Chapitre VII : Les quadrilatères

(1)

Les mathématiques au collège

^{Page 1}

Chapitre VII : Les quadrilatères

I- Les quadrilatères.

Définition :

Un quadrilatère est une forme géométrique plane, qui a quatre côtés.

Exemples : Les figures ci-dessous sont des quadrilatères.

II- Le trapèze :

Définition :

Un trapèze est un quadrilatère, qui a deux côtés parallèles.

Exemples : Les figures (2) et (5) sont des trapèzes.

III- Le parallélogramme :

Définition :

Un parallélogramme est un quadrilatère, dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Exemples : La figure (5) est un parallélogramme.

Figure 1 Figure 2 Figure 3

Figure 5

(2)

Les mathématiques au collège

^{Page 2}

Remarque :

Un parallélogramme est un trapèze, mais un trapèze n’est pas forcément un parallélogramme.

1- Ensemble des quadrilatères :

Les rectangles, les losanges et les carrés sont des parallélogrammes.

2- Propriétés d’un parallélogramme.

Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.

Les quadrilatères

Les parallélogrammes

A B

C D

(3)

Les mathématiques au collège

^{Page 3}

Hypothèse :

ABCD est un parallélogramme.

Conclusion :

AB=DC et AD=BC.

Dans un quadrilatère, si les côtés opposés sont égaux deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Hypothèse :

AB=DC et AD=BC.

Conclusion :

Dans un parallélogramme les angles opposés sont égaux deux à deux.

Hypothèse :

ABCD est un parallélogramme

. Conclusion :

Aˆ Cˆ et Bˆ Dˆ.

Dans un quadrilatère, si les angles opposés sont égaux deux à deux, ce quadrilatère est un parallélogramme.

Hypothèse :

Aˆ Cˆ et Bˆ Dˆ

Conclusion :

ABCD est un parallélogramme

.

P1

R1

A

C

B

D

P2

R2

(4)

Les mathématiques au collège

^{Page 4}

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles deux à deux et de même longueur.

Hypothèse :

Conclusion :

(AB) // (DC) et AB = DC.

Dans un quadrilatère, si deux côtés sont parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Hypothèse :

(AB)//(DC) et AB = DC .

Conclusion :

Dans un parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu.

Hypothèse :

Conclusion :

[AC] et [BD] ont le même milieu O

Dans un quadrilatère, si les diagonales se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Hypothèse :

[AC] et [BD] ont le même milieu O.

Conclusion :

P3

R3

A B

D C

O

P4

R4

(5)

Les mathématiques au collège

^{Page 5}

3- Parallélogrammes particuliers.

A- Rectangle :

Définition :

Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.

Propriété :

Dans un rectangle les diagonales ont la même longueur.

Réciproque :

Si dans un parallélogramme les diagonales ont la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle.

B- Losange :

Définition :

Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.

(6)

Les mathématiques au collège

^{Page 6}

Conséquence :

Un losange est un parallélogramme qui a quatre côtés de même longueur.

Propriété :

Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires en leur milieu.

Réciproque :

Si dans un parallélogramme les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu, alors ce parallélogramme est un losange.

C- Carré :

Définition :

Un carré est un parallélogramme dont les angles sont droits et les côtés sont égaux.

Propriété :

Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

(7)

Les mathématiques au collège

^{Page 7}

Conséquences :

 Comme dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

 Comme dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur.

 Comme dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires.