TS DS 3 2012-2013
EXERCICE 1 :
On considère l’équation (E) : z 3 + 5z 2 + 11z + 15 = 0.
1. Prouver que − 3 est solution de (E).
2. Résoudre dans C l’équation z 2 + 2z + 5 = 0.
3. Déterminer les réels b et c tels que z 3 + 5z 2 + 11z + 15 = (z + 3)(z 2 + bz + c).
4. En déduire les solutions de (E) dans C .
EXERCICE 2 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O; − → i ; − → j ).
On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle [ − 3 ; 2].
On dispose des informations suivantes :
• f (0) = − 1.
• la dérivée f ′ de la fonction f admet la courbe représentative C ′ ci -dessous.
C ′
~i
~j O
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Pour tout réel x de l’intervalle [ − 3, − 1], f ′ (x) 6 0.
2. La fonction f est croissante sur l’intervalle [ − 1 ; 2].
3. Pour tout réel x de l’intervalle [ − 3 ; 2], f (x) > − 1.
4. Soit C la courbe représentative de la fonction f .
La tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1 ; 0).
EXERCICE 3 :
• Partie A : Restitution organisée de connaissances.
1. Démontrer que pour tous nombres complexes z et z ′ ,
z + z ′ = z + z ′ et zz ′ = zz ′
2. En déduire que, si P(z) = az 2 + bz + c avec a, b et c réels, alors P (z) = P (z).
• Partie B
Dans cette partie, on pose : j = − 1 2 + i
√ 3 2 1. Prouver que j 2 = j = 1
j et que 1 + j + j 2 = 0.
2. Soit P(z) = z 2 + z + 1. En utilisant la partie A, prouver que 1 + j + j 2 = 0.
3. Résoudre dans C l’équation z = z 2 .
Lycée Bertran de Born 1 sur 2
TS DS 3 2012-2013
EXERCICE 4 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
O ; − → i ; − → j . On considère les points B (100 ; 100) et C
50 ; 50
√ e
et la droite (D) d’équation y = x.
On note f la fonction définie sur R dont la courbe représentative, notée Γ , est donnée ci-dessous.
On suppose de plus qu’il existe deux réels a et b tels que :
• pour tout x réel, f (x) = xe ax+b .
• les points B et C appartiennent à la courbe Γ . 1. (a) Montrer que le couple (a ; b) est solution du système :
100a + b = 0 50a + b = − 1
2
(b) En déduire que, pour tout x réel, f (x) = xe 0,01x − 1 . 2. Déterminer la limite de f en + ∞ .
3. (a) Montrer que pour tout x réel, f (x) = 100
e × 0, 01xe 0,01x (b) En déduire la limite de f en −∞ .
4. Étudier les variations de la fonction f . On donnera le tableau de variations complet.
5. Étudier la position relative de la courbe Γ et de la droite (D).
s
20 40 60 80 100 120 140 160
− 20
20 40 60 80 100 120
− 20
− 40
− 60
− 80
− 100
− 120
− 140
b b
