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[ Baccalauréat S Amérique du Nord \ 1er juin 2016

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Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Exercice 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires.

On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l’autre urne.

Pour tout entier naturelnnon nul, on noteXnla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin dun-ième tirage.

1. a. Traduire par une phrase la probabilitéP(Xn=1)(Xn+1=1) puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :

P(Xn=0)(Xn+1=1),P(Xn=1)(Xn+1=1) etP(Xn=2)(Xn+1=1).

b. ExprimerP(Xn+1=1) en fonction deP(Xn=0),P(Xn=1) etP(Xn=2).

2. Pour tout entier naturelnnon nul, on noteRnla matrice ligne définie par : Rn

P(Xn=0) P(Xn=1) P(Xn=2)¢

et on considèreMla matrice



0 1 0

1 4

1 2

1 0 1 40



. On noteR0la matrice ligne¡

0 0 1¢ .

On admettra par la suite que, pour tout entier natureln,Rn+1=Rn×M.

DéterminerR1et justifier que, pour tout entier natureln,Rn=R0×Mn.

[ Baccalauréat S Amérique du Nord \ 1

er

juin 2016

3. On admet queM=P×D×P1avec :

P=1 6

2 3 1

−1 0 1

2 −3 1

,D=



−1

2 0 0

0 0 0

0 0 1



etP1=

1 −2 1

1 0 −1

1 4 1

.

Établir que, pour tout entier natureln,Mn=P×Dn µ×P

1 n. On admettra que, pour tout entier natureln,Dn=

−1

2 0 0

0 0 0

0 0 1



. 4. a. CalculerDn×P1en

µfonction den.

b. 1

3 −1 2

, déterminer les coefficients deRn en Sachant queR0P =

fonction den.

5. Déterminer lim l

im

n→+∞P(Xn=0) ,

n +∞ l

im 6

P(Xn=1) et

n +∞P(Xn=2).

Interpréter ces résultats.

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