Feuille d’exercices n˚4 D´ enombrement

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚4 D´ enombrement

Exercice 50 : Dans une entreprise, il y a 800 employ´es. Parmi eux, 300 sont des hommes, 352 sont membres d’un syndicat, 424 sont mari´es, 188 sont des hommes syndiqu´es, 166 sont des hommes mari´es, 208 sont syndiqu´es et mari´es, 144 sont des hommes mari´es syndiqu´es. Combien y a-t-il de femmes c´elibataires non syndiqu´ees ?

Exercice 51 : SoitEun ensemble de cardinaln∈N^∗et soientAetBdeux parties deEde cardinaux respectifs aetb. Montrer que :

(a+b)−n≤Card(A∩B)≤min(a, b).

F Exercice 52 : Jouer au loto consiste `a cocher un ensemble de 6 num´eros parmiJ1,49K. Une fois fait, ce choix s’appelle une grille.

1. D´eterminer le nombre total de grilles.

2. SoitF l’ensemble des grilles qui ne comportent aucun num´ero cons´ecutif.

(a) Prouver queF =

(a1, a2, . . . , a6)∈J1,49K

6 : ∀i∈J1,5K ai+1≥2 +ai . (b) SoitG=

(i1, i2, . . . , i6)∈J1,44K

6 : i1< i2< . . . < i6 . D´eterminer Card(G).

(c) i. Montrer que pour tout (a1, a2, . . . , a6)∈F, (a1, a2−1, a3−2, a4−3, a5−4, a6−5)∈G.

ii. Prouver que l’application

f:F →G; (a₁, a₂, . . . , a₆)7→(a₁, a₂−1, a₃−2, a₄−3, a₅−4, a₆−5) est une bijection.

iii. En d´eduire Card(F).

Exercice 53 : Combien de menus diff´erents peut-on composer si on a le choix entre 5 entr´ees, 2 plats et 4 desserts ?

Exercice 54 : 16 chevaux prennent le d´epart d’une course. Quel est le nombre de podiums possibles ? On suppose qu’il n’y a pas d’ex æquo.

Exercice 55 : On lance deux d´es discernables.

1. Combien y a-t-il de r´esultats possibles ?

2. De combien de fa¸cons peut-on obtenir une somme ´egale `a 7 ? 3. De combien de fa¸cons peut-on obtenir un produit ´egal `a 12 ?

Exercice 56 : On lance trois d´es discernables.

1. Combien y a-t-il de r´esultats possibles ? 2. De combien de fa¸cons peut-on obtenir 421 ?

3. De combien de fa¸cons peut-on obtenir une somme ´egale `a 10 ?

Exercice 57 : On lance un d´e 5 fois de suite. On obtient ainsi une suite de 5 num´eros.

1. D´eterminer le nombre de suites possibles.

2. D´eterminer le nombre de suites qui commencent par 2.

3. D´eterminer le nombre de suites qui ne contiennent pas 6.

1

4. D´eterminer le nombre de suites qui commencent et finissent par le mˆeme chiffre.

5. D´eterminer le nombre de suites qui contiennent tous les chiffres sauf 3.

6. D´eterminer le nombre de suites qui contiennent tous les chiffres pairs au moins une fois.

Exercice 58

1. Combien d’anagrammes du mot BIN ˆOME existe-t-il ? 2. Combien d’anagrammes du mot ANALYSE existe-t-il ? 3. Combien d’anagrammes du mot PROBABILIT ´ES existe-t-il ?

Exercice 59 : Soitn∈N^∗. On dispose denobjets diff´erents et de 3 boˆıtesB1, B2, B3.

1. De combien de mani`eres peut-on ranger lesnobjets dans les 3 boˆıtes, de fa¸con que la boˆıteB<sub>1</sub>soit vide ? 2. De combien de mani`eres peut-on ranger les nobjets dans les 3 boˆıtes, de fa¸con que les boˆıtes B1 et B2

restent vides ?

3. De combien de mani`eres peut-on ranger lesnobjets dans les 3 boˆıtes, de fa¸con qu’aucune des boˆıtes ne reste vide ?

Exercice 60 : On dispose de 7 anneaux de couleurs diff´erentes et de 7 perles de couleurs diff´erentes. En assemblant un anneau et une perle, on forme une bague. `A l’aide du mat´eriel `a disposition, on construit 7 bagues que l’on place dans un sachet. Combien de sachets peut-on ainsi r´ealiser ?

Exercice 61 : L’´equipe cycliste blanche et l’´equipe cycliste rouge sont rassembl´ees pour un entraˆınement.

Chacune des ´equipes comporte 9 coureurs. De combien de fa¸cons peut-on placer les coureurs en file indienne, en alternant les couleurs de chaque ´equipe ?

F Exercice 62 1. Soitn∈N^∗.

(a) Soitk∈J1, nK. Montrer quek C_n^k=n C_n−1^k−1. (b) Calculer la somme

n

X

k=0

k C_n^k. 2. Soitn∈N^≥2.

(a) Soitk∈J2, nK. Montrer quek(k−1)C_n^k=n(n−1)C_n−2^k−2. (b) Calculer la somme

n

X

k=0

k(k−1)C_n^k.

3. Calculer la somme

n

X

k=0

k²C_n^k pour toutn∈N^≥2.

Exercice 63 : Dans une assembl´ee, se trouvent r´eunisahommes etb femmes (a, b∈N^∗). Soit n∈J0, a+bK. On noteE l’ensemble des comit´es constitu´es de npersonnes choisies dans l’assembl´ee et pour toutk∈J0, nK, E_k l’ensemble des comit´es denpersonnes choisies dans l’assembl´ee, qui comportentkhommes.

1. Donner une relation entre Card(E),Card(E0),Card(E1), . . . ,Card(En).

2. Calculer Card(E).

3. Calculer Card(E_k), pour toutk∈J0, nK. 4. En d´eduire que :

n

X

k=0

C_a^kC_b^n−k=C_a+bⁿ (Formule de Vandermonde).

5. Que vaut

n

X

k=0

C_n^k2

?

Exercice 64 : Dans un jeu de 32 cartes, on tire simultan´ement 8 cartes. On obtient ainsi unemain.

2

1. D´eterminer le nombre de mains possibles.

2. D´eterminer le nombre de mains qui contiennent au moins un roi.

3. D´eterminer le nombre de mains qui contiennent une dame ou un coeur.

4. D´eterminer le nombre de mains qui contiennent au plus deux couleurs.

F Exercice 65 Soitn∈N^∗ et soitp∈J0, nK.

1. Soitk∈Jp, nK. En utilisant la relation de Pascal pour les coefficients binomiaux, exprimerC_k^p en fonction deC_k+1^p+1 et C_k^p+1.

2. En d´eduire que :

n

X

k=p

C_k^p=C_n+1^p+1 (Formule des colonnes).

Exercice 66 : Soit n ∈ N^≥2. Soit p ∈ J1, n−1K. On dispose d’une urne qui contient p boules blanches et (n−p) boules noires. On suppose que les boules d’une mˆeme couleur sont indiscernables entre elles. On tire successivement, sans remise, lesnboules de l’urne.

1. D´eterminer le nombre de tirages possibles.

2. Soitk∈Jp, nK. D´eterminer le nombre de tirages o`u la derni`ere blanche apparaˆıt enk-i`eme position.

3. En faisant une partition de l’ensemble des tirages selon la position de la derni`ere blanche, calculer en fonction denetpla somme :

n

X

k=p

C_k−1^p−1.

4. Comparer le r´esultat obtenu en 3. `a la formule des colonnes d´emontr´ee dans l’exercice pr´ec´edent.

F Exercice 67 : Soient x, y, z des variables r´eelles. Soient n ∈ N^≥6. Quel est le coefficient de xy³z² dans le d´eveloppement de (1 +x+y+z)ⁿ?

F Exercice 68 : Une urne contientbboules blanches etrboules rouges (b, r∈N^∗).

1. On suppose ici lesb boules blanches indiscernables et lesrboules rouges indiscernables.

(a) On effectueN tirages successifs, avec remise (N ∈N^∗). Combien y a-t-il de r´esultats possibles ? (b) On les tire successivement une `a une, sans remise, jusqu’`a vider l’urne. Combien y a-t-il de r´esultats

possibles ?

(c) On tire simultan´ementN boules de l’urne (N ∈J0, b+rK). Combien y a-t-il de r´esultats possibles ? 2. On suppose d´esormais que les b boules blanches sont num´erot´ees de 1 `a b et les r boules rouges sont

num´erot´ees de 1 `a r.

(a) On effectueN tirages successifs, avec remise (N ∈N^∗).

i. Combien y a-t-il de r´esultats possibles ?

ii. Combien de r´esultats comportentb boules blanches exactement ? iii. Combien de r´esultats comportent au moins deux boules blanches ? iv. Combien de r´esultats comportent les deux couleurs ?

(b) On effectueN tirages successifs, sans remise (N∈J0, b+rK). Reprendre les questions i., ii., iii. et iv.

de (a) dans cette situation.

(c) On tire simultan´ementN boules de l’urne (N ∈J0, b+rK). Reprendre les questions i., ii., iii. et iv.

de (a) dans cette situation.

Indication : On pourra ˆetre amen´e `a distinguer plusieurs cas suivant les valeurs deb, r, N.

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