Lycée Bellevue — Devoir Commun Terminale S Spécialité mathématiques
Janvier 2017
Durée : 1 Heure — Calculatrice autorisée
On souhaite déterminer le chiffre des unités de 2n+3nselon les valeurs den. 1. (Préliminaire) Démontrer que le chiffre des unités d’un nombre entierxest son
reste dans la division euclidienne par 10.
2. On choisitn=2016.
(a) Déterminer le chiffre des unités de 32016
(b) Déterminer le reste de 22016dans la division par 5. En déduire le chiffre des unités de 22016.
(c) Quel est alors le chiffre des unités de 22016+32016? 3. On étudie désormais le cas d’un entiernquelconque.
(a) Recopier et compléter le tableau suivant :
n 0 1 2 3 4 5 6 7
Reste de 2nmod 5 Reste de 3nmod 5 Reste de 2n+++3nmod 5
(b) Conjecturer les valeurs des restes de 2n+3nen fonction des valeurs den. (c) Pour tousketnentiers naturels, démontrer que 2n+3net 2n+4k+3n+4kont
le même reste dans la division euclidienne par 5.
(d) En déduire l’ensemble des restes possibles de 2n+3nen fonction den. (e) En étudiant la parité de 2n+3n en fonction de n, donner son chiffre des
unités en fonction den.
4. En déduire le chiffre des unités de 2888+3888.
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