EPFLAlgèbre linéaire 1ère année 2007-2008
Corrigé de la série 9
Exercice 1.
(a) Par dénition, la première colonne de la matrice cherchée A = (αi,j) consiste en les coecients α1,1, α2,1 ∈ F tels que T(~e1) = α1,1~e1 +α2,1~e2. Comme T(~e1) = T(1,0,0) = (5,1) = 5(1,0) + (0,1) = 5~e1+~e2, on a α1,1 = 5 et α2,1 = 1. Pour la deuxième colonne, on calcule T(~e2) = T(0,1,0) = (2,1) = 2~e1+~e2, et en déduit α1,2 = 2, α2,2 = 1. Pour la troisième : T(~e3) = (7,−1) = 7~e1 −~e2), donc α1,3 = 7, α2,3 = −1. La matrice est alors donnée par A=
5 2 7 1 1 −1
.
(b) Soit B = (βi,j) la matrice qu'on cherche. L'image du premier vecteur de la base de B sous T est T(1,1,0) = (5 + 2,1 + 1) = (7,2). Il nous faut l'exprimer dans la base B0, ce qui revient à déterminer β1,1, β2,1 tels que (7,2) = β1,1(−~e1 +~e2) +β2,1(~e1 +~e2) = (−β1,1 +β2,1, β1,1 −β2,1). On trouve β2,1 = 92, β2,1 = −52 . En continuant dans la même manière, on trouve B =
9
2 −92 −6
−5 2
9
2 6
= 12
9 −9 −12
−5 9 12
.
(c)
1 0 0 0 1 0 0 0 0
(d)
0 0 0 0 0 0 2√
2 0 1
(e)
α 0 0 α
=αI2 (f)
0 1 1 0
(g)
0 1 2 −1 0 0 −2 1
0 0 0 3
(h) 12
0 0 0 0
0 1 −1 0 0 −1 1 0
0 0 0 0
Exercice 2.
(a) Soit f1 l'application associée. Par linéarité et par dénition, elle satisfait : f(x, y, z) =f(x~e1+y~e2+z~e3) =xf(~e1) +yf(~e2) +zf(~e3)
=x(−2~e1+ 5~e2+ 4~e3) +y(3~e1+~e2+ 11~e3) +z(~e1+ 3~e3)
= (−2x+ 3y+z,5x+y,4x+ 11y+ 3z) pour tout(x, y, z)∈F3.
1
(b) L'applicationf2 associée à A2 est donnée par f(α, β) = αf(~e1) +βf(~e2)
=α(1−(2t2−1) + (4t3−3t)) +β(t+ 2(2t2−1)−(4t3−3t))
= 4(α−β)t3+ 2(−α+β)t2+ (−3α+ 4β)t+ 2(α−β)1.
(c) Soitf3l'application cherchée. Pour trouverf3(a, b, c)pour(a, b, c)∈F3quelconque, il nous faut d'abord écrire(a, b, c)dans la baseB. Poser(a, b, c) = α(1,1,0)+β(1,0,1)+γ(0,1,1) mène à un système de trois équations linéaires, dont les solutions sont α = 12(a+b−c), β = 12(a−b+c), γ = 12(−a+b+c). Donc :
f3(a, b, c) = 1
2(a+b−c)f3(1,1,0) + 1
2(a−b+c)f3(1,0,1) + 1
2(−a+b+c)f3(0,1,1)
= 1
2(a+b−c)(~e1+ 2(~e1−~e2)) + 1
2(a−b+c)(−~e1+~e2) + 1
2(−a+b+c)(2~e1+~e1−~e2) = (−1 2a+ 7
2b−1
2c,−b−c).
(d) Pour la fonction associée f4, on trouve pour A=
α β γ δ
:
f4(A) = f4
α β γ δ
=f4
α 1 0
0 0
+β−γ 2
0 1
−1 0
+ β+γ 2
0 1 1 0
+δ 0 0
0 1
= β−γ 2
0 1
−1 0
= 1
2(A−AT).
Exercice 3.
(a) Six=rcosα ety =rsinα, alors
Tθ(x, y) = (rcos(α+θ), rsin(α+θ)
= (r(cosαcosθ−sinαsinθ), r(cosαsinθ+ sinαcosθ))
= (xcosθ−ysinθ, xsinθ+ycosθ).
(b) Tθ est linéaire car sinθ et cosθ sont des constants xes.
(c) Tθ(1,0) = (cosθ,sinθ) etTθ(0,1) = (−sinθ,cosθ), alors [Tθ]B,B =
cosθ −sinθ sinθ cosθ
.
Exercice 4. Ecrivons ppour la projection décrit dans le problème. Elle est bien déni comme P ⊕D = R3 (comparer série 4, exercice 5). Pour déterminer p(x, y, z), nous devons trouver la décomposition (unique !) de (x, y, z) dans une somme ~v +w~, où ~v = (v1, v2, v3) ∈ P et
~
w= (w1, w2, w3)∈D. Par dénition de p, on va avoirp(x, y, z) =~v. Or w~ ∈D si et seulement siw~ =α(3,2,1)pour un certainα ∈R. Pour~v, nous obtenons donc l'expression~v = (x, y, z)− α(3,2,1), où α reste à déterminer. La condition~v ∈P implique que
(x−3α) + 2(y−2α) + 3(z−α) = 0.
Par conséquent, α = 101(x+ 2y+ 3z). Evaluant l'expression trouvée pour ~v pour ~e1, ~e2, ~e3, on trouve que p est représentée par 101
7 −6 −9
−2 6 −6
−1 −2 7
.
2
