que valent $P_{(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=0)}
(/si{#1=B_n;B_{n+1};R_{n+1}}=1)$ et $P_{(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=2)}
(/si{#1=B_n;B_{n+1};R_{n+1}}=1)$? Justifier.
e. (0,5 pt) Montrer que $P_{(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=1)}
(/si{#1=B_n;B_{n+1};R_{n+1}}=1) = {1}over{2}$ .
f. (0,5 pt) En déduire que $P(/si{#1=B_n;B_{n+1};R_{n+1}}=1) =
P(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=0)+{1}over{2}P(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=1)+P(/si{#1=B_n;B_n;R _n}=2)$
2. (1,5 pt) Calculer $P_{(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=0)}(/si{#1=B_n;B_{n+1};R_{n+1}}=0)$,
$P_{(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=1)}(/si{#1=B_n;B_{n+1};R_{n+1}}=0)$ et
$P_{(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=2)}(/si{#1=B_n;B_{n+1};R_{n+1}}=0)$, puis montrer que P($/si{#1=B_n;B_{n+1};R_{n+1}}$=0) = /f{1;4}P($/si{#1=B_n;B_n;R_n}$=1).
3. (1,5 pt) Montrer de même que P($/si{#1=B_n;B_{n+1};R_{n+1}}$=2) =
/f{1;4}P($/si{#1=B_n;B_n;R_n}$=1).
4. Pour tout entier naturel n non nul, on note Ln la matrice ligne définie par : Ln = ( $P(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=0)$ $P(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=1)$
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$P(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=2)$ )
On note L0 la matrice ligne $/mat{/si{#1=B_n;0;1};0;/si{#1=B_n;1;0}}$.
a. (1,25 pt) En utilisant les résultats des questions précédentes, déterminer la matrice M telle que : $L_{n+1}=L_n * M$ .
b. (0,5 pt) Déterminer L1.
c. (0,75 pt) Justifier que, pour tout entier naturel n, Ln+1 = L0 ×Mn+1 .
5. (1 pt) Montrer que M = P × D × P-1(on donnera au moins deux exemples de
calculs) avec :
P=/f{1;6} /mat{2;3;1 ;;-1;0;1;;2 ;-3;1}, D = /mat{-/f{1;2};0;0;;0;0;0;;0;0;1} et P-1 = /mat{1 ;-2;1;;1;0 ;-1;;1;4;1}
6. (0,75 pt) Établir que, pour tout entier n, Mn = P × Dn × P-1.
7. On admettra que, pour tout entier n, Dn = /mat{(-/f{1;2})^n;0;0;;0;0;0;;0;0;1}. a. (0,5 pt)Calculer Dn × P-1 en fonction de n.
b. (0,25 pt)Sachant que L0P=$(/f{1;3} -/f{1;2} /f{1;6} ) $, déterminer les coefficients de Ln en fonction de n.
8. (0,75 pt)Déterminer /lim{n;infinity;P(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=0)} , /lim{n;infinity;P(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=1)} et
/lim{n;infinity;P(/si{#1=B_n;B_n;R_n}=2)}. 9. (0,5 pt) Interpréter ces résultats.
Exercice n°2 (8 pts)
Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante :
• s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de /t{0,7;0,8;0,9}.
• s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.
On appelle pn la probabilité de ne pas fumer le nième jour après sa décision d’arrêter de fumer et qn, la probabilité de fumer le nième jour après sa décision d’arrêter de fumer.
On suppose que p0 = 0 et q0 = 1. 1. (1 pt) Calculer p1 et q1 .
2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites (pn) et (qn) .
Une copie d’écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous :
Dans la colonne A figurent les valeurs de l’entier naturel n .
(1 pt) Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu’en les
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recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites (pn) et (qn) (on pourra s’aider d’un arbre pondéré) ? 3. On définit les matrices M et, pour tout entier naturel n , Xn par :
M=/mat{/fs{/calc{#2*10};10};0,4;;/fs{/calc{10-#2*10};10};0,6} et Xn=/mat{p_n;;q_n}. On admet que Xn+1 = M × Xn et que, pour tout entier naturel n, Xn=Mn × X0. On définit les matrices A et B par :
A = /mat{/fs{4;/calc{14-#2*10}};/fs{4;/calc{14-#2*10}};;/fs{/calc{10-#2*10};/calc{14-
#2*10}};/fs{/calc{10-#2*10};/calc{14-#2*10}}} et B = /mat{/fs{/calc{10-
#2*10};/calc{14-#2*10}};-/fs{4;/calc{14-#2*10}};;-/fs{/calc{10-#2*10};/calc{14-
#2*10}};/fs{4;/calc{14-#2*10}}}
a. (0,5 pt) Démontrer que M = A + /calc{#2-0.4}B . b. (0,75 pt) Calculer A2 . Que constate-t-on ?
c. (1,25 pt) Calculer A × B et B × A .Que constate-t-on ?
On admet dans la suite que, pour tout entier naturel n strictement positif, An = A et Bn = B .
d. (1,5 pt) Démontrer que, pour tout entier naturel n , Mn = A + /calc{#2-0.4}nB. e. (1 pt) En déduire que, pour tout entier naturel n , l'expression de pn en fonction de n.
f. (1 pt) À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de
fumer ?
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