E50067. Mise en boˆıtes
Un magicien a 100 cartes num´erot´ees de 1 `a 100. Il les r´epartit dans 3 boˆıtes, de fa¸con qu’aucune boˆıte n’est vide, pour le tour que voici. Un spectateur choisit deux des boˆıtes, tire une carte de chacune et annonce le total des nombres qui y figurent au magicien qui a les yeux band´es. Avec cette seule information, le magicien identifie la boˆıte qui n’a pas servi. Il r´eussit `a tout coup ; indiquez les diff´erentes fa¸cons de pr´eparer les boˆıtes qui permettent d’obtenir ce r´esultat.
Solution
Raisonnons sur N boˆıtes. Si la carte N n’est pas seule dans sa boˆıte, en l’enlevant on obtient une distribution satisfaisante `a N −1 cartes de 1 `a N−1. De mˆeme si la carte 1 n’est pas seule dans sa boˆıte, en l’enlevant et en renum´erotantm−1 chaque cartem.
La distribution o`u les cartes 1 et N sont chacune seule dans une boˆıte convient : si le total annonc´e estN+ 1, la boˆıte inutilis´ee est la 3e, si le total est 3 `a N la boˆıte inutilis´ee est celle avecN, si le total est N+ 2 `a 2N −1 la boˆıte inutilis´ee est celle avec 1. J’appelle cette distribution type (a).
SiN = 4, dans le type (a) les cartes 2 et 3 sont ensemble, les cartes 1 et 4 sont isol´ees. Il existe une autre distribution satisfaisante, avec 1 et 4 ensemble, 2 et 3 isol´es. Cela s’´etend `a un nombre de cartes quelconque, r´eparties selon leur reste modulo 3 : le reste modulo 3 dans la boˆıte inutilis´ee est celui de l’oppos´e du total annonc´e. J’appelle cette distribution type (b).
Si la distribution `a N cartes n’est pas de type (a), la distribution `a N −1 cartes qui en d´erive non plus (si elle ´etait de type (a), quelle que soit la boˆıte o`u on introduitN, on cr´eerait une ambigu¨ıt´e sur le totalN + 1 ou N+ 2).
Supposons-la de type (b), alors la carteN doit ˆetre avec N−3 pour que le total 2N−3 = (N−1) + (N−2) ne cr´ee pas d’ambigu¨ıt´e, et la distribution
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aN cartes est de type (b).
S’il y avait des distributions de types autres que (a) ou (b), celle de N minimal contredirait ce qui pr´ec`ede : elles ne peuvent pas exister.
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