Etude d’un cas particulier ´

ECS1 H. Boucher 04/02/2021 Devoir surveill´e n^o5 (dur´ee : 4 heures)

Les calculatrices et les documents sont interdits.

Les r´esultats devront ˆetre encadr´es .

Si le candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il l’indique sur sa copie et poursuit en expliquant les initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.

Probl`eme 1

On suppose qu’un espace probabilis´e fini (Ω,P(Ω),P) mod´elise la situation suivante. On joue `a un jeu de hasard o`u la probabilit´e de gagner une partie est p ∈]0,1[. On va jouer N parties ind´ependantes avec N ∈N^∗. Lors de la premi`ere partie, la dotation est de 1 euro. C’est-`a-dire qu’on empoche 1 euro en cas de victoire. `A chaque partie la dotation augmente de 1 euro. Ainsi, par exemple, une victoire `a la troisi`eme partie permet d’empocher 3 euros.

On note X₁ la somme empoch´ee lorsqu’on remporte notre premi`ere victoire, X<sub>2</sub> la somme empoch´ee lors de la deuxi`eme victoire, et ainsi de suite. Pour r ∈ J1, NK, Xr prend bien sˆur la valeur 0 s’il n’y a pas de r-i`eme victoire.

Pour tout i∈J1, NK, on note V_i etD_i les ´ev´enements correspondant respectivement `a une victoire et `a une d´efaite lors de lai-i`eme partie.

Exemple. Examinons (seulement pour cet exemple) le casN = 5. Je joue une partie et je perds (´ev´enement D₁). Je rejoue (il y a maintenant 2 euros en jeu) et gagne cette deuxi`eme partie (´ev´enementV<sub>2</sub>). J’empoche donc X1 = 2 euros. Le jeu continue et je rejoue, cette fois pour 3 euros. Je perds (D3), je rejoue (pour 4 euros) mais je perds encore (D4). Je rejoue (pour 5 euros) et gagne (V5). AlorsX2 = 5. On a jou´e 5 parties, le jeu est maintenant termin´e. Il n’y aura jamais de troisi`eme victoire, donc X₃ prend la valeur 0, ainsi que X4,etc.

1. Donner X₁(Ω).

2. Cas particulier (pour cette question seulement) : N = 3.

(a) Mod´eliser `a l’aide d’un arbre la situation compl`ete correspondant `a ce cas particulier.

(b) Exprimer pour tout k∈X₁(Ω) l’´ev´enement [X₁ =k] `a l’aide des ´ev´enementsV_i etD_i. (c) D´eterminer la loi de X₁ et son esp´erance.

(d) Si ma deuxi`eme victoire me rapporte X<sub>2</sub> = 3 euros, quelle est la probabilit´e que j’aie gagn´e la toute premi`ere partie ?

3. N est `a nouveau quelconque. On ´etudie tout d’abordX₁.

(a) Pour tout k dans un ensemble d’entiers `a pr´eciser, d´ecrire l’´ev´enement [X<sub>1</sub> >k+ 1] `a l’aide des

´ev´enementsDi et/ou Vi.

(b) En d´eduireP(X16k) (pour ces mˆemesk), ainsi que la fonction de r´epartition de X1. (c) Montrer que

∀k∈X1(Ω),P(X1=k) =

((1−p)^N sik= 0, p(1−p)^k−1 sinon.

(d) Calculer E(X1).

4. Soitr ∈J2, NK. On rappelle queXr repr´esente la somme empoch´ee lors de la r-i`eme victoire, si elle se produit avant la fin du jeu, et prend la valeur 0 sinon.

1

(a) D´eterminer Xr(Ω).

(b) D´ecrire l’´ev´enement [Xr =r] `a l’aide des ´ev´enements Vi et/ouDi et en donner la probabilit´e.

(c) Soit k non nul dans X_r(Ω). Lorsque [X_r = k] est r´ealis´e, d´ecrire (en termes de victoires ou de d´efaites) les r´esultats possibles des k−1 premi`eres parties du jeu. Donner alors P(Xr = k).

(indication : on pourra d´enombrer les diff´erentes situations possibles et d´eterminer la probabilit´e de chacune d’elles)

Probl`eme 2

A Etude d’une suite r´ ´ eelle

On rappelle les d´efinitions suivantes :

• Un intervalle I deR est ditstablepar une fonction f lorsque∀x∈I,f(x)∈I.

• On dit qu’un r´eel xest un point fixede la fonctionf lorsquef(x) =x.

Soit c∈Ret (xn)n∈N la suite r´eelle d´efinie par

(x₀= 0

∀n∈N, xn+1 =x²_n+c . 1. Mod´elisation

(a) Quel est le nom de la fonction Scilab ci-dessous ? Quels sont ses arguments d’entr´ee ? Que renvoie- t-elle ?

function u = x(n,c) u=0

for k = 1:n u = u^2+c end

endfunction

(b) R´e´ecrire cette fonction sans changer son effet mais en rempla¸cant la boucle for par une boucle while.

(c) Proposer une fonction div(c) qui prend en entr´ee le nombre c et qui renvoie le premier rang n <1000 tel quexn>10. Si cela ne se produit jamais, on veut qu’elle renvoie 1000.

2. D´eterminons la suite (xn) dans quelques cas particuliers.

(a) D´ecrire la suite (xn) dans le cas o`uc= 0.

(b) Calculer les premiers termes de la suite (xn) dans le cas o`uc=−2. Conclure.

(c) Mˆemes questions avecc=−1.

3. Soit f :x7→x²+c etg:x7→f(x)−x.

(a) ´Etudier la fonction f surR.

(b) D´eterminer, en fonction de c, le nombre de z´eros de g. Lorsqu’il y en a 2, on les notera α et β avec α < β. Donner alors leur expression en fonction de c.

(c) Donner, dans ces diff´erents cas, le signe de g.

(d) D´eterminer (en fonction de c) les deux r´eelsaetb tels que

∀x∈R, f(f(x))−x= (f(x)−x) (x²+ax+b).

2

4. On suppose dans cette question que c∈ 1

4,+∞

. (a) Montrer que la suite (xn) est strictement croissante.

(b) Montrer que (xn) n’admet pas de limite finie.

(c) En d´eduire le comportement de (xn) lorsque ntend vers +∞.

5. On suppose dans cette question que c∈]−∞,−2[.

(a) Montrer que pour tout entiern>2,xn>−c.

(b) Montrer queβ <−cet en d´eduire les variations de (xn).

(c) On admet (c’est la mˆeme d´emonstration qu’`a la question 4) que (xn) n’a pas de limite finie. En d´eduire son comportement lorsque ntend vers +∞

6. On suppose dans cette question que c∈

0,1 4

.

(a) Montrer que [0,α[ est stable parf. En d´eduire que pour toutn∈N, 06xn< a.

(b) D´eterminer le sens de variation de (xn).

(c) En d´eduire la convergence de (xn) et pr´eciser sa limite.

7. On suppose dans cette question que c∈

−3 4,0

. (a) Montrer quec < α <0.

(b) Justifier queα et β sont des points fixes def ◦f et que ce sont les seuls.

(c) Montrer quef ◦f est strictement croissante sur [c,0].

(d) En d´eduire quef(c)> α puis que [α,0[ est stable par f◦f.

(e) D´eterminer le sens de variations de la suite (x2n) et sa convergence vers une limite `a pr´eciser.

(f) D´eterminer les variations, la convergence et la limite de (x_2n+1).

(g) En d´eduire le comportement de la suite (x_n).

8. On suppose dans cette question que c∈

−2,− 3 4

. (a) D´emontrer que |f(c)|<−cet|f(−c)|< c.

(b) Dresser le tableau de variations complet def sur [−c,c] et en d´eduire que (x_n) est born´ee.

9. Bilan : D´eterminer l’ensembleA des nombres r´eelsctels que la suite (x_n) ne tende pas vers +∞.

Etude d’une suite complexe ´

Soit maintenant c∈Cet (z_n)n∈N la suite de nombres complexes d´efinie par

(z0 = 0

∀n∈N, z_n+1=z_n²+c . Cette d´efinition d´epend bien sˆur du nombrecfix´e. Si n´ecessaire, on noteraz_n(c) les nombresz_nainsi d´efinis.

Comme dans la premi`ere partie, le but du probl`eme est d’´etudier l’ensemble B =

c∈C,(|z_n(c)|)_n∈

N ne tend pas vers +∞ . 10. Mod´elisation.

3

(a) Si on note c = a+ib et zn = an+ibn sous forme alg´ebrique, montrer que pour tout n ∈ N, (a_n+1 =a²_n−b²_n+a

bn+1= 2anbn+b .

(b) ´Ecrire une fonction Scilab prenant en entr´een,aetbet renvoyant le module de zn. 11. Pr´eliminaires.

(a) Montrer que si (|z_n|) est born´ee, alorsc ∈B.(r´esultat que vous penserez `a utiliser dans la suite du probl`eme)

(b) ´Etude d’un cas particulier : d´eterminer la suite (z_n(i)) et en d´eduire que i∈B.

(c) Montrer que pour toutn∈N,z_n(c) =z_n(c). En d´eduire que c∈B ⇔c∈B.

12. Supposons que|c|6 1

4. Montrer que pour toutn∈N,|z_n|6 1

2. En d´eduire que c∈B.

13. cest `a nouveau quelconque.

(a) Montrer que l’´equation x² =x+|c| admet exactement une solution r´eelle dans [1,+∞[. On la noterar.

(b) Montrer que|c| −r = 2|c| −1−p

1 + 4|c|

2 .

(c) Si|c|>2, comparer 2|c| −1 et p

1 + 4|c|puis en d´eduire que |c|> r.

14. Pour toutn∈N, on posee_n=|z_n| −r.

(a) Montrer que pour toutn∈N, (r+e_n)²6r²+e_n+1. (b) En d´eduire que pour toutn∈N,e_n+1 >2re_n.

(c) Si|c|>2, montrer que|z₁|> r puis que∀n>1, en

e1 > (2r)ⁿ 2r . (d) En d´eduire quec /∈B.

15. Bilan : d´ecrire et/ou dessiner (en vous r´ef´erant aux r´esultats de cette partie) un domaine du plan complexe qui contient l’ensembleB.

Etude d’un cas particulier ´

On fixe pour cette partie c=−1 4+3

8i.

16. (a) R´esoudre dansC l’´equation z²−z+c= 0.

(b) Montrer que l’une des solutions est de module 1 2√

2. On la notera α.

(c) Montrer que|z₁−α|= 1 8.

17. Montrer que pour tout n ∈ N, |z_n+1 −α| 6 |z_n−α|(|z_n−α|+ 2|α|) et en d´eduire que pour tout n∈N^∗,|z_n−α|6 1

8. 18. En d´eduire quec∈B.

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