DS n°3

MP 2021/2022

DS n°3

Les calculatrices sont autorisées

Les questions précédées du pictogramme vues en Cours, en TD ou en TP sont comptées double

Sujet « CCINP » : Problème n°1 + Problème n°2 Sujet « Mines » : Problème n°3 + Problème n°2

Remarques générales sur la présentation des copies de Concours :

- La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

- Les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte.

- Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

- Pour plus de clarté dans la présentation, il est impératif de changer de copie pour chaque problème ou exercice et de numéroter vos copies (1/N, 2/N…)

- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.

- Ne pas utiliser de correcteur.

Problème n°1 : Etude de quelques expériences avec un smartphone

(D’après les épreuves es Concours Centrale Supélec TSI 2015 et ATS 2021) Ce sujet propose l’étude de deux expériences que l’on peut réaliser avec les capteurs présents sur nos téléphones portables actuels. En effet des applications libres, comme FizziQ ou Phyphox, donnent accès aux résultats de mesures de ces nombreux capteurs permettant ensuite une exploitation des résultats.

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et demandent de l’initiative de la part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées par le candidat sur sa copie ; si elles sont pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement, il valorise ces questions de façon très significative.

I- Etude d’un mouvement de chute avec un smartphone

On se propose dans un premier temps d’étudier le principe de fonctionnement des accéléromètres présents dans nos téléphones. Les avancés des nanotechnologies ont permis l’élaboration de ces accéléromètres à MEMS (Micro-Electro-Mechanical-Systems), ces derniers sont fixés sur les cartes électroniques de nos smartphones.

La miniaturisation, la fiabilité et le faible coût des capteurs à MEMS permettent de les intégrer dans de nombreux dispositifs électroniques embarqués. La plupart des accéléromètres à MEMS permettent de mesurer les accélérations suivant deux axes.

En aéronautique, les accéléromètres sont utilisés en tant que tels dans les avions soumis à de fortes contraintes, avions de chasse ou de voltige, et couplés à des gyromètres ils entrent dans la composition de centrales à inertie ou encore dans les manette de jeu.

I.A– Étude mécanique du capteur

On limite l’étude à la modélisation du fonctionnement d’un accéléromètre à un seul axe. Un accéléromètre est modélisé par un système masse ressorts amorti, dont le schéma de principe est représenté sur la figure 1. On suppose que les déplacements ne s’effectuent que selon l’axe Ox horizontal.

L’accéléromètre se compose d’une masse mobile m, assimilée à un point matériel C, astreinte à se déplacer sans frottements solide selon l’axe horizontal Ox. Le boîtier rigide de l’accéléromètre, de longueur L selon l’axe Ox, de centre B se déplace dans le référentiel d’étude terrestre R (O, x, y, z) supposé galiléen et on note

a son accélération dans ce référentiel. Son accélération s’écrit a=a e. x.

Figure 2 - Schéma de principe du fonctionnement mécanique de l’accéléromètre suivant un axe (Ox)

On note à un instant t quelconque, xC la position de la masse mobile en mouvement, xB la position du centre du boîtier et X = xC - xB la position de la masse mobile par rapport au centre du boîtier.

Lorsque le boîtier de l’accéléromètre est au repos ou animé d’un mouvement rectiligne uniforme, la position de la masse mobile par rapport au centre du boîtier vérifie X = 0.

Lorsque le boîtier subit une accélération, la masse mobile quitte la position définie précédemment.

La masse mobile est soumise :

− aux forces de rappel T1 et T2 exercées par deux ressorts identiques, de constante de raideur k et de longueur à vide ℓ0 ;

Figure 1 - Photographie d’un accéléromètre deux axes : le capteur MEMS est au centre (source Analog)

Devices)

− à des forces de frottement visqueux dont la résultante est proportionnelle à la vitesse relative de la masse mobile par rapport au boîtierFf .f x_C x_B .ex

• •

 

= −  − 

2 . où f est le cœfficient de frottement

visqueux ;

− au poids P ;

− à la réaction du boîtierR. I.A.1) Mise en équation

1) Montrer que la résultante des forces de rappel exercées par les deux ressorts s’écrit T= −2.kX e._x

2) En décomposant le vecteur position OC, écrire l’accélération du boîtier dans le référentiel R en fonction de a et X

••

3) Montrer que, lorsque le boîtier subit une accélération, l’équation différentielle vérifiée par l’élongation X s’écrit:

. .

X X X a

Q

ω ω

•• •

+ ⁰ + ²0 = −

avec ω0 et Q deux constantes que l’on exprimera en fonction de k, m et f.

4) Quelle est la signification physique de ω0 et Q ? Quelles sont les dimensions et les unités de ces deux grandeurs ?

I.A.2) Étude de la réponse harmonique

On recherche maintenant les conditions pour lesquelles l’élongation X est directement proportionnelle à l’accélération a du boîtier. Pour cela, on étudie la réponse du capteur en régime harmonique établi.

5) La grandeur d’entrée du capteur étant l’accélération a(t) = am.cos(ωt), sous quelle forme mathématique doit-on rechercher la grandeur de sortie X(t) ?

6) Établir la relation entre l’amplitude complexe de l’élongation Xm et celle de l’accélération am. 7) Etudier le comportement asymptotique de

/

m m

X a ω²0

.

En déduire qu’il existe un domaine de fréquences, que l’on précisera, pour lequel on peut considérer que l’élongation X est directement proportionnelle à l’accélération a du boîtier et vérifie :

( ) m. ( )

X t a t

= − k 2

Mise à part dans les questions 8) et 9), pour la suite du problème, on considèrera que le domaine de fréquence dans lequel le capteur de l’accéléromètre est utilisé est tel que la relation précédente soit vérifiée.

La fréquence typique de résonance mécanique du capteur d’un accéléromètre à MEMS est de l’ordre de 5 kHz et son facteur de qualité est voisin de 5.

8) Déterminer l’expression du rapport /

m m

X a ω0²

en fonction de x = ^ω ω0

et Q.

9) Montrer que la fréquence fr à laquelle se produit un phénomène de résonance peut s’écrire sous la forme : fr =

2

1 1

−2 Q f0

Commenter en considérant les données numériques d’un accéléromètre à MEMS.

10) Déterminer la valeur numérique de l’amplitude finale du déplacement de la masse mobile pour une accélération constante de « 1 g » (a = g), correspondant à l’accélération de la pesanteur à la surface de la Terre. Commenter le résultat.

I.B – Étude de la détection par une méthode électrostatique

On s’intéresse dans cette partie au système de détection du déplacement X de la masse mobile de l’accéléromètre pour cela on utilise un condensateur à écartement variable dont les électrodes successives sont liées alternativement à la masse mobile et au boîtier.

I.B.1) Condensateur unique

Une première méthode, dont le principe est représenté sur la figure 4, consiste à mesurer la capacité d’un condensateur dont une électrode, liée à la masse mobile, fait face à une électrode fixe liée au boîtier de l’accéléromètre. Le déplacement de la masse mobile modifie la distance entre les deux électrodes et par voie de conséquence la capacité du condensateur.

On applique une différence de potentiel U entre les deux électrodes, l’électrode fixe étant portée au potentiel Va et l’électrode mobile étant reliée à la masse. Les deux électrodes sont séparées d’une distance e + X.

Figure 4 Condensateur unique

On donne l’expression de la capacité C0 d’un condensateur dont les armatures de surface S sont distantes de e :

C .S e

=ε⁰

0

11) Montrer que la capacité C(X) du condensateur s’écrit C(X) = C0 e

e+X où C0 est la capacité du condensateur pour X= 0.

12) Rappeler l’expression de l’énergie électrique We stockée dans un condensateur en fonction de sa capacité C et de la tension à ses bornes U.

En déduire que la force électrostatique F qu’exerce l’électrode fixe sur l’électrode mobile s’écrit :

( )

. . e . . _x

F C U e

e X

= − +

2

0 2

1 2

Les caractéristiques typiques d’un accéléromètre à MEMS sont C0 = 0,1 pF, e = 1 µm, Va. = 1 V et la masse mobile est de 1 µg.

13) Pour X = 0, donner l’ordre de grandeur de la force électrostatique s’exerçant sur l’électrode liée à la masse mobile.

14) Discuter la faisabilité de réaliser une mesure capacitive du déplacement de la masse mobile d’un accéléromètre à MEMS prévu pour mesurer des accélérations de « 1g » (a = g).

I.B.2)Condensateur double différentiel

Dans les accéléromètres à MEMS, la méthode de mesure consiste à déterminer le potentiel électrostatique V de l’électrode liée à la masse mobile. Le schéma de principe de la méthode de mesure est représenté figure 5. Une seconde électrode fixe, liée au boîtier, est placée symétriquement par rapport à X = 0. La première électrode fixe est portée au potentiel Va, la seconde au potentiel -Va. L’électrode mobile, qui reste isolée et

Figure 3 Détail de la micro- structure de la partie détection d’un accéléromètre (source Ana log Devices)

globalement neutre, sert alors de sonde de mesure du potentiel V qui est fonction du déplacement X de l’électrode mobile entre les deux électrodes fixes liées au boîtier.

Figure 5 – Double condensateur

Dans cette configuration, le potentiel V de l’électrode mobile s’écrit V = _a.X

V V

= − e

15) En utilisant l’expression établie en I.B.1), calculer la résultante des forces électrostatiques s’exerçant sur l’électrode mobile.

16) Conclure sur les avantages de cette méthode de mesure.

I.C – Étude d’un mouvement de chute libre

Les téléphones sont munis de 3 accéléromètres permettant d’apprécier l’accélération du téléphone suivant les trois directions de l’espace. Sur l’application Phyphox, il est possible d’afficher ces 3 accélérations : ax

(accélération suivant x), ay (accélération suivant y), aZ (accélération suivant z).

On donne ci-dessous figures 6, les relevés d’accélération d’un téléphone en chute libre, lâché sans vitesse initiale depuis une hauteur h. Les axes temporels sont gradués entre 3,5 s et 5,0 s.

On indique qu’à la fin de sa chute, le téléphone rebondit sur un matelas posé au sol.

y

z  x

Figure 6a : axes du smartphone

Figure 6b : accélération selon l’axe x

Figure 6c : accélération selon l’axe y Figure 6c : accélération selon l’axe z

17) Estimer la hauteur h en explicitant votre démarche (graphe(s) utilisé(s), hypothèse(s), calculs, …).

II- Détermination de la hauteur d’un immeuble avec un smartphone

On considère la situation ci-dessous (figure 7a) pour laquelle deux haut-parleurs, distants de a et placés au pied d’un immeuble de hauteur D >> a, émettent continument des signaux sinusoïdaux identiques et parfaitement en phase de fréquence audible f. Un opérateur muni d’un téléphone se déplace en haut de l’immeuble selon un axe Ox. En x << D, les signaux acoustiques émis par les deux haut-parleurs se superposent et le téléphone mesure l’intensité acoustique I en dB. On donne le graphe simulé de I(x) figure 7b.

18) En vous inspirant d’une situation analogue en optique ondulatoire, décrire puis expliquer le phénomène physique à l’origine de l’évolution spatiale de l’intensité acoustique mesurée.

Quelle différence fondamentale distingue ici les ondes sonores et les ondes lumineuses ?

Les ondes sonores sont caractérisée par la vibration acoustique donnée par la surpression p(M,t).par rapport à la pression atmosphérique.

On pose p(M,t) = P0.cos 2 f

2 ft SM

c

 π 

 π − 

  la vibration acoustique reçue en M de la part d’une source S de fréquence f.

19)

a)Justifier l’expression de la vibration p(M,t).

b) Déterminer l’expression du déphasage Δφ(M) entre les deux ondes acoustiques reçues en M dans l’expérience décrite figure 7a. en fonction de la fréquence f, de la c des ondes acoustiques, de l’abscisse x, des distances a et D.

On rappelle que D >> a et D >> x

20) Montrer que l’expression de la surpression reçue en M peut se mettre sous la forme : p(x,t) = peff.cos 2 Df

2 ft c

 π 

 π − 

  ^avec p^eff 2P .cos⁰ 2

∆ϕ

=  

 ^.

21) Le micro du smartphone enregistre l’intensité sonore en décibel I(dB) définie par la relation : Figure 7a - Dessin issu d’un travail de

l’équipe « la physique autrement

Figure 7b – Courbe intensité acoustique I(x)

5

I(dB) 20log peff 2.10⁻

 

=  

 

La fréquence f de l’onde acoustique est f = 6800 Hz, la célérité c des ondes acoustiques est c = 340 m.s^-1 et on prend a = 1 m. En déduire la valeur de D.

Problème n°2 : Biométrie de l’œil par interférométrie à cohérence partielle

(D’après Concours Banque PT 2019)

I) Obtention d’interférences :

1)Longueur de cohérence temporelle d’une source lumineuse

a)Décrire le modèle des trains d’onde en précisant, sur un schéma, la période de l’onde et le temps de cohérence (c’est-à-dire la durée moyenne) du train d’onde.

b)Donner l’ordre de grandeur du temps de cohérence d’un LASER.

c)Calculer le temps de cohérence pour une source de largeur spectrale Δλ = 50 nm et de longueur d’onde dans le vide λ0 = 820 nm. On prendra la célérité de la lumière dans le vide c = 3.10⁸ m.s^.-1 .

d)La longueur de cohérence temporelle dans le vide (Lc) d’une source est la longueur occupée dans l’espace par un train d’onde se propageant dans le vide. Déterminer littéralement puis numériquement Lc pour la source précédente.

e)Quelle serait la longueur de cohérence temporelle d’une source parfaitement monochromatique ? 2)Interférences de 2 ondes

On considère deux sources ponctuelles S1 et S2, cohérentes, en phase, émettant de manière isotrope une lumière monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ0 et d’intensité I1 et I2. On étudie les interférences éventuelles en un point P d’un milieu homogène d’indice de réfraction n, à la distance d1 de S1 et d2 de S2.

a)Définir la différence de chemin optique δ en P entre l’onde issue de S2 et celle issue de S1, en fonction de d1, d2 et de l’indice n du milieu.

b)Donner sans calcul la formule de Fresnel donnant l’intensité lumineuse I(P) en P, en fonction de I1, I2, δ et λ0 dans le cas où I1 = I2 = I0, (« relation c » dans toute la suite) :

II) Interféromètre de Michelson réglé en lame d’air

Un interféromètre de Michelson est réglé en lame d’air et éclairé par une source S, ponctuelle, monochromatique, de longueur d’onde dans le vide λ0. Un écran Ecr est placé au foyer image d’une lentille convergente.

La figure 1 donne le schéma de principe de cet interféromètre pour lequel on supposera la séparatrice Sp

idéale (infiniment mince, division d’amplitude à 50 % et n’introduisant aucun déphasage). Le miroir M’ est fixe ; M est mobile.

Figure 1

On note « onde 1 » l’onde issue de S se réfléchissant sur M’ et « onde 2 » celle se dirigeant vers M. La différence algébrique de chemin optique entre l’onde 2 et l’onde 1, évaluée en un point P de l’écran Ecr, est notée δ.

A l’état initial, les deux miroirs sont équidistants de Sp. On déplace alors M d’une distance algébrique x (x > 0 pour un éloignement de M) : l’interféromètre est réglé en « lame d’air ».

1)A partir d’un schéma clair et expliqué (à tracer sur la copie), montrer que la différence de chemin optique dans cette situation est : δ = 2.na.x.cos(i). Que représente i ? Que représente na ?

2)Qu’observe-t-on sur l’écran (aucun calcul n’est demandé, on attend juste une description justifiée de l’écran) ?

3)On diminue alors x en déplaçant M de manière à obtenir, sur l’écran, une intensité lumineuse I(P) uniforme (contact optique). Expliquer en 5 lignes maximum quelle est la manipulation à effectuer et ce que l’on voit sur l’écran au fur et à mesure de ce réglage.

III) Mesure de position

On revient au réglage de l’interféromètre en lame d’air et au contact optique (M et M’ équidistants de Sp, chacun à la distance d0).

On modifie la source : la source S, ponctuelle, monochromatique, de longueur d’onde dans le vide λ0, est à présent au foyer principal objet d’une lentille convergente L0 (figure 2).

Un détecteur est placé au foyer principal image (noté O) d’une lentille convergente L. Ce détecteur enregistre l’intensité lumineuse au point O I(O) au fur et à mesure du déplacement x du miroir M.

A partir de l’état initial (M et M’ équidistants de d0 de Sp), on translate M’ d’une distance inconnue x1.

Figure 2

On examine ici la possibilité de repérer la position x1 du miroir M’ en mesurant le déplacement x du miroir M à l’aide de la courbe enregistrée I(O) = f(x).

Les notations (1) et (2) des faisceaux et de la différence de chemin optique sont les mêmes qu’en II).

1)

a)Reproduire la figure 2 et tracer la marche des faisceaux 1 et 2 qui se recombinent au point O.

b)Expliciter alors la différence de chemin optique δ en O en fonction de x, x1 et des données optiques.

c)On note p l’ordre d’interférence ; rappeler la définition de p.

d)On note x0 le déplacement de M générant un état interférentiel d’ordre 0. Expliquer pourquoi la détection de l’ordre 0 permettrait de mesurer x1 à partir de la mesure de x0.

2)Cas où la source est parfaitement monochromatique

a)A partir de la « relation c », donner l’expression de I(O) en fonction de x, x1 et des données optiques.

b)On suppose que l’intensité est maximale lorsque x = 0.

α) Déterminer les positions x de M générant des maxima d’intensité.

β) Représenter graphiquement I(O) en fonction de x.

c)Est-il possible de repérer l’état d’interférence d’ordre 0 sur la courbe I(O) lorsque la source est parfaitement monochromatique ?

3)La source est à faible cohérence temporelle

a) Rappeler la condition sur la différence de marche et la longueur de cohérence de la source qui permet de garantir la cohérence temporelle et ainsi l’observation des interférences.

Pour les applications numériques : λ0 = 800 nm ; na = 1,00 ; Lc = 1,80 µm.

b)Pour l’état d’interférence d’ordre 0 : quelle est la position théorique (x0) de M ? pourquoi l’intensité de cette frange est-elle maximale ?

c)Déterminer littéralement les valeurs minimale (x-) et maximale (x+) de x entre lesquelles il y a interférences.

d)Déterminer littéralement puis numériquement le nombre de maximas d’intensité détectables.

e)Faire une représentation graphique de l’intensité I(O) en fonction de x, pour x _- ^{c c}

a a

L L

x - , x

n ⁺ n

 

∈  + 

 ^.

f)Expérimentalement, on détecte l’état d’interférence d’ordre 0 par un maximum d’intensité correspondant à un déplacement x0 de M (voir III-3-b).

α) Expliquer pourquoi la courbe I(O) = f(x) ne permet pas de trouver exactement x0 mais seulement un encadrement de x0.

β) Justifier alors que le meilleur estimateur de x0 est le milieu de l’intervalle x-, x+ (déterminé en III-3-c) avec une incertitude Δx0 = Lc/2na.

g)Une étude théorique plus détaillée pour une source de largeur spectrale Δν et de fréquence dans le vide ν0 >>Δν conduit à l’expression de l’intensité en O:

I(O) = ₀ 2 ₀

2 1 sin π∆ν. cos π. .  +  δ  ν δ

    

 

I c

c c Avec :

( )

( )

sin = s X

c X X sinus cardinal de X α) Définir et exprimer le facteur de visibilité V(δ) et tracer l’allure de la courbe de I(O) en fonction de δ.

β) Retrouver par le calcul les limites du III-3-c).

IV) Application à la biométrie de l’œil

Pour mesurer les épaisseurs intéressantes de l’œil, on utilise un biomètre.

En ophtalmologie, les biomètres dérivent de l’interféromètre de Michelson en remplaçant le miroir M’ par l’œil à mesurer (figure 3), chaque interface biologique jouant successivement le rôle de M’.

Le faisceau 1 arrivant sur l’œil est partiellement réfléchi par la première interface (en A sur la figure 3), la partie transmise se réfléchissant partiellement sur l’interface suivante (en B) et ainsi de suite.

Les faisceaux sont assez fins pour que l’on puisse considérer les interfaces comme planes ; la réflexion sur une interface sera assimilée à celle qui aurait lieu sur un miroir plan M’ de même position.

On place en O le détecteur qui par un système électronique détectant l’enveloppe positive du signal I(O) affiche le signal utile Iu.

Le signal utile Iu obtenu au fur et à mesure du déplacement x du miroir M est donné figure 4,.

Le pic de référence (x = xA = 0) correspond au signal issu de la réflexion en A ; le pic en xB correspond au signal issu de la réflexion en B.

On note : Dc la distance AB ; nc l’indice de réfraction du milieu biologique compris entre A et B.

Données : λ0, na, Lc, nc.

1)Expliciter la différence de chemin optique en O (δB/2) entre le faisceau 1 se réfléchissant en B et le faisceau 2, en fonction de x, Dc et des données.

2)A partir des résultats de III-3, déterminer la valeur théorique de xB ; 3)En déduire l’expression littérale de Dc.

Figure 3 Figure 4

V) Enregistrement (figure 5)

Lors d’un examen ophtalmologique, le miroir M est translaté sur une distance suffisamment grande pour recueillir des informations sur les différentes structures de l’œil selon le principe décrit dans les questions précédentes.

Certains pics (P1, P2, P3, P4, P5 et P6), repérés automatiquement par le logiciel de traitement du signal, correspondent chacun à une interface biologique, le pic P1 représente l’interface air-cornée (voir document figure 6). L’axe horizontal est proportionnel au déplacement du miroir M, l’axe vertical représente la réponse du détecteur.

Figure 5 : exemple de courbe obtenue avec un biomètre 1) Indiquer quel élément du globe oculaire se situe entre les pics P1, P2, P3, P4, P5 et P6. 2) L’épaisseur de l’humeur vitrée de l’œil étudié est Dv (Dv = 16,14 mm).

En déduire l’épaisseur LT, en expliquant clairement la méthode utilisée.

Figure 6 : Documents

Indice de réfraction des structures transparentes de l’œil

•Indice de la cornée : nc = 1,376

•Indice de l’humeur aqueuse : naq = 1,345

•Indice du cristallin théorique : nct = 1,406 (au centre)

•Indice de l’humeur vitrée : nv = 1,344

Epaisseur centrale de la cornée : CCT Ordre de grandeur : 300 à 800 µm

Profondeur de la chambre antérieure contenant l’humeur aqueuse : AD

Ordre de grandeur : 2 à 6 mm

Epaisseur du cristallin : LT Epaisseur de la rétine : RT

PROBLEME N°3 : GEOPHYSIQUE DE LA TERRE

(Extrait Epreuve Concours Centrale Supélec MP 2018) Ce sujet s’intéresse aux méthodes de mesure du champ de pesanteur terrestre (gravimétrie)

Un ensemble de valeurs numériques et un rappel sur les coordonnées sphériques sont disponibles en fin d’énoncé.

Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l’initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par une barre en marge. Il est alors demandé d’expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d’initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

I Champ gravitationnel et champ de pesanteur terrestre I.A – Champ gravitationnel créé par la Terre

La Terre est assimilée à une boule homogène de rayon RT, de centre C et de masse MT uniformément répartie en volume. On repère un point M de l’espace dans le système de coordonnées sphériques d’origine C, associé à la base locale (

(

)

On appelle z = r - RT> 0 l’altitude d’un point M situé à l’extérieur de la Terre et on associe à ce point un axe (Oz) (verticale du lieu) dont l’origine O est en r = RT et tel que ez =er

Q 1 Exprimer la force gravitationnelle s’exerçant sur le point M.

Q 2 Donner l’expression du champ gravitationnel terrestre GT créé par la Terre à une altitude z > 0.

I.B – Variation du champ gravitationnel avec l’altitude

Soit un corps de masse m, assimilé à un point matériel, situé à la distance r = RT du centre C de la Terre (altitude z = 0). On définit le vecteur unitaire local u perpendiculaire à l’axe (Δ) de rotation de la Terre sur elle-même (figure 1).

Q 3 Montrer que l’intensité du champ gravitationnel selon la verticale s’écrit, pour z << RT :

GT ( ) ₂ 1 2 

≈  − 

 

T

T T

GM z

z R R

On se placera dans cette hypothèse pour la suite.

Q 4 Calculer l’altitude dont il faut s’élever pour observer une variation de 1,00% de G_T.

Q 5 On définit le gradient vertical d’un champ A par la variation de sa composante Az suivant l’axe verticale Oz en fonction de z. Donner l’expression du gradient vertical du champ gravitationnel. Que représente-t-il physiquement ?

Q 6 Les géophysiciens utilisent comme unité de mesure du champ de pesanteur le gal avec 1 gal = 1,00 cm.s^-2. Évaluer la valeur du gradient exprimée en µgal.cm⁻¹ et commenter.

I.C – Champ de pesanteur terrestre

L’étude est conduite dans le référentiel terrestre.

Q 7 Expliquer en quelle mesure ce référentiel est un référentiel galiléen approché.

NB : Les questions Q.8 et Q.9 sont des questions facultatives et « bonus ».

Pour la suite du problème on pourra admettre le résultat donnant le champ de pesanteur tenant compte de la force d’inertie d’entraînement :

2

( )

T r T

2

g GM e R cos u

= − r + ω φ

Figure 1

Q 8 Exprimer la force d’inertie d’entrainement Fie s’exerçant sur un corps de masse m, situé à la distance r = RT du centre de la Terre. La vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même est notée ω, la latitude est notée φ (figure 1).

Le poids d’un objet de masse m (P=m g ) est égal, par définition, à la somme de la force de gravitation et de la force d’inertie d’entrainement. Retrouver l’expression du champ de pesanteur g

Q 9 Représenter g sur un schéma au point M.

Application numérique. Comparer, de manière relative, le terme d’inertie d’entrainement au terme dû au champ gravitationnel calculé à l’équateur. Commenter.

Par la suite, le référentiel terrestre sera supposé galiléen.

II Méthodes de mesure du champ de pesanteur à l’aide de pendules

Pour déterminer le champ de pesanteur localement, les géophysiciens disposent d’instruments appelés gravimètres. Le premier gravimètre utilisé historiquement a été un pendule.

II.A – Le pendule de Richter

Q 10 Expliquer comment l’utilisation d’un pendule simple (figure 2) permet-elle de remonter à la mesure de l’intensité du champ de pesanteur g ? On pourra déterminer la période des petites oscillations du pendule en détaillant les calculs.

Figure 2 Figure 3

Q 11 En 1672 l’astronome Richter part à Cayenne en Guyane avec une horloge à pendule réglée à Paris (pendule qui bat la seconde), il s’aperçoit qu’elle retarde de 2 min 28 s par jour. En déduire la valeur de g à Cayenne (à Paris g = 9,81 m.s^-2).

Pour quelle(s) raison(s) les valeurs de g sont-elles différentes à Cayenne et à Paris ? L’altitude de Paris varie entre 28 et 131 m et l’altitude de Cayenne entre 0 et 105 m.

Q 12 On admet que l’incertitude de mesure provient essentiellement de la mesure de la période T.

Quelle devrait être l’incertitude ΔT sur la mesure de la période du pendule utilisé par Richter pour que l’incertitude sur la mesure de g soit égale à Δg =1 µgal (ordre de grandeur de la précision des gravimètres actuels).

II.B – Le pendule vertical

La mesure de l’élongation d’un ressort vertical au bout duquel est suspendue une masse permet de mesurer les variations du champ de pesanteur. L’ingénieur Lucien LaCoste a inventé un ingénieux ressort à spirale de longueur au repos nulle (figure 3).

Q 13 Si le champ de pesanteur terrestre varie de 10 µgal, que vaut la variation de l’élongation d’un ressort usuel d’un laboratoire de lycée ?

III Gravimètre à fléau de LaCoste et Romberg

Le gravimètre de LaCoste et Romberg est un gravimètre qui permet de mesurer l’intensité du champ de pesanteur avec une incertitude typique de Δg =1 µgal.

Une tige de longueur a, de masse négligeable porte une masse m à l’une de ses extrémités et pivote sans frottement autour de l’axe Oz (figure 4).

Le mouvement de la masse est repéré par l’angle θ, orienté par rapport à l’axe (Oz), il est donc positif sur la figure 4. La tige est retenue par un ressort de constante de raideur k, de longueur s et de longueur au repos s0. Ce ressort est fixé sur la tige à la distance b du point pivot O.

La longueur ℓ peut être ajustée.

Le dispositif est contenu dans un plan vertical, l’axe Oz est perpendiculaire à ce plan

Figure 4

Q 14 Pour le système gravimètre (tige + ressort + masse m), écrire l’expression de l’énergie potentielle totale Ep (pesanteur et élastique) du système en fonction de m, g, k, a, θ, s et s0.

Q 15 Donner les coordonnées des extrémités du ressort et en déduire l’expression de s en fonction de ℓ, b et θ.

Q 16 Pour un mouvement de rotation pure le couple résultant Γ agissant sur la tige s’écrit ∂ Γ = −

∂θ Ep

Montrer que

0

2 2 cos

2 sin

 

Γ = − +  θ

+ + θ

 

ℓ ℓ

ℓ ℓ

mga k b k bs

b b

Q 17 Ce ressort a été fabriqué de telle manière que sa longueur au repos s0 soit nulle (figure 3). Montrer que l’on peut déterminer la valeur de l’intensité de la pesanteur g en annulant ce couple. Expliquer le fonctionnement du gravimètre.

Aurait-on pu utiliser un ressort « classique » ?

Pour toute la suite, le ressort a une longueur au repos nulle.

Dans la pratique, on incline le point de support du ressort d’un petit angle φ (figure 5).

ℓ

Figure 5

Q 18 Exprimer s, puis l’énergie potentielle Ep′, en fonction de ℓ, b, φ et θ.

Les courbes de la figure 6 représentent l’énergie potentielle en fonction de θ du système sans et avec inclinaison du ressort (pour une meilleure visualisation, les valeurs des paramètres utilisés pour tracer ces courbes sont différentes de celles du système réel).

Figure 6 Q 19 Quel est l’intérêt d’avoir incliné le ressort ?

Q 20 Dans le cas où le point de support du ressort est incliné (figure 5), déterminer le nouveau couple Γ′ résultant. Montrer qu’il s’écrit

Γ′ = (mga − kℓb cosφ) cosθ − kℓb sinφsinθ

Q 21 Dans la pratique, l’angle θ reste petit. Écrire l’équation différentielle vérifiée par θ. On notera J le moment d’inertie de la tige et de la masse par rapport à l’axe Oz.

Q.22 Déterminer la pulsation propre des oscillations et la position moyenne θ0. On ajuste la longueur ℓ de manière à annuler la position moyenne pour g = g0.

Q 23 Application numérique. De quel angle φ doit-on incliner l’instrument pour obtenir des oscillations de période 20s si g0 ≈10 m.s^-2, a ≈ b = 1,0 cm et J = ma² ?

Q 24. L’appareil est ensuite déplacé dans une zone où g = g0+Δg. Montrer que la nouvelle position moyenne θ0’ est égale à ^'₀

0tan θ = ∆

φ g g

Q.25 Si le champ de pesanteur varie de 10 µgal quel est l’ordre de grandeur de la nouvelle position moyenne

? Commenter.

ℓ

Données numériques

Constante de gravitation universelle G = 6,67 x 10^–11 kg^–1.m³.s^–2

Rayon de la Terre RT= 6,37 x 10³ km

Masse de la Terre MT= 5,97 x 10²⁴ kg

Unité de mesure de la pesanteur 1 gal = 1,00 cm.s^–2

Ordre de grandeur de la sensibilité des gravimètres actuels Δg = 1 µgal

Coordonnées sphériques

m