Extensions Simples en Algèbre

Extensions simples

1 Extensions simples

Définition Une extension E de K est simple si, et seulement si, il existe a E tel que E Ka.

Exemple i est une extension simple de , KX est une extension simple de K.

L’importance des extensions simples provient du fait que leurs structures peuvent être parfaitement déterminées d’une part et que la majorité des extensions que nous al- lons rencontrer sont en réalité des extensions simples. Nous allons déterminer la struc- ture d’une extension simple.

Théorème Soit E Ka une extension de K. Il existe un homomorphisme d’an- neaux et un seul

σ; K X E qui vérifieσX a etσk k pour tout k K.

Démonstration Soit σ; K X E l’application définie par σP Pa pour tout P K X. Il est facile de vérifier queσ satisfait les condi- tions du théorème. Il nous reste à prouver l’unicité deσ. Siτest une autre solution, alors nous avons pour tout P

i n

∑

i 0

b_iXⁱdans K X

τP τ

i n i

∑

biXⁱ

i n i

∑

τbi τXⁱ

i n i

∑

biaⁱ Pa σP

D’oùτ σ.

Définition - Notation Le sous-anneau de E engendré par K a sera noté K a alors que Ka désigne le sous-corps de E engendré K a .

Théorème Imσ est le sous-anneau K a de E engendré par K a .

Démonstration Imσ est un sous-anneau de E. Il contient K σK et a σX.

Si L est un sous-anneau de E contenant K a alors

Imσ L car tout élément c de Imσ s’écrit c Pa ⁱ

n

∑

i 0

b_iaⁱ L.

Définition Soit σ; K X E l’application définie par σP Pa pour tout P K X. Considérons le noyau deσ. C’est un idéal de K X.

Deux cas sont possibles : Kerσ^!0 ou Kerσ^#"$0 . Dans le premier cas, l’élé- ment a de E sera dit transcendant sur K, et dans le second, a sera dit algébrique sur K.

Exemple ^% 2 est algébrique sur^& alors queπest transcendant sur^& . Exemple X KX est transcendant sur K.

1.1 Cas où a est algébrique sur K

Ia Kerσ, est un idéal non nul de K X. Mais K X est un anneau principal.

Donc Kerσ est principal. D’un autre côté, deux générateurs de Ia sont tels que l’un d’eux est le produit de l’autre par un élément de K^' , il en résulte que cet idéal possède un générateur unitaire et un seul.

Définition Le générateur unitaire de Ia Kerσ sera noté Irra⁽K et appelé le polynôme minimal de a sur K.

Exemple i est algébrique sur et Irri⁽⁾ X^2* 1.

Exemple ^% 2 est algébrique sur^& et Irri^(&# X² 2.

Théorème Le polynôme Irra⁽K est irréductible dans K X.

Démonstration Sinon, on pourra l’écrire sous la forme Irra⁽K⁺ gh où g et h sont deux polynômes de degré inférieur au degré n de Irra⁽K. Mais, nous avons

ga ha^,gh^-a Irra⁽K^-a 0

qui implique ga^. 0 ou ha 0. Dans le premier cas, nous aurons g Ia et Irra⁽K divise g, et dans le second cas, h Ia et Irra⁽K divise h ce qui est impos- sible vu les degrés de ces polynômes.

Remarque Nous avons

f a 0^0/12 f Ia^30/14 Irra⁽K divise f

Le théorème précédent justifie la notation Irra⁽K pour le polynôme minimal de a sur K.

Théorème

Soient L et E des extensions du corps K. Si K L E Ka, alors E La et Irra⁽L divise Irra⁽K dans L X.

Démonstration E est un sous-corps de E contenant L⁵ a . Si H est un sous- corps de E contenant L⁶ a , alors H contient K⁶ a et E H car E est le plus petit sous-corps de E contenant K⁶ a . Donc E est le plus petit sous-corps de E contenant L⁷ a , ce qui prouve E La. Le polynôme Irra⁽K appartient à L X et vérifie Irra⁽K⁸a 0. Il en résulte que Irra⁽L divise Irra⁽K dans L X.

Théorème Si a est algébrique sur K, alors

Ka K a^:9 K X^<; Ia

où Ia⁼ Pa; P KX^> .

Démonstration Considérons l’homomorphisme σ défini par σP Pa pour tout P K X. Nous avons

K a⁰ Imσ⁹ K X^?; Kerσ⁹ K X^<; Ia^0@

Il en résulte que K a est un corps car l’idéal Ia est maximal. Ceci prouve Ka^A K a et par suite Ka K a⁰⁹ K X^?; Ia.

Théorème Soit a algébrique sur le corps k. Si n degIrra⁽K^B, alors E Ka est une extension de degré n et^C 1⁽a⁽a^2(D@D@E@D(a^{nF 1G} est une base du K-espace vectoriel E.

Démonstration Les éléments 1⁽a⁽a^2(D@E@D@E(a^{nF 1}sont linéairement indépendants car sinon, on peut trouver un polynôme non nul de degré inférieur ou égal à n 1 dont a est une racine. Ce polynôme appartiendrait à Ia ce qui est impossible car Ia est engendré par un polynôme de degré n. Pour prouver que ces éléments forment un système de générateurs du K-espace vectoriel E, il suffit de démontrer que

a^m Vect ^H1⁽a⁽a^2(D@E@D@E(a^{nF 1I}

pour tout m^6J car tout élément de Ka K a s’écrit sous la forme x α0^* α1a^*

KLKMK * αqa^q. Ceci est vrai pour m ^N n 1. Si m ^O n, alors m s’écrit m n^* r. Nous

allons démontrer a^m Vect^H1⁽a⁽a^2(E@D@D@E(a^{nF 1I} par récurrence sur r. Si r 0, alors m n.

En écrivant Irra⁽K sous la forme

Irra⁽K b0^* b1X^{* K?K?K*} bn^F 1X^{nF 1*} Xⁿ⁽

on obtient

b0^* b1a^{* K?K?K*} bn^F 1a^{nF 1*} aⁿ 0

et

aⁿ c₀^* c₁a^{* K?K?K*} c_nF 1a^{nF 1} Vect^H1⁽a⁽a^2(D@E@D@D(a^{nF 1I} où c_i^P b_ipour 1 0⁽1^(E@D@D@E(n 1.

Supposons que

a^{nQ r} t₀^* t₁a^{* K?K?K*} t_nF 1a^{nF 1} Vect^H1⁽a⁽a^2(E@D@D@E(a^{nF 1I}

alors nous avons

a^{nQ rQ 1} aa^{nQ r} at₀^* t₁a^{2* K?K?K*} t_nF 1aⁿ Vect^H1⁽a⁽a^2(E@D@E@D(a^{nF 1I} car

at0^* t1a^{2* K?K?K *} tn^F 2a^{nF 1} Vect ^H1⁽a⁽a^2(D@E@D@D(a^{nF 1I} et

t_nF 1aⁿ Vect^H1⁽a⁽a^2(D@E@D@E(a^{nF 1I}

Il en résulte a^m Vect^H1⁽a⁽a^2(D@E@D@D(a^{nF 1I} pour tout m^RJ . Ceci prouve E : K^S dim_KE n.

1.2 Cas où a est transcendant sur K

Dans ce cas, l’homomorphismeσest injectif. Ceci prouve que K X est isomorphe à K a. Mais ces deux anneaux possèdent des corps de fractions, etσpeut être prolongé en un homomorphisme du corps de fractions QK X^T KX de K X au corps de fractions QK a^T Ka E de K a. Il en résulte :

Théorème

ancc1 Si a est transcendant sur K, alors E Ka est isomorphe à KX.

2 Extensions algébriques

Définition Une extension E d’un corps K sera dite algébrique si, et seulement si, tout élément a de E est algébrique sur K. Elle sera dite transcendante dans le cas contraire.

Exemple est une extension algébrique de , mais est une extension transcen- dante de^& .

Théorème Toute extension finie E d’un corps K est algébrique.

Démonstration Soit a un élément de E et n^$ E : K. Les éléments 1⁽a⁽a^2(E@D@E@D(aⁿ sont linéairement dépendants car dim_KE n. Il existe des scalaires (éléments de K)

b₀⁽b₁^(D@E@D@E(b_n, non tous nuls, tels que

b₀^* b₁a^{* K?K?K*} b_nF 1a^{nF 1*} b_naⁿ 0^@

Si

P b₀^* b₁X^{* K?K?K*} b_nF 1X^{nF 1*} b_nXⁿ⁽

alors P ^" 0 et Pa 0 ce qui prouve que a est algébrique sur K. Il en résulte que E est une extension algébrique de K.

Théorème Une extension simple E Ka est algébrique si, et seulement si, a est algébrique sur K.

Démonstration Si a est algébrique sur K, alors E est une extension finie de K ce qui prouve que cette extension est algébrique. Réciproquement, si l’extension E est al- gébrique, alors a, élément de E, est algébrique sur K.

Théorème Si K L E, alors si a E est algébrique sur K, alors il est algébrique sur L.

Démonstration Si a est algébrique sur K, alors a est une racine d’un polynôme f K X. Mais f L X car K L. Il en résulte que a est algébrique sur L.

Théorème L’extension E Ka₁⁽a₂^(D@E@D@E(a_n de K est algébrique si, et seulement si, les éléments a₁⁽a₂^(D@E@D@D(a_nsont tous algébriques sur K.

Démonstration Si E algébrique sur K, alors les éléments a₁⁽a₂^(D@D@E@D(a_n de E sont tous algébriques sur K. Réciproquement, nous allons démontrer que si les éléments

a₁⁽a₂^(D@E@D@E(a_nsont tous algébriques sur K, alors l’extension E de K est finie. Posons

K₀ K et K_i Ka₁⁽a₂^(D@E@D@E(a_i pour i 1⁽2^(D@E@D(n

Nous avons K_i K_iF 1a_i^-@ D’un autre côté, a_iest algébrique sur K_iF 1car a_iest algé- brique sur K et K K_iF 1 K_i. Ceci implique que le degré K_i: K_iF 1 est fini pour tout i et E : K^0, K_n: K₀⁰

i n

∏

i 1

K_i: K_iF 1 est fini. Ainsi, l’extension E de K est finie. Elle est algébrique.

Corollaire Si R est un corps des racines pour PX K X sur K, alors R est une extension algébrique de K.

Démonstration Nous avons R Ka₁⁽a₂^(E@D@D@E(a_n où a₁⁽a₂^(D@D@E@D(a_nsont les racines de P dans R. Comme chaque a_iest algébrique sur K (il est racine de P), R est une exten- sion algébrique de K.

3 Simplicité d’une extension

Le but de ce paragraphe est de prouver qu’une extension finie E de K est simple si, et seulement si, l’ensemble des corps inermédiaires entre K et E est fini. Ceci découlera des théorèmes suivants :

Théorème Si E Ka, où a est algébrique sur K, et si L est un corps intermé- diaire entre K et E, alors Irra⁽L divise Irra⁽K et L Ka₁⁽a₂^(D@E@D@E(a_nF 1 où a₁⁽a₂^(D@D@E@D(a_nF 1sont les coéfficients de Irra⁽L.

Démonstration Soit H Ka₁⁽a₂^(E@D@E@D(a_nF 1. Nous avons K H L E Ka^0@

Irra⁽L appartient à H X et est irréductible dans H X car il est irréductible dans LX (H X L X). Il en résulte

Irra⁽H irra⁽L et Ha E La^-@

Ce qui précède implique

E : H^- degIrra⁽H^U degIrra⁽L^{B P} E : L et

L : H^- E : H E : L 1^@ D’où H L.

Théorème Si E Ka est une extension simple, alors l’ensemble des corps in- termédiaires entre K et E est fini.

Démonstration Soitϕl’application de l’ensemble des corps intermédiaires dans celui des facteurs de Irra⁽K qui associe à L le facteur Irra⁽L. Cette application est injective, car si Irra⁽L^V Irra⁽L^WE, alors L et L^W sont tous les deux égaux au corps en- gendré sur K par les coefficients du polynôme Irra⁽L Irra⁽L^WD. On en déduit que l’ensemble des corps intermédiaires est fini car l’ensemble des facteurs de Irra⁽K est fini.

Pour prouver la réciproque, nous distingons deux cas :_

3.1 Cas où K est fini

Théorème Si K est un corps fini et E est une extension finie de K, alors E est une extension simple de K.

Démonstration Si CardK q et E : K^X n, alors CardE qⁿcar le K-espace vectoriel E est isomorphe à Kⁿ. Il en résulte que E est un corps fini. Nous prouverons par la suite que le groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique. On en déduit que si a est un générateur du groupe E^' , alors E Ka.

3.2 Cas où K est infini

Théorème Si l’ensemble des corps intermédiaires entre K et E est fini et si E Ka₁⁽a₂, alors E est une extension simple de K.

Démonstration Considérons l’ensemble des corps intermédiaires de la forme Ka₁^* ta₂ où t K. Cet ensemble est fini. Comme K est infini, il existe deux éléments distincts t et u tels que

Ka₁^* ta₂ Ka₁^* ua₂ L . Nous avons

t u a₂^,a₁^* ta₂^8Ya₁^* ua₂ L

et a₂ L car t u ^" 0. Nous avons aussi a₁^,a₁^* ta₂ ta₂ L. Il en résulte L Ka1^* ta2 Ka1⁽a2 E^@

Théorème Toute extension finie E de K est engendrée sur K par un nombre fini d’éléments c.à.d. elle est de la forme E Ka₁⁽a₂^(D@E@D@D(a_n .

Démonstration Nous allons démontrer ce théorème par récurrence sur le degré p^, E : K. Si p 2 et a E K, alors K ^" Ka^A E et

1^Z= Ka : K^N= E : K⁰ 2^@

Il en résulte Ka : K^-, E : K^- 2 et E Ka. Si le théorème est vrai pour les ex- tensions de degrés^N p 1, il est aussi vrai pour les extensions de degré p. En effet, si a₁ E K, alors E : Ka₁^[:N p 1. Il en résulte que E s’écrit E Ka₁a₂^(D@E@D@D(a_n Ka₁^(D@D@E@D(a_n.

Théorème Si l’ensemble des corps intermédiaires entre K et E est fini, alors E est une extension simple de K.

Démonstration Comme E est une extension finie de K, E est de la forme E Ka₁⁽a₂^(D@D@E@D(a_n^0@

Nous allons prouver le théorème par récurrence sur n. Pour n 2, le théorème est vrai comme nous l’avons démontré ci-haut. Supposons le théorème vrai pour n 1.

L’extension E Ka₁⁽a₂^(D@D@E@D(a_nF 1 est telle que l’ensemble des corps intermédiaires est fini. C’est donc une extension simple Kb de K. Nous obtenons

E Ka₁⁽a₂^(E@D@E@D(a_n Ka₁⁽a₂^(D@E@D@D(a_nF 1⁸a_n Kb⁽a₁^8@

Mais cette extension est simple d’après ce qui a été démontré. Donc E est une exten- sion simple de K.

Théorème Une extension finie E de K est simple si, seulement si, l’ensemble des corps intermédiaires entre K et E est fini.

Exemple ^&\-% 2^(% 3^{]^&\8%} 2^{* %} 3^] .

Définition On appelle élément primitif d’une extension finie E de K, tout élé- ment a de E tel que E Ka.

Exemple i est un élément primitif de l’extension de .^% 2^{* %} 3 est un élément primitif de l’extension^{& \ %} 2^(% 3^] de^& .