Classe de terminale S
1 Exercice 3 Probabilité
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On imagine n sacs de jetons S1, S2, ..., Sn.
Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc.
On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, effectués de la façon suivante :
Première étape : on tire au hasard un jeton de S1.
Deuxième étape : on place ce jeton dans S2, et on tire, au hasard, un jeton de S2.
Troisième étape : après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2, on tire, au hasard, un jeton de S3 ...et ainsi de suite...
Pour tout entier naturel k tel que 1 ≤ k ≤ n, on note E k l'événement : « Le jeton sorti de Sk est blanc », et
E l'événement contraire. k
1. a) Déterminer la probabilité de E1, notée P(E1), et les probabilités conditionnelles : P(E2 | E1) et P(E2
|E ). 1
En déduire la probabilité de E2, notée P(E2).
b) Pour tout entier naturel k tel que 1 ≤ k ≤ n, la probabilité de Ek est notée pk. Justifier la relation de récurrence suivante : pk+1 =
3 1 pk +
3 1. 2. Étude d'une suite (un)
On note (uk) la suite définie par u1 = 3
1 et, pour tout entier naturel k ≥ 1,
uk+1 = 3 1 uk+
3 1.
a) On considère la suite (vk) définie par : pour tout élément k de N*, vk = uk − 2 1. Démontrer que (vk) est une suite géométrique.
Classe de terminale S
2 Correction
1 1 1
Pour tout entier naturel , 1 , on note: , l'événement:"Le jeton sorti de est blanc ", et l'événement contraire.
1)a) ( ) 1 car on a 2 jetons noirs et 1 jeton blanc dans . 3
On a tiré u
k k
k
k k n E S
E
p E p S
≤ ≤
= =
1
1 2
2
2 2 1
n jeton blanc de S et on l'a mis dans S ,
après on tiré un jeton blanc de S qui contient à présent 2 blanc et 1 noir.
d'où la probabilité conditionnelle ( ) ( / ) 2. le même raisonnement donne
E 3
p E = p E E =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 2 1
2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1
2 1
( ) ( / ) 1.
3 L'évenement s'écrit:
Les événements et sont incompatibles, donc En utilisant la formule de probabilité totale, on obtient:
pE E p E E
E E E E E E
E E E E p E p E E p E E
p E p E p
= =
= ∩ ∪ ∩
∩ ∩ = ∩ + ∩
= ×
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 1 2 2
1 1 1
1 1 1 1
1 2 1 1 4
( ) ( ) 1 soit .
3 3 3 3 9
b) Pour tout entier naturel , 1 , on note:
Le même raisonnement qu'en a) donne:
/
E E
k k
k k k k k
k k k k k k k k
E p E p E p E
k k n p E p
E E E E E
p E p E E p E E p E p E E p E
+ + +
+ + + +
+ × = × + − × =
≤ ≤ =
= ∩ ∪ ∩
= ∩ + ∩ = × +
( ) ( )
( )
1
1 1
/
2 1 1 1
Soit 1 .
3 3 3 3
k k k
k k k k k
p E E
p p p p p
+
+ +
×
= × + − × ⇔ = +
1 1
1
1
1 1 1
2) Etude de la suite numérique ( ) définie par: et
3 3 3
Pour tout entier naturel non nul on pose 1
2
a) ( ) est une suite géométrique de raison si et seulement si
n k k
k k
k k k
k
u u u u
k v u
v q v qv
v u
+
+
+
= = +
= −
=
= 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
soit
2 3 3 2 3 6 3 2 3
1 1 1
donc ( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme , .
3 2 6
b) Le terme général de la suite ( ) est : 1
6
k k k k k k
k
k
k k k
u u v u v
v q v u v
v v v q v
+ +
−
− = + − = − = − =
= = − = −
= × ⇔ = −
1
1
1
1 .
3
1 1
lim 0 car 1 1, lim 0 , donc la suite ( ) est convergente.
3 3
1 1 1 1 1
Comme , alors soit .
2 2 2 6 3
1 1
On en déduit lim lim la s
2 2
k
k
k k
k k
k
k k k k k
k k
k k
v v
v u u v u
u v
−
−
→+∞ →+∞
−
→+∞ →+∞
= − < < =
= − = + = −
= + =
uite ( ) converge donc vers .1
k 2 u
Classe de terminale S
3
1
1
1
1
1 1
3) donc la suite ( ) est la suite des probabilités ( ) :
3 3
1 1 1
d'où : .
2 6 3
1 1 1
0, 4999 0, 5 0, 4999 0, 5
2 6 3
1 1 1 1
0, 4999 0, 5 0
2 6 3 2
0 1 1 6 3
k k n n
k
k k
k k
k
p p u p
p u
p
+
−
−
−
= +
= = −
< < ⇔ < − <
⇔ − < − < − =
⇔ <
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1 1
1
1 0, 4999 2
1 1 1
0 0, 0001 0, 0006
6 3 3
1 1
ln ln 0, 0006 1 ln ln 0, 0006
3 3
ln 0, 0006 1
1 on change le signe puisque ln 0
1 3
ln 3 ln 0, 0006
1 1
ln 3 Applicat
k
k k
k
k k
k
−
− −
−
< −
⇔ < < ⇔ <
⇔ < ⇔ − <
⇔ − > <
⇔ > +
ion numérique: 7, 75 8.
Donc on a 0, 4999 k 0, 5 pour 8.
k soit k
p k
> =
< < =
