1. Taux de variation

Chapitre 6

Dérivation

1. Taux de variation

Soitf une fonction définie sur un intervalle I et aun réel appartenant à I.

Soithun réel non nul tel que a+h∈I.

Le taux de variation def entreaet a+hest le rapport (quotient)t(h)défini par : t(h) =f(a+h)−f(a)

h Définition

2. Interprétation graphique

On considère deux points A et M d’une courbe C_f d’abscisses respectivesaeta+h.

La droite(AM)est appelée sécante à la courbeC_f. Définition

Le taux de variation def entreaeta+hest le coefficient directeur de la sécante(AM):

DV

DH = y_M−y_A

x_M−x_A = f(a+h)−f(a)

h O

A

M

a f(a)

a+h f(a+h)

C

DH=h

DV=f(a+h)−f(a)

b b

I. Nombre dérivé et tangente à une courbe

1. Nombre dérivé

On dit quef est dérivable enalorsque le taux de variation t(h)admet comme limite un nombre réel quandhtend vers0.

Ce nombre, notéf^′(a)est appelénombre dérivé de f ena.

On a ainsi :

h→0lim

f(a+h)−f(a)

h =f^′(a) Définition

h→0limt(h)=ℓse lit « limite quandhtend vers 0 det(h)égaleℓ.

Cela signifie que lorsque le nombre h devient très proche de 0, le nombre t(h)prend des valeurs très voisines deℓ (aussi proche que l’on veut).

Commentaire

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2. Tangente à une courbe

Soitf une fonction dérivable ena,C_f sa courbe représentative et A le point deC_f d’abscissea.

La tangente à la courbe C_f au point Aest la droite pas- sant parAde coefficient directeurf^′(a). Son équation réduite est de la forme :

y=f^′(a)(x−a) +f(a) Définition

Aux alentours du point A, la tan- gente est la droite la plus proche de la courbeC_f.

Commentaire

II. Fonction dérivée

1. Lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée

Soitf une fonction dérivable sur un un intervalle I.

La fonction qui, à tout réelxde I, associe le nombre dérivéf^′(x)est appeléefonction dérivée def. On la notef^′.

Définition

Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI.

• Si pour tout xdeI, on af^′(x)>0, alorsf est croissante surI;

• Si pour tout xdeI, on af^′(x)60, alorsf est décroissante surI;

• Si pour tout xdeI, on af^′(x) = 0, alorsf est constante surI.

Propriétés

III. Calcul d’une fonction dérivée

Fonctionf Dérivéef^′

k (constante) 0

x 1

x² 2x

x³ 3x²

f etgsont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

Fonction Dérivée

f+g f^′+g^′

kf (kconstante) kf^′

IV. Applications aux fonctions polynômes de degré 2 et 3

• Les fonctions polynômes de degré 2 définies surRpar :f(x) =ax²+bx+csont dérivables surRet pour tout réelx,f^′(x) = 2ax+b.

• Les fonctions polynômes de degré 3 définies surRpar :f(x) =ax³+bx²+cx+dsont dérivables surR et pour tout réelx,f^′(x) = 3ax²+ 2bx+c.

Propriétés

Lorsque la fonction dérivée s’annule et change de signe, la fonctionf admet un extremum local.

Propriétés

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