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08 / 11 / 2017 Calculatrice autorisée – durée : 3 h –
DS n°2 DE M
ATHEMATIQUES DE T
ERM S
EXERCICE 1 5 pts
L’espace est muni d’un repère (𝑂 ; 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘⃗⃗). On considère les points 𝐴(1 ; −1 ; 4) et 𝐵(−1 ; 3 ; 2).
1) Déterminer, en justifiant, une représentation paramétrique de la droite (𝐴𝐵).
2) Le point 𝐶(5 ; 8 ; 9) appartient-il à la droite (𝐴𝐵) ? Justifier.
3) La droite (𝐴𝐵) admet -elle pour représentation paramétrique {
𝑥 = −3 + 4𝑡 𝑦 = 7 − 8𝑡 𝑧 = 4𝑡
où 𝑡 ∈ ℝ ? Justifier.
4) Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆ passant par 𝐶 et parallèle à (𝐴𝐵).
EXERCICE 2 3 pts
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘⃗⃗), on donne les points suivants : 𝐴(1 ; 2 ; 3), 𝐵(3 ; 0 ; 1), 𝐶(−1 ; 0 ; 1), 𝐷(2 ; 1 ; −1), 𝐸(−1 ; −2 ; 3) et 𝐹(−2 ; −3 ; 4).
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Affirmation 1 : Les trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés.
Affirmation 2 : La droite (𝐸𝐹) et le plan (𝐴𝐵𝐶) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu du segment [𝐵𝐶].
Affirmation 3 : Les droites (𝐴𝐵) et (𝐶𝐷) sont sécantes.
EXERCICE 3 7 pts
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻est un cube. Soient 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄, 𝑅 et 𝑆 tels que 𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐺𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 3 𝐺𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2
3 𝐺𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐺𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 3 𝐺𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
Soient 𝑇, 𝑈, 𝑉, 𝑊, 𝐽, 𝐾, 𝐿 tels que 𝐴𝑀𝑇𝑁𝑃𝑈𝑉𝑊 et 𝑉𝐽𝑆𝐾𝐿𝑄𝐺𝑅 soient des cubes.
2 On se place dans le repère (𝐴 ; 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗).
1) Donner, sans justifier, les coordonnées de 𝐴, 𝐺, 𝑁, 𝐾, 𝑀 𝑒𝑡 𝐽.
2) Donner, en justifiant, une représentation paramétrique des droites (𝐴𝐺) et (𝑁𝐾).
3) Montrer que (𝐴𝐺) et (𝑁𝐾) sont concourantes en un point 𝑂 dont vous calculerez les coordonnées.
4) Montrer que 𝑂, 𝑀 et 𝐽 sont alignés.
EXERCICE 4 4 pts
Soit (𝑢𝑛) la suite définie par 𝒖𝟎= 𝟐 et, pour tout entier naturel 𝑛, par 𝒖𝒏+𝟏= 𝟐 𝒖𝒏+ 𝟐𝒏𝟐− 𝒏.
On considère également la suite (𝑣𝑛) définie, pour tout entier naturel 𝑛, par 𝒗𝒏 = 𝒖𝒏+ 𝟐𝒏𝟐+ 𝟑𝒏 + 𝟓.
1) Voici un extrait de feuille de tableur :
Quelles formules a-t-on écrites dans les cellule C2 et B3 et copiées vers les bas pour afficher les termes des suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) ?
2) Conjecturer l’expression de 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛 uniquement.
3) Démontrer la conjecture précédente.
4) En déduire celle de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛 uniquement.
EXERCICE 5 4 pts
Toute trace de recherche et/ou idées même infructueuse sera prise en compte dans la notation.
On considère la suite (𝑢𝑛) définie par :
{
𝑢0 = 0 𝑢𝑛+1 = 1
2 − 𝑢𝑛
pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 0.
On obtient à l’aide d’un tableur les premiers termes de cette suite :
3 Prouver que la suite (𝑢𝑛) converge.
EXERCICE 6 7 pts
Les parties A et B sont indépendantes.
On s’intéresse à une population de tortues sur une île et dont le nombre d’individus diminue de façon inquiétante.
Partie A
Au début de l’an 2000, on comptait 300 tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite (𝑢𝑛) définie par :
{ 𝑢0 = 0,3
𝑢𝑛+1 = 0,9 𝑢𝑛(1 − 𝑢𝑛)
où pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année 2000 + 𝑛.
1) Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l’année 2001, puis l’année 2002.
On admet que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 et 1 − 𝑢𝑛 appartiennent à l’intervalle [0 ; 1].
2) Montrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 0 ≤ 𝑢𝑛+1 ≤ 0,9 𝑢𝑛. 3) Montrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 0 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 0,3 × 0,9𝑛.
4) Déterminer la limite de la suite (𝑢𝑛). Que peut-on en conclure sur l’avenir de cette population de tortues ?
4 Partie B
Des études permettent d’affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de 30 individus, alors l’espèce est menacée d’extinction.
Au début de l’année 2010, il ne reste que 32 tortues. Afin d’assurer la pérennité de l’espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L’évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut-être modélisé par la suite (𝑣𝑛) définie par :
{ 𝑣0 = 0,032 𝑣𝑛+1 = 1,06 𝑣𝑛(1 − 𝑣𝑛)
où pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 10, 𝑣𝑛 modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année 2000 + 𝑛.
1) Calculer le nombre de tortues au début de l’année 2011 puis de l’année 2012.
2) On admet que, dans ce modèle, la suite (𝑣𝑛) est croissante et convergente. On appelle 𝑙 sa limite.
Montrer, en justifiant soigneusement, que 𝑙 vérifie :
𝑙 = 1,06 𝑙 (1 − 𝑙).
3) La population de tortues est-elle encore en voie d’extinction ?
Petite blague du jour : « C'est la fonction carrée qui va se promener en forêt, de retour elle s'est transformée en fonction valeur absolue, pourquoi ? ………... Parce qu'elle s'est pris une racine. »
Tordant non…. Et n’oubliez pas :
« Ce n'est point parce que les choses sont difficiles que nous n'osons pas mais parce que nous n'osons pas qu'elles sont difficiles. »
Bon courage à vous !!!
