Étude théorique et expérimentale des transitions à plusieurs quanta entre les sous-niveaux Zeeman d'un atome

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Étude théorique et expérimentale des transitions à

plusieurs quanta entre les sous-niveaux Zeeman d’un

atome

Jacques-Michel Winter

To cite this version:

Jacques-Michel Winter. Étude théorique et expérimentale des transitions à plusieurs quanta entre les

sous-niveaux Zeeman d’un atome. Physique [physics]. Migration - université en cours d’affectation,

1958. Français. �tel-00006773�

3349

N~ D’ORDRE 1

422

1

THÈSES

PRÉSENTÉES

A

LA

FACULTÉ

DES SCIENCES

DE

L’UNIVERSITÉ

DE

PARIS

POUR OBTENIR

LE GRADE DE DOCTEUR

ÈS

SCIENCES

_PHYSIQUES

PAR

JACQUES-MICHEL

WINTER

1re THÈSE. 2014 ÉTUDE

THÉORIQUE

ET EXPÉRIMENTALE DES TRAN-SITIONS A PLUSIEURS QUANTA ENTRE LES SOUS-NIVEAUX ZEEMAN D’UN ATOME.

~ - PROPOSITIONS DONNÉES _{PAR LA} FACULTÉ. Soutenues le i9 mars i958 devant la Commission d’examen.

MM. F. PERRIN... Président. - A. KASTLER... , J. BROSSEL... Examinateurs. . A. ABRAGAM...

-PARIS

MASSON

ET

ÉDITEURS

LIBRAIRES DE

L’ACADÉMIE

DE

MÉDECINE

BOULEVARD SAINT-GERMAIN

3349

-

No D’ORDRE : 1

422

I

THÈSES

PRESENTÉES

A LA

FACULTÉ

DES

SCIENCES

DE

L’UNIVERSITÉ

DE

PARIS

POUR OBTENIR

LE GRADE DE DOCTEUR

ES

SCIENCES

_PHYSIQUES

PAR

JACQUES-MICHEL

WINTER

1 I’e

_{ÉTUDE THÉORIQUE}

_{ET EXPÉRIMENTALE}

DES TRAN-SITIONS A PLUSIEURS _QUANTA ENTRE LES SOUS-NIVEAUX ZEEMAN D’UN ATOME.

~e

T’HESE.

- PROPOSITIONS DONNÉES

.PAR LA FACULTÉ.

Soutenues le i9 mars t958 devant la Commission d’examen.

F. PERRIN... Président, . A. KASTLER .. : ... J. BROSSEL... } Examinateurs. A. ABRAGAM...

PARIS

ET

LIBRAIRES DE

L’ACADÉMIE

DE MÉDECINE

120, BOULEVARD SAINT-GERMAIN

FACULTÉ

DES

SCIENCES

DE

L’UNIVERSITÉ

DE

PARIS

D oyen ... J. PÉRÈS

PROFESSEURS

G. JULIA ... T Analyse supérieure et - Algèbre supérieure.

FocH ... T Mécanique physique et

expérimentale.

PAUTHENIER ... T Electrotechnique générale

DE BROGLIE ... T Théories physiques. .

PRENANT ... T Anatomie et Histologie

comparées.

GARNIER ... T Géométrie supérieure.

PÉRÈS ... T Mécanique des fluides et

applications.

LAUGIER ... T Physiologie générale. .

M. CURIE ... T Physique (S.P.C.N.). .

BARRABÉ ... T Géologie structurale et

Géologie appliquée.

G. DARMOts ... T Calcul des probabilités et

Physique mathématique. .

. J. BouRCART ... T Géographie physique et

Géologie dynamique.

PLANTEFOL ... T Botanique.

GRASSE ... T Évolution des êtres

orga-nisés.

PRÉVOST ... T Chimie organique.

BOULIGAND ... T Application de l’analyse

à la Géométrie CHAUDRON ... T Chimie appliquée. ..

WYART ... T Minéralogie.

TEISSIER ... T Zoologie.

MANGENOT ... T Biologie végétale.

P. AUGER ... T Physique quantique et

Relativité.

MONNIER ... T Physiologie des fonctions.

PIVETEAU ... T Paléontologie.

ROCARD ... T Physique (E.N.S.). .

Il. CARTAN ... T Mathématiques (E.N.S.).

LAFFITTE ... T Chimie générale.

FAVARD ... T Mécanique générale.

COULOMB ... , T Physique du Globe.

CousiN ... T Biol. animale (S.P.C.N.). .

CHRÉTIEN ... T Chimie minérale.

P. DRACB ... T Zoologie. .

KASTLER ... , T Physique.

EPHRUSSI ... T Génétique.

WURMSER ... T Biol. physico-chimique.

T Géologie (S.P.C.N.). .

GAUTHERET ... T Biologie végétale (P.C.B.) ... T Recherches physiques.

A. THOMAS ... T Biologie cellulaire.

ÂRNULF ... T Optique appliquée. .

lf. MORAND ... T Enseignement de Phys.

SOLEILLET ... T Physique. .

FORTIER ... T Mécanique expérimentale

des fluides. , ... T Astronomie.

LAPORTE ... T Physique générale et

Radioactivité.

JANET ... T Mécanique analytique et

Mécanique céleste. PETIT ... T Biologie maritime.

QUENEY ... T Météorologie et

dynami-que atmosphérique.

GALLIEN ... T Embryologie.

EICHHORN ... T Biologie végétale (P.C.B.)

DE CUGNAC ... Biologie végétale (P.C.B.)

CAUCHOIS .... T Chimie physique.

TnELLIER ... T Physique du Globe. .

L’HÉRITIER ... T Génétique.

GRIVET ... T Radioélectricité.

PONCIN ... T Mécanique des fluides.

DUBREIL ... T Arithmétique et théorie

des nombres.

QUELET ... T Chimie organique.

CAGNIARD ... T Géophysique appliquée.

CHAMPETIER ... T Chimie

macromolécu-- _laire.

CUVILLIER ... T Géologie structurale et

Géologie appliquée.

JuNG ... T Pétrographie.

TRILLAT ... T Microscopie et

diffrac-tion électronique.

WIEMANN ... T Chimie organique et

structurale.

JACQUINOT ... T Spectroscopie et

Physi-que céleste.

VASSY ... T Physique de l’a t m

o-sphère.

DESTOUCHES ... Théories physiques.

M. PnuvosT ... T Géologie.

AMIEL ... T Chimie générale (P.C.B.)

HOCART ... T Minéralogie.

J.-P. MATHIEU .... T Physique (P.C.B.).

CouTEAUx ... T Biologie animale (P.C.B.)

MAY ... T Biologie animale (P.C.B.)

CHOQUET ... T Calcul diff. et intégral.

FELDMANN ... T Biologie (P.C.B.).

GuiNiER ... T Physique gêner. (P.C.B.)

JosT ... T Physiologie comparée.

FORTET ... T Calcul des probabilités.

SCHWARTZ ... T Méthodes mathématiques

de la Physique.

CHOUARD ... T Physiologie végétale.

MALAVARD ... T Aviation.

BRELor ... T Calcul différentiel.

NORMANT ... T Chimie organ. (P.C.B.).

BÉNARD ... T Chimie (P.C.B.).

BUVAT ... T Botanique (E.N.S.).

DucuÉ ... T Statistiques

mathémati-ques.

GELOSO ... T Chimie (S.P.C.N.) .

SOULAIRAC ... T Psychophysiologie.

ULRICH ... T Physiologie végétale.

MARÉCHAL ... T Optique théorique et

appliquée.

KïRRMANN ... T Théories chimiques.

CHADEFAUD ... Botanique.

DESTRIAU ... T Physique (M.P.C.).

LE BRETON .. T Physiologie générale.

~ (suite).

LELONG ... T Mathématiques générales.

DEVILLERS ... Anatomie et Histologie

comparées.

EHRESMANN ... T Topologie algébrique.

FRANÇON ... Physique (S.P.C.N.). .

GLANGEAUD ... T Géographie physique et t

Géologie dynamique.

GODEMENT ... T Mathématiques (M.P.C.). .

PISOT ... T Calcul des probabilités.

E. . RocH ... T Géologie.

SCHATZMANN ... Astrophysique. .

TERMIER ... T Paléontologie

stratigra-phique. ,

ZAMANSKY ... T Mathématiques générales.

JoLiOT ... T Physique nucléaire et

Radioactivité. LENNUIER ... _{Physique (P.C.B.).}

RIZET ... Génétique.

TONNELAT .... Théories _physiques.

DAMIER ... _{Mathématiques (3f.P .C.) .}

SoucHAY ... Chimie générale (P.C.B.).

AIGRAIN ... , Physique (P.C.B.).

BRUSSE’r ... Chimie minérale _(P.C.B.). .

NI. LÉVY ... , Physique théorique.

LENORMANT ... Physiologie.

Mme CHAIX ... Chimie _biologique.

HUREL-PY ... _{Biologie végétale (P.C.B.).}

PIAUX ... Chimie (P.C.B.). .

BRUN ... Mécanique expérimentale

des fluides.

LEDERER ... T Chimie biologique.

DuBREiL ... T Mathématiques (E.N.S.;

LE LONG ... T Mathématiques (E.N.S.)

Co.rTE ... T Physique (~I.P.C.).

J.-E. Dusois ... T Chimie (S.P.C.N.).

LAMOTTE ... Zoologie (E.N.S.).

Dhc$Et, ... T Chimie (S.P.C.N.).

OLMER ... T Énergétique générale.

ROUAULT ... T Physique (Enseignem.).

GAUTHIER ... T Mécanique appliquée.

BARCHEWITZ ... Chimie physique.

BROSSEL ... Physique atomique.

BUsER ... Biologie animale (P.C.B.)

CaMUS ... Biologie végétale (P.C.B.)

CASTAING ... Physique générale.

CURIEN ... Minéralogie et cristallog.

MOYSE ... Physiologie végétale.

NOIROT ... Éyolution des êtres

orga-nisés. PAPETIER ... Chimie (P.C.B.).

PossoMrÈS ... Biologie animale (P.C.B.).

PULLMANN ... Chimie théorique.

TEILLAC ... Physique nucléaire et . Radioactivité.

TONNELAT ... Biologie phys.-chimique.

ViLLE ... conométrie.

WILLEMART ... Chimie _(P.C.B.).

BELLAIR ... T Géologie (S.P.C.N.).

Physique

male

_supérieure

au cours des années i

957.

Je remercie vivement A. Kastler et J. Brossel

_qui

ont constam-ment

_dirigé

mes recherches et m’ont

_prodigué

avec bienveillance de

nombreux conseils.

Je remercie tous les chercheurs et techniciens du Laboratoire

_qui

m’ont assuré d’excellentes conditions de

travail,

et

_{plus spécialement}

l~. J.-P. Barrât avec

_{qui j’ai}

eu de très utiles discussions.

Je remercie M. Y.

Rocard,

Directeur du

Laboratoire,

de sa

_généreuse

hospitalité

et la Direction du Centre national de la Recherche

ÉTUDE

_THÉORIQUE

ET

EXPÉRIMENTALE

DES

TRANSITIONS

A

PLUSIEURS

_QUANTA

ENTRE LES SOUS-NIVEAUX ZEEMAN

D’UN ATOME (1)

(2)

par JACQUES-MICHEL WINTER

CHAPITRE PREMIER

Introduction

_générale.

Depuis

un certain nombre

_d’années,

la

_{spectroscopie}

des

radiofré-quences a

_pris

un

_{grand développement,}

en

_particulier

en ce

_qui

concerne

les résonances

_magnétiques

dans l’état fondamental des atomes. Ces résonances sont en

général

des transitions

dipolaires magnétiques.

Elles

obéissent aux

_règles

de sélection 1J = + 1,0, ~m =± ~,o, J étant le moment

_angulaire

total de l’atome et m la

_projection

de ce moment sur le

_champ

_{magnétique statique.}

Des

_{expériences plus}

récentes ont

mon-tré que l’on

peut

observer des résonances n’obéissant pas à la

_règle

de

sélection 0394m =±I,0

(1)

( 1 j ) (25 ) (29) (3’) (37).

Il nous a _{paru intéressant de faire} une étude

_théorique

et

expérimen-tale du

_problème

de Il forme des raies de

_résonance,

_que ce soit les

résonances habituelles ~m = ~ , ou les résonances «

multiples »

1. . Le

_premier

_{travail que} nous nous

_proposions

était de

_reprendre

l’étude

théorique

de l’influence d’une

_perturbation

oscillante sur les

sous-niveaux d’un état

_atomique.

L’existence de résonances

_multiples

nous

montre _{que l’on} ne

_paut

se bJrner à un calcul de

_perturbation

à l’ordre le

_plus

bas si l’on veut calculer les

_{probabilités}

de transition. Nous

avons

déjà

traité ce

problème

dans le cas où le

_système

_comportait

trois

(1)

Thèse _présentée à la Faculté des Sciences de l’Université de Paris pour obtenir le

grade

de Docteur ès Sciences

_physiques,

et soutenue le

19 mars

₁₉₅₈

devant la Commission d’examen.

(2j

Le texte

_intégral

de cette thèse fait

_l’objet

du microfilm n° ₃₈₈₀₉ au

Centre de DocuInentation du C. N. R. S.,

quai

Anatole-France, Paris-7e.

niveaux

_{(7) (9).}

Un traitement

_{plus général}

a été donné _{par H.}

Sal-(4I)

(On peut

également

citer le travail de Hat’k

_(24)).

Nous avons

repris

la théorie en

_{envisageant :}

10 )e cas où le

_champ

oscillant est un

_champ

_{tournant ;}

2° le cas

_{général ;}

_§

~~ le cas ou il y a deux

_champs

de

_Fréquences

différentes ;

L’étude

_{plus approfondie}

de cette

_question

nous a

_permis

de

_prévoir

l’existence de résonances

_multiples

_pouvant

exister _pour un

_système

atomique n’ayant

que deux niveaux -

_{1 )}

.

plusieurs

photons

de

radiofréquence

peuvent

être absorbés simultanément à condition de

respecter

la loi de conservation de

_l’énergie

et celle de conservation du

moment

_angulaire,

Pour observer une

_résonance,

il est _presque

_toujours

nécessaire de

produire

une

_dissymétrie

de

_population.

Nous avons utilisé la méthode

du pompage

optique

(3) ( ~ G}

appliquée

à l’atome de sodium,

Nous avons fait nos

expériences

sur une _vapeur saturante en

pré-sence d’un _gaz

_étranger

₍₄₎

_{(6) (8)}

_(i~)

₍₂₀₎

₍₂₂₎

_{(27) (Dans}

ces

méthc-des,

la concentration des atomes est très

faible,

ceci nous

_permet

de

négliger

leurs interactions

_mutuelles).

Nous serons amenés à étudier le

_temps

_{moyen T}

_pendant

_lequel

l’atome est soumis au

_champ

de

_{radiofréquence,}

ainsi que la

_répartition

des

_temps

T. Plus T est

_long,

_plus

les raies seront fines comme il résulte

de la

_quatrième

relation d’incertitude

_{d’Heisenberg.}

Notons

_également

que

plus

T est

_long,

_plus

il sera commode d’observer des transitions d’ordre élevé. Nous montrerons _{que la valeur maximum de} la

probabi-lité de transition

_peut

s’écrire :

est un terme assurant le

_couplage

_entre

les niveaux résonnants

(ce

couplage

peut

se faire

directement,

ou bien par l’intermédiaire d’un ou

plusieurs

niveaux

virtuels).

Kab

est d’autant

_{plus petit}

_{que la}

réso-nance est d’ordre

_plus

élevé. Pour avoir un P

_observable,

il faut donc

avoir un

_grand

T.

Il nous restera ensuite à vérifier

_{expérimentalement}

les calculs

pré-cédents.

Ce programme de travail fixe le

_plan

du mémoire :

i ~ Etude de l’interaction entre le

_champ

de

_{radiofréquence}

et l’atome. 20 Calcul des formes de raies.

30

_Montage

_{expérimental.}

L~.°

Résultats des mesures.

CHAPITRE II

Probabilités de transition entre les sous-niveaux d’un atome

soumis à un

_champ

oscillant.

Introduction.

Depuis

les

_expériences

de Rabi et de ses

collaborateurs,

de nombreux

physiciens

ont abordé ce

problème.

En

général,

ils se sont bornés à

envisager

l’action d’un

_champ

tournant. Rabi a étudié ce

_problème

dans le cas

particulier

d’un

_système

possédant

un moment

angu-laire J

_{= 1}

_(38).

Les calculs

_peuvent

s’étendre au cas d’un

_spin

J

quel-conque, en utilisant les formules démontrées par

Majorana (11) (34).

Ce

_problème

a été

_{repris plus}

récemment à l’occasion de la découverte

de résonances d’ordre

_supérieur

_{( ~ ~ ( ~) (9)}

_{(i4) (29)}

_(3a)

_{(37) (4i) (24).}

Signalons

que Bloch et

_{Sieg ert}

ont étudié le

_problème

_pour un

_champ

linéaire

_(12).

’

Action d’un champ tournant.

,

I ° SYSTÈME CONSTITUE PAR UN MOMENT ANGULAIRE RIGIDE J PLACÉ DANS

UN CHAMP _STATIQUE

_H~

_(SUR

Le hamiltonien s’écrit : _

Ce

_qui

donne les niveaux

_{d’énergie équidistants :}

Nous

_ajouterons

à

_Ho

un

_champ

tournant à la vitesse

_angulaire

perpendiculaire

à Oz et

_{d’amplitude}

_Hl.

Le hamiltonien devient :

expression

dans

_{laquelle :}

Nous écrirons _par convention ~===: ~ dans tous les calculs

_présentés

dans ce mémoire.

L’équation (2 . 3)

devient :

Soit

_W(t)

la fonction d’onde du

_système

et

_Çm

la fonction d’onde

sta-tionnaire

_{correspondant}

à

_l’énergie

_Em.

Nous avons :

L’équation

de Schrö

_linger

s’écrit :

Etudions le cas J

== - .

3

Nous voulons calculer la

_probabilité

de transition entité les deux

. i , ~

niveaux m=== 2014 - et m =-.

a a

Prenons comme conditions initiales _pour ~==:o :

On en déduit : .

Si J

_{> I 2,}

la formulede

_Majorana

_permet

de calculer

_{(n) P(J,}

_mJm’J,

_t)

en fonction de

P (I 2 ,

2014 I 2 , I 2 ;

t)

.

P(J,

mJm’J,

t)

désigne

la

probabilité

de transition au

_{temps t}

entre les sous-niveaux mJ et d’un moment

-2° SYSTÈME CONSTITUÉ PAR DEUX MOMENTS ANGULAIRES 1 ET J COUPLÉS.

-a)

Généralités.

_{- Diagonalisons}

le hamiltonien en l’absence du

_champ

tournant :

Posons :

-Lorsque

Ho

est

_nul,

_F

_|2

et

_Fz

définissent de bons nombres

quanti-ques. Le

système

comporte

un certain nombre de niveau; ’ définis

_{par F}

( 2F

+ i fois

_{dégénérés) .}

Si

_Ho

est

_faible,

la

_{dégénérescence}

des niveau; F’ est levée. A

l’inté-rieur de

_{chaque multiplicité}

_F,

un

_peut

écrire :

Le hamiltonien dû au

_champ

oscillant vaut :

2014~

Or dans une

_conjuration

_possédant

un moment

_angulaire

_rigide

F,

~ 2014~

tout vecteur est

_{proportionnel}

à F.

(2. II)

peut

alors S’écfire 1

b étant une constante

_(à

condition de ne considérer _{que les}

transi-tions AF ===

o).

Le

_problème

se ramène au

problème

précédent.

Si dans Jeo les deux

_premiers

termes ne sont

_{plus négligeables}

devant

le

troisième,

il y a

_découplage

_partiel

entre 1 et

_{J ;}

F n’est

_plus

un bon

nombre

_quantique

demeure un bon nombre

quantique.

On

_peut

continuer à

_désigner

_{les niveaux par}

(F,

par continuité

(nous

supprimerons

l’indice F à

_mF).

La

_{diagonalisation}

de nous conduit à un certain nombre de

niveaux

_d’énergie

_m)

_{(~ -}

_{i ).}

Posons étant la _{fonction propre de æ0 pour}

-

’ ’ ’

la valeur propre

Les obéissent à

_{l’équation}

d’évulution :

posons :

Ceci est

_équivalent

à la transformation

_{canonique :}

qui

revient à _passer dans un nouveau

_système

d’axes

_Oxyz

tournant

autour de Oz à la vitesse

_angulaire

w.

Dans ce

_système

_d’axes,

l’atome est soumis à l’action d’une

pertur-bation

_statique

_(3g).

Le

_système

_{(2 . i 3)}

devient :

Si l’on

_appelle

_~ei

le hamiltonien

_statique

_{obtenu par la} transforma-tion

_(2.16)

à

_partir

de

_(2.16)

_peut

s’écrire :

On

_peut,

_{pour résoudre} ce

_système,

chercher les valeurs

propres

du

hamiltonien

_statique

~~’.

En utilisant cette

méthode,

nous avons fait le calcul

₍₇₎

_pour un

système

à trois

niveaux;

les résultats

_{s’expriment}

à l’aide des

fonctions

symétriques

des racines de

_{l’équation}

séculaire. Les calculs montrent

qu’en plus

des résonances 0394m i , il

_apparaît

un maximum dans les

probabilités

de transition _{pour :}

ce

qui correspond

à une transition :

:~m _-_ 2.

que les

largeurs

des résonances ~m = 1 varient

proportionnellement

à

_lit.

Le calcul

_précédent

est difficilement

_{généralisable.}

Revenons aux

équations

(2. ~~).

Si nous _{supposons que les} termes non

_diagonaux

de 3e’

_(ils

_proviennent

de sont

_petits

devant les différences entre les

termes

_diagonaux,

les

_{quantités )}

2

varient _peu au cours du

temps.

Comme

,2 =

j2

les

_populations

des niveaux

_atomiques

subissent _{peu de} modifications.

’

Il

_peut

_{arriver que deux éléments}

_diagonaux

de d~‘ soient voisins.

D’importantes

modifications dans les

_populations

de ces deux niveaux

apparaissent

alors,

nous disons

_qu’il

_y a résonance. Nous trouverons

donc la

_position

des résonances en

_égalant

deux éléments

diagonaux

.

‘

(2.10)

)

-

m03C9 - - .

Nous allons montrer _{que la}

_{diagonalisation}

de æ’

_peut

se

rame-ner à la

_{diagonalisation}

d’une matrice 2.2.

b)

Réduction de la matrice - Les éléments

diagonaux

de sont des fonctions de w. Pour une certaine valeur de w, w,. deux termes

_diagonaux

de d~‘ sont

_égaux.

_{Nous supposerons}

_qu’il

_y a

seule-ment deux termes

_qui

deviennent

_{égaux (Ceci}

serait faux si les niveaux

étaient

_{équidistants).}

Nous étudierons le

_système

au

voisinage

du

point

de croisement des

niveaux et

Le

_problème

_que nous cherchons à

résoudre est

_{classique ;}

nous cherchons à

lever la

_{dégénérescence}

des niveaux

F,

m et

F’,

ni’,

la

_perturbation

ne levant pas la

dégénérescence

au 1er ordre

₍₄₂₎

(43).

Nous _poserons deux

_{hypothèses :}

Hypothèse

A. - Les termes de

_W

sont

_petits

devant les distances :

F"m" étant un niveau

_quelconque.

Hypothèse

B. nous bornerons à faire les calculs dans un

intervalle de w _{tel que :}

La méthode

_employée

est

_inspirée

de celle

_employée

_par Heitler

(Quantum Theory of

Radiations,

p.

I45-I46

{21i).

Nous allons effectuer une transformation

_canonique

S.

~~’ devient :

Je’,

S et Ii sont

_{indépendants}

du

_temps.

S sera défini en

_exigeant

_que les seuls éléments non

_diagonaux

_de K

soient ceux reliant

F,

m et

F’,

nt’.

Pour

_simplifier

la

_notation,

_désignons

_par

_ety

les états

résonants.

La définition de K ne détermine _pas

_{complètement}

S.

Nous supposerons que S est unitaire :

-Nous admettrons _{que Fou}

_peut

_développer

K et S en

_puissance

de

_{yHl :}

En écrivant t comme terme d’ordre o _pour

S,

nous _{supposons que} ce sont les

_populations

des états i

_qui

ont un sens

_physique

_(et

non

les

_populations

d’une combinaison linéaire de ces

_états).

S demeure encore indéterminé et nous _{pouvons poser} en outre :

Nous allons maintenant résoudre le

_problème

sans

_expliciter

K et S. Prenons comme condition initiale :

Nous cherchons

_bj(t).

W(/)

peut

se

développer

en fonction _propre de

posons : s

On en déduit :

Les conditions initiales sur les

_bp

deviennent :

On

obtient

la solution :

Nous

_négligerons

dans S les termes du 2e ordre.

Ceci est

_légitime

car ces termes sont

_petits

et _{varient peu} autour

de wr.

Physiquement,

ils

proviennent

de l’influence sur la résonance

_{i, j}

de l’aile des autres résonances. On obtient alors :

Formule semblable à

₍₂

_g).

Cette

_probabilité

de transition

_dépend

des deux

_quantités

_K«-K~~

et

_K;j.

La

_première

est

_l’analogue

de

_(w

- dans

(2 . 9) .

Nous la

cal-culerons en

général jusqu’au

2e ordre. Si nous choisissons c~ en sorte

que ---

Kl;

(2 .

28)

devient :

aussi

_petit

_{que soit} en

_{prenant 1}

assez

_grand.

P

_peut

être de l’ordre de l’unité.

Il est _{nécessaire de pousser} le calcul de

_K;j

à un ordre suffisant pour

que ce terme existe.

Ce terme détermine l’intensité et la

_largeur

de la raie de résonance. Montrons maintenant comment on calcule les éléments de la

matrice K :

(2 . ~o)

s’écrit :

en

_prenant

les termes

_{indépendants de ; Hi}

on obtient : .

En noa.s

_appuyant

sur le~ définitions de K et de S on obtient :

:-Si

est déterminé en écrivant :

A l’ordre suivant : .

le deuxième terme est

_toujours

nul

_d’après

la définition de K

_(désormais

nous noterons _{par ~’ les sommations} excluant les états

_{résonants) :}

et une formule

analogue

_pour

~. j j

1 K2 1 j

>.

La formule

_(2.35)

ressemble à la formule

_classique

des

perturba-tions du second

ordre,

notons _{toutefois que le} terme _p

_{= j}

est exclu de

la somme.

Calculons

_{~ i ~ K~ ~ j}

> en utilisant

(2.34),

on obtient :

82

est _{déterminé par les}

_équations

_(2.21)

et

_(2.34).

Ensuite on

_peut

calculer

_Kg,

ce calcul n’a vraiment d’intérêt que si

"~’ !

K, ~ ~ j ~ _-__

o. On obtient alors :

Ce dernier

_point

résulte des

_propriétés

de n’a d’éléments de matrice

_qu’entre

_{des états pour}

_lesquels

~m _-_. ± ~ . Il faut donc un

nombre

_pair

de termes de la forme

_{C ~ ~}

_{( y ~}

_{pour relier} i à i et

produire

un om total nul. On peut affirmer que :

Nous savons _que ces termes sont à

_l’origine

des

_{déplacements}

des

de

_H~,

sinon le

_déplacement

_dépendrait

du

_si~ne

de

Hi

ce

_qui

_est,

phy-siquement,

impossible.

Par

_{approximations}

successives,

on

_peut

calculer

complète-ment K.

Étudions

le terme

_Kii

-

Calculé à l’ordre o

_{(2 . 34a (i}

-~-

_F,

-

_F’,

_ni’),

_{il vaut :}

Ceci nous donne la

_position

de la résonance à l’ordre o.

Il est souvent nécessaire de calculer ce terme à suivant :

et une formule

analogue

_pour

Nous _{poserons :}

Ces termes sont

_{généralement}

_{faibles ;}

ils ont été observés sur une

raie 0394m = 1 _pour a =

i4 MHz;

ils sont à la limite

des

erreurs

rimentales. Blamont a observé un

_déplacement

de ce

_type

sur le niveau

excité 6

3Pi

du

mercure

_(2).

Calculons maintenant

Montrons

_qu’il

est _{nécessaire de pousser} le calcul

_jusqu’à

l’ordre

|

m __ ,n,

I l

.

’

Les formules du

_type

_{( 2 . 3~~}

montrent _que est un

_produit

de

ter-mes de la forme

_{/) )}

_{> ;} le

_premier

terme

_part

du niveau z==:

et le dernier arrive au

niveau j =

_F’,

m’. Posons : m’ = m _{+ ~.}

n’a d’éléments de matrice

_qu’entre

_{des états pour}

_lesquels

~m

=+_

t .

Il y a donc au

_{moins p}

termes dans

_Kij

_{pour passer de} F, m à

F’,

~r2 _{.-~- j~.}

Physiquement

ceci veut _{dire que pour}

_augmenter

ni

_{de p}

unités nous

devons utiliser p

photons

de

_{radio-fréquence,}

chacun

_{augmentant m}

d’une unité.

On ob ient donc finalement :

La formule

_{(2 .}

~. ~ )

nous

montre

_que les transitions avec o seront

heaucoup

moins intenses que les transitions En effet _pour une

transition o,

_{il y}

a dans

_{(2 . ~ ~ )}

un terme où l’on a choisi tous les états intermédiaires dans les sous-niveaux avant le même F. Les déno-minateurs sont alors de l’ordre de

_grandeur

de

_(mi

-

03C92),

03C91 et 03C92 étant la

_position

de deux résonances A/7? == 1 . AF ~=1 o.

Ce terme est de l’ordre de

Si au moins un des termes

_{c~ >}

relie des états de F différents.

_{(2.4I) est}

alors de l’ordre de

(03B3H)p (0394W)p-1, 0394W

étant de l’ordre de

_grandeur

de la structu re

_hyperfine.

Dans toutes nos

_{expériences,}

le

_découplage

est faible wo -~ 3W et

l’intensité des raies o est

_plus

faible. Cette _remarque ne

s’applique

pas aux résonances

simples

o ;

Ki)

est de l’ordre de

_rHt.

Nous n’avons observé _{que les résonances 1F} =o.

Nous dirons

_qu’une

résonance est _{d’ordre p si} le

_premier

terme non

nul de

_}(ij

est

_{d’ordre p.}

Une résonance 0394m

_{=p est}

_{d’ordre p}

en

_champ

tournant.

c)

Cas d’un

_{découplage faible.}

-- Nous

supposerons que les

dis-tances entre les sous-niveaux d’un même état F sont très

_petites

devant les distances entre des niveaux do F différents. Nous étudierons les

résonances 1F = o. Nous

_négligerons

dans les formules

_{(2 . 41 )}

et

_{(2 . 3 5)}

tous les termes dont les dénominateurs sont de la furme

_-EF,

F’ "* F.

Dans ces

_conditions,

il est

_possible

d’étudier

_{séparément chaque}

état F. Dans ce _cas, les formules

_(2.35)

et

_(2.41)

se

_transposent

dans

les formules

_{ci-après :}

’

(2 . 35)

devient :

équation qui

détermine la

_position

des résonances. Enfin

₍₂

_{41 )}

devient :

En

_{résumé, moyennant}

des

_hypothèses

_que nous allons à nouveau

préciser,

nous avons ramené le

_problème

à un

_problème

à deux

niveaux,

déterminé _{par la connaissance} de

_Iij

et

Précisons les

_{hypothèses :}

.

Hypothèse

:

Or :

Les deux termes sont deux

_fréquences

de résonances _Wi et _w2

(équa-tion

_{(2. ] g)).}

La condition A se ramène donc à : t

Physiquement

cela revient à _{dire que les résonances} = i doivent

être bien

_séparées

en

effet,

est une mesure de

_{l’élargissement}

des

résonances

_simp’es).

La condition de

_découplage

faible

_(que

nous

_désignerons

_par

condi-tion

_{C )}

s’écrit :

La condition B devient :

ce

_qu’on

_peut

encore écrire :

c~, étant la

_fréquence

de la résonance étudiée et W2 1a

fréquence

d’une

autre résonance.

Enfin,

demandons-nous dans

_quel

cas oa

_peut

_{supposer le}

décou-plage complètement

nul et

_appliquer

les formates de

_Majorana.

Pour

_cela,

il _{faut que la}

_{perturbation mélange}

tous les niveaux ni à la

fois,

il faut donc que cette

_perturbation

soit

_grande

devant les distances

entre les résonances :

d)

Application

au cas du sodium. - Nous

avons I

= 3 2 ,

_J

= I 2

ce

_qui

nous donne deux niveaux F = _2, F - 1.

On

_prend

le

_signe

+ pour les sous-niveaux F = 2 et le

_signe

_{- pour} les sous-niveaux F = 1 :

WV est l’écart

_d’énergie

entre les niveaux F = 2 et F == i en

_champ

nul.

Dans le cas du

découplage

faible x ~ t, nous allons

_développer

_{~2 . 50)}

jusqu’au

terme en x2.

Posons :

Calculons la

_position

des résonances :

Résona nces : 0394m - 2 :

Résonances : A/// == 3 :

Résonances : ~n~

_{= 4 :}

Comme nous traitons

séparément

les cas F = 2

et

F =

i , nous

incor-porerons

x dans la valeur de wo, en nous souvenant

_qu’il

faut

_ajouter

x

à wQ pour F = 2 et le retrancher _{pour F} = i.

Nous allons déterminer les corrections à la

_position

des résonances et

leur intensité. Calculons n~.,

F

(

ni r, F >

(nous

supprime-rons l’indice

_{F) :}

Si le

_découplage

est nul :

Le

_découplage

n’étant

_plus

nul,

on doit

_ajouter

des termes correctifs

à cette formule. Le calcul montre _que ces termes sont de l’ordre de x2. Comme nous considérons

_ae’l

comme une

_{perturbation,}

nous

n’effec-tuerons _pas cette correction.

Pour calculer a on

_regarde

ce _{que devient la relation}

(2.58)

_pour un

niveau

_particulier

et _pour une

_composante

des vecteurs.

On obtient _{pour les niveaux}

_{F = ~, a - 4 ;}

_{pour les niveaux F =} 1 ,

On _{obtient pour les} termes non

_diagonaux

de :

Nous allons calculer les valeurs de

Kii 2014 Kjj

au deuxième ordre

en

_yHi

et à l’ordre le

_plus

bas

_possib!e.

Par

_exemple,

_{pour la} raie 2 ---~ 1 , 3e :

’

En

_employant

les formules

_{~~ _ 43).}

Nous _{pouvons dresser} le tableau des

_positions

des raies

_simples

et des

termes non

_diagonaux

de K :

Positions F == 1

Nous avons limité le calcul des éléments non

_diagonaux

à l’ordre i

(l’ordre

suivant est l’ordre

_3).

Passons maintenant aux raies

_multiples,

nous

_appliquerons

les

for-mules

_{(2. 43)}

_{( a}

_./t4)~

.

Il est

_remarquable

_que nous ne trouvions _pas de

_déplacement

_pour

les raies

_multiples

_(au

deuxième ordre en et en

négligeant

les

Nous obtenons le tableau :

A l’aide de ce tableau et de la formule

_{(2 . . l~z ~,}

on

_peut

calculer toutes les

_{probabilités}

de transition.

Notons enfin _{que les} conditions

_(2.46)

et

_(2.49)

_deviennent

respec-tivement :

-Action d’un champ de _{polarisation quelconque.}

1° INTRODUCTION

_{(44) (45).}

- Ce

problème

a été relativement _peu

étudié. Bloch et

_Siegert

₍₁₂₎

ont montré

_{qu’un champ}

linéaire

_déplace

très

_légèrement

la

_fréquence

de résonance. Autler et Townes ont démon-tré et

_complété

la formule de Bloch et

_Siegert

_(2).

N. F.

_Ramsey

a

envisagé

l’action de deux

_champs

de

_fréquences

différentes

_(40).

Aucun de ces auteurs n’a mis clairement en évidence

l’apparition

d’un nouveau

_type

de résonances

_{multiples qui}

_{apparaissent quand}

le

champ

Hi

de

_{radiofréquence}

_{n’est pas} un

champ

tournant.

_Signalons

toutefois que

Hugues

et Grabner ont observé _{des résonances pour}

2c~ ~

En

- Em

et _pour c~ ₊ c~‘-

_(w,

c~‘

Fréquence

de deux

champs

électriques

oscillants)

en étudiant des transitions

_dipolaires

électri-ques

(23) (30).

2° SPIN RIGIDE

J = 2 I o.

_a)

’ Hamiltonien du

système.

- Le

champ

Hi peut

toujours

s’écrire

_après

un choix convenable des axes

_~,~

Nous en déduisons :

-ce

_qui

_peut

aussi

s’écrire :

Nous résoudrons le

_problème.

pour J

==- .

..

Nous _{poserons :}

et nous obtenons :

en

_{posant :}

K+

et K- sont

_{proportionnels}

aux

_amplitudes

des

_champs

tournants

droits et

_gauches.

b)

Le

_champ

est

_{perpendiculaire}

à

_Oz.

Pour résoudre

_{~.~3)

nous allons

_remplacer

_ai

et

_{a_!}

_par un

dévelop-pement :

: .

façon qu’un

_a~

ne soit

couplé

à un _{que par} un seul terme

exponentiel.

La solution de ce nouveau

_système

devra être telle _{que si} l’on affecte les sommations sur _{n ,} on trouve des

_quantités

satisfaisant à

_{(2 .’J3) :}

On

_peut

maintenant éliminer les

_{exponentielles}

en

_{posant :}

On obtient :

Ce

_système

est maintenant semblable à

_{(a . i ~).}

,

(2.77)

est

_{l’équation}

d’évolution relative à l’atome et au

_champ

de

radiofréquence.

Les termes

_{diagonaux ~~ô}

donnent les

_énergies

des deux

_systèmes,

les termes non

_diagonaux

décrivent leurs

interac-tions. L’indice n définit le nombre de

_photons

_{absorbés par le}

_système

total à

_partir

de l’état n - o. Le

_système

_(a

₇₇₎

_peut

être obtenu en

quantifiant

le

_champ

de

_{radiofréquence.}

Dans le

_{chapitre précédent,}

il

_n’y

avait

_qu’un

seul

_type

de

_photons

(que

nous _pouvons

_{appeler ?+).}

A

_{chaque photon}

absorbé,

le

_système

atomique

subissait une transition 0394m == i. L’ensemble des niveaux était entièrement déterminé _par ni.

Ici

_{il y}

a deux

_types

de

_photons

_(~+

et

_{~_) :}

:

les uns induisent les transitions :

-absorption

d’un

_photon

(

0394m=+

I

émission { 0394m

= 0394m=+ I

0394n=-I les autres K_ induisent :

émission {

0394m=+ I

absorption

(

0394m=-1

0394n=-I

§

absorption

(

A/z== i

même colonne les éléments de même n et sur une même

_ligne

ceux de

même ni..

Les termes

_K+

donnent des flèches montant de

_gauche

à

_droite,

les

termes K- des flèches de droite à

_gauche.

Sans

_résoudre,

nous _pouvons

_prévoir

la

_position

des

_résonances,

en

Fig.

2.

utilisant le _{raisonnement que} nous avons fait dans le cas d’un

_champ

tournant. Il _y a résonance

quand

deux termes

_diagonaux

de ;Je’

devien-nent

_{égaux :}

En

_plus

de la résonance m = _mo il

_apparaît

un

_spectre

de résonances

pour les

harmoniques impairs

de w.

Nous pouvons

comprendre

l’existence de ces résonances en nous

basant sur les lois de conservation de

_l’énergie

et de la

_composante

sui-vant

Oz

du moment

_angulaire

total du

_système.

Par

_exemple

dans la transition Qjo un

.premier photon

K+

amène une

_énergie

valant w et

_augmente

ni d’une

_{unité ;}

un

_photon

K- amène

F’g.

3.

Fig.

4.

la même

_énergie

mais diminue d’une unité ni. On réalise le bilan en

faisant intervenir un deuxième

_photon

_K+.

c)

Solution de

₍₂

_77).

Nous utiliserons une méthode semblable à

Il y a ici une différence entre les

_systèmes

(Z . ~~)

et

(2 . t ~).

Quand

deux éléments

_diagonaux

de ~e‘

_{(2 77)}

deviennent

_égaux,

tous les

autres éléments

_diagonaux

le sont deux à deux.

Par

_exemple

si

Eo

~=

_{Ezp+t (nous}

_pouvons

supprimer

les indices

± 2 ,

la

parité

de n

_distingue

les deux

_{états) :}

On vérifie _{que :}

Seules les variations de n ont un sens

_physique.

Nous allons

effectuer

une transformation

_canonique

S transfor-mante en un hamiltonien K dont les seuls éléments non

_diagonaux

sont ceux

_qui

relient les états

_d’énergie

voisine.

Nous _supposerons, comme nous l’avons fait

_{précédemment :}

Eo

et

_En

_{n’étant pas les états résonnants.}

Ceci est certainement satisfait si on a :

Si on _{pose :}

E)

est satisfait en

_{supposant :}

Nous supposerons enfin que

les éléments

de S liant les états

_d’énergie

voisine sont nuls au

_premier

ordre par

_rapport

à la

_{perturbation.}

K se

_présente

sous la forme :

Etudions la transition :

Nous calculons K comme

_{précédemment :}

d’après

la formule

_(2.33).

Pour les éléments non

_diagonaux,

nous nous limiterons à ce terme.

Calculons la

_partie

_diagonale

de

Ka :

(voir

formule

(2.35)).

La

_position

de la résonance calculée au 2~ ordre sera donc :

Remarque

. -

D’après l’équation (2 . C8)

au

_temps

t = o

_H1

=

Ce choix est

_arbitraire,

certains atomes sont

_plongés

au

_temps

t = o dans un

_champ

_{d’amplitude}

_IIx,

mais d’autres seront

_plongés

dans des

champs

dont

_{l’amplitude}

est intermédiaire entre

Hr

et

_H~.

Il faut faire

une _moyenne sur les

_{probabilités}

de transition obtenues

_compte

tenu de

ces différentes

possibilités.

Nous tiendrons

_co.npte

de cet effet en

_remplaçant

K- _{réel par}

et en effectuant une _moyenne sur toutes les valeurs de o. Ce

déphasage

a deux effets :

i)

Il fait tourner dans le

_plan

_xoy

_l’ellipse

décrite _par le

_champ

(ceci

ne

_change

rien au

_problème).

2)

Il

_change

_{l’amplitude}

du

_champ

au

_temps

t = o.

En effectuant une _moyenne sur les différences valeurs

_{de 9}

nous fai-sons une _moyenne sur les différentes valeurs du

champ

au

_{temps t}

= o. Calcul de la

_probabilité

de transition. . - Nous étudierons la

tran-sition :

Nous pouvons poser :

L’équation

(2 .

24)

se

_transpose

en :

les

_bp

satisfont à

_{l’équation :}

Les conditions initiales concernant les

_~p

sont :

Nous nous limiterons pour S aux termes d’ordre o et 1 _par

_rapport

à

_{H, .}

Dans notre

_exemple,

les seuls termes _que nous _{considérerons}

seront

_Soo

et

_S-i,o

_(rappelons

_que

8Jo

est au moins du 2e ordre

_{(2 . 2/ ~).}

On obtient :

avec :

On trouve

_également

Retournons aux

pais

aux

_a(t),

on obtient :

I3 étant un terme de l’ordre dé

K-

.

Si nous effectuons la m _oyenne sur _{03C6 le} terme :

~i_ . 6

6

ai

coÇ -

sin2

Si nous _{supposons, comme} au

_paragraphe

_précédent,

_{que w, mo}

> t

les

termes en sin 2wt et cos 2wt

_{disparaissent.}

On obtient donc :

Remarque.

Si nous _{supposons que} le

_champ

est linéaire :

Nous trouvons _{que la résonance} a lieu pour :

Cette formule a été calculée _{par Bloch} et

_{Siegert (I2)}

.

L’étude des autres résonances

_s’effectue

de la même

_façon.

On

obtient :

-de même :

Ces termes sont

_{imporlants ;}

ils conduisent â un

_déplacement

de la

fréquence

de

résonance,

analogue

au

déplacement

_{Bloch-Siegert. Quel}

que soit l’ordre de la

raie,

ces termes varient en

_{H; .}

Ils

_peuvent

être

plus grands

que le terme C

_{o ~}

2~~ -1- r _~,

qui

est

_{proportionnel}

â

~’ ~~

_{H . 1}

Nous aurons donc résonance _{pour :}

Calculons maintenant

_{o j li}

_{1 2P}

+ 1 >.

Pour passer de a0 à il faut pousser le calcul

jusqu’à

l’ordre

769

faut

_employer

_{2p -+-} i terme. Comme nous étudions une transition

+ i, la seule

possibilité

est d’utiliser

_(p

+

_ï)

termes

_{K+ :}

et p

termes Ii- :

IL

_n’y

a alors dans

_qu’un

seul terme :

On trouve :

par

exempte

pour ~o == i :

Nous _pouvons maintenant écrire la

_probabilité

de _{transition pour}

n’importe quelle

raie,

en utilisant la formule

₍₂

_.88)

d)

Champ

d’orientation

_quelconque.

-

Reprenons (2.7I).

Nous allons à nouveau

_remplacer

les a par des

_{développements}

mais

la

_présence

des termes en et nous

oblige

à introduire deux

fois

_plus

d’états. Ces termes

_permettent

en effet des transitions avec 3n + i :

On obtient :

On obtient : .

Les termes

_K03C0

induisent les transitions Jn = _± 1 - o. I)ans notre

Fig.

5.

Fig.

6.

représentation

graphique,

ces termes

_{correspondent}

à des flèches hori-zontales

_{(fig. 5).}

Maintenant il y a résonance pour :

Les

_{photons ~}

_n’ayant

aucun effet sur ~y2 on

_peut

en

_ajouter

un

nom-bre

_quelconque.

’

Par

_exemple

la raie c~~ = 2m fait intervenir un

_photon

~~ et un

pho-ton

_6).

La raie 303C9

_peut

maintenant être induite _{par deux}

_{photons 03C0}

et

un

_photon

_c+.

Probabilités de transition -Nous

_opérerons

exactement comme au

paragraphe précédent.

La

_probabilité

de transition i

_{.-~ j}

est détermi-née par

Kit

- et

I~l~.

Les termes

_diagonaux

et déterminent

cal-cule

Ku et

Kjj

au second ordre en

Ht,

les termes en

_K1t

_{disparaissent :}

Ka

désignant

la

_partie

de K

_provenant

des

_photons

a+ et r2014,

déjà

calculés au

_{paragraphe précédent.}

On obtient :

Calcul des éléments non

_diagonaux

_(intensité

des

_{résonances).}

Pour une transition _{p ~} o

_(raie

d’urdre il faut pousser

le

_{ca t cul jusqu’à}

_{l’ordre p} car ~n _{= ~ :} :

La sommation

_porte

sur tous les états intermédiaires.

On trouve _par

_{exemple :}

e)

Spin

J

_supérieur

à

_I/2

I o. -Nous pouvons déduire les

résul-tats de ceux _{obtenus pour J}

= 2

à l’aide de la formule de

_Majorana.

Nous avons vu _{que, dans} ce _cas, dans la

_région

_{wfl N nw, tout} se

passe comme si le

_système

était soumis à un

champ

tournant de fré-quence noe,

d’amplitude

o ~ 1

₁

n >, étant modifié _{par le}

terme :

On

_peut

_{donc dire que pour} voisin de ncv, le

système

atomique

est

soumis au hamiltonien :

(Rappelons

que si c ou - I , on

_supprime

le terme devenant

in fini).

Ce raisonnement est valable si les résonances sont bien

_séparées,

_

La formule

_(2.100)

est valable _{pour J}

_quelconque,

car _pour

_appliquer

les formules de

_Majorana,

il est nécessaire et _{il suffit que le}

Hamilto-nien conserve la même forme.

,

30 SPIN NUCLÉAIRE 1

_(J

_quel

_onque).

-

a)

équation

générale.

-æ1 est encore donné _par

l’équation (a.f g)

car nous

_négligeons

les termes

en _Y~.

Nous

_partons

de

_{l’équation}

d’évolution :

Nous

_décomposons

les en une somme

_infinie,

_puis

nous pose-rons :

et nous arrivons à un

_système

_{statique :}

La

_position

des résonances s’obtient en écrivant _{que deux} éléments

diagonaux

de la matrice définie _par

_(2.102)

sont

_{égaux :}

(2. I03)

p étant un entier

_quelconque

Nous _{n’étudierons pas} ce

_problème

dans toute sa

_{généralité.}

Nous allons

_envisager

deux cas

_{particuliers importants.}

b)

Le

_champ

oscillant est le

_long

de Or. - Dans _ce

cas, n’a

d’éléments de matrice

_qu’entre

des états de même ni. On

_peut

alors

résoudre le

_problème

_pour l’ensemble des niveaux

_ayant

un rrz donné.

La

_position

des résonances est :

(2 . 104)

Wr - CJF’ =

rJCJ

ceci est en accord avec la conservation du moment

_angulaire.

Nous n’avons

_jamais

observé ces résonances.

Remarque.

- Avant de

quitter

les transitions 0394m o, notons que si

H; =o.

Hx,

o, ces transitions

_peuvent

être induites en utilisant

les

_{photons 0"+}

et ce- ; pour satisfaire le bilan du moment

_angulaire,

il faut autant t de

_{photons 5+}

_que de

_photons

?2014. Les résonances se

produiraient

alors pour

c)

Transition OF = o en

_découplage

_faible.

- Nous

supposerons

maintenant que les distances entre les sous-niveaux d’un même état F

sont très

_petites

devant les distances entre des niveaux de F différents.

Dans ces

conditions,

nous chercherons à résoudre

_{l’équation}

_(2.102)

à l’intérieur de

_chaque

état F.

Supposons

d’abord le

_découplage

très faible :

Nous sommes ramenés au

problème

d’un

_spin

_{rigide H quelconque}

(~t r = a ,~J) .

Les formules de

_Majorana

nous

_permettent

de calculer

_P(F,

_t)

à

_partir

de

_P~2

_{~ 2 , 2 ,}

_t

_pour toutes Les valeurs de cô _{et mo.} En par-ticulier si nous savons _que tout se _passe comme si

,

le

_système

était soumis au hal miltonien

~.n

formule

(2. I oo)

à condition de

rem-placer

J par F et ,f~ par =

aY~-~~n

s’écrit :

On doit

_remplacer

yj par yF dans les termes

K+,

K- et

_{C o ~}

_[

>. Dans le cas où le

découplage

est

_{rigoureusement}

nul, cette formule n’a pas d’intérêt car nous connaissons

P(F,

t).

Son intérêt réside

dans le fait

_qu’on

_peut

l’étendre au cas d’un

_découplage

faihle.

Si le

_découplage

n’est

_plus

_{négligeable,}

nous n’avons

plus

le droit

d’écrire :

Il y a des termes correctifs. Ces termes sont de l’ordre

_{de ~ 03C90}

0

E est défini _par

_{(2.52), physiquement s}

est de l’ordre de l’écart entre

deux raies = l du

_spectre

obtenu en

_champ

tournant.

La

_partie

la

_{plus importante}

de est car nous avons

sup-posé

K+,

K_,

K~ ~

w, ao.

Nous ne

_corrigerons

donc que ce terrne, les autres termes étant

_déjà

considérés comme des

_{perturbations}

faibles. Nous

remplacerons

ce

terme _{par Jeo hamil-tonien} du

_système

eu l’absence des

_champs

oscil-lants :

Nous sommes donc entièrement ramenés au

_problème

du

du

_système

_(2.102)

à celle de la résolution de

_{plusieurs systèmes}

du

type

(2 . ~ 7).

Cherchons la

_position

des

_résonances,

soit _{les valeurs propres} de

L’équation (2 . r g)

nous

indique

_qu’il

_y aura résonance

_{quand :}

posons :

Il y a résonance

quand :

’

Le 1er membre de cette

_équation

ne

_dépend

_{que des niveaux}

ato-mique~,

le 2e membre ne

dépend

_que de la

radiofréquence. D’après

les formules

_{(2.5) :}

étant une constante

_{qui dépend}

des deux niveaux et

(2. t og)

s’écrit : 1

Décrivons le

_{spectre :}

Nous avons d’abord l’ensemble des résonances n = i . Ce sont les

résonances

_déjà

étudiées en

_champ

tournant. La seule différence réside dans le terme

_qui

est le

_{déplacement Bloch-Siegert.}

entre ces diverses résonances est de l’ordre de e.

Nous avons ensuite un _groupe de résonances pour ~==2. Ces réso-nances sont

_séparées

_{par des} intervalles de l’ordre de e

_(rappelons

que

E~c~~.

Puis nous trouvons un _{groupe de résonances à ~==3.}

Chaque

groupe de résonances subit en bloc le

_déplacement

_8n.

La

_{quantité o |}

_{] Kn}

n > est d’ordre n en

_03B3H1.

Elle

_représente

l’amplitude

du

_champ

tournant fictif à la

_fréquence

n. Nous _proposons de

_désigner

les résonances de la

_façon

suivante :

F,

ni et

F,

ni’ définissent les deux niveaux

_{atomiques ;}

n étant la

_fréquence

du

_champ

tournant

_{fictif ;}

.-.~

F,

n2’)n

est une raie d’ordre

(r~z-

nL’)n,

elle se

place

au

voisinage

de mo

Nous

_emploierons

te hamiltonien :

Nous _{pouvons maintenant réduire}

_d~;

en un hamiltonien

_K~

comme nous l’avons fait

précédemment

_{pour le hamiltonien}

(2 . 4).

Les raies = 1 sont maintenant des raies à deux

_quanta.

Leur

intensité est déterminée _{par :} ’

L’intensité des raies 0394m = 2 est maintenant :

La raie est une raie à

_{quatre quanta.}

_ Plus

généralement

dans le

groupe des raies une raie

in _{= p} est d’ordre _2p.

Déterminons maintenant la

_position

des résonances. Pour

_cela,

cal-culons :

i~2

-~- Iit.

,

Ces termes sont du

_4P

ordre en

_yH,,

ils sont de la

_{forme ~~2~ ~‘}

_ce

terme est

_négligeable

devant le terme ₈₂ ---

2K2+ 03C9

₊

2K, .

Toutes les résonances subissent le même

_déplacement

â2.

Nous pouvons effectuer ce _{genre de} calcul _pour tous _{les groupes} de

résonance = Une transition

-~ p conduit à une raie

Remarque

I. - Revenons sur la validité des

_équations

établies. La

réduction du

_système

_(2.

ne

_peut

s’eS’ectuer _{que si} l’on _{pose :}