Devoir n
o11 - Int´ egration - TS 24 mars 2017 - 2h
Exercice 1 (2,5 pts) : D´eterminer toutes les primitives des fonctions suivantes : f(x) = ex
(1 + ex)3 sur R g(x) = x
4−x2 sur [−1; 1]
Exercice 2 (3,5 pts) : Calculer la valeur exacte des int´egrales suivantes :
I = Z 0
−1
x−2
√x2−4x+ 3dx J = Z
π 3
0
(sinx)(cosx)2dx
Exercice 3 (6 pts) : Soit f une fonction d´efinie et d´erivable sur R. On noteC sa courbe repr´esentative dans le plan muni d’un rep`ere (O;−→i ,−→j ).
Partie A
Sur les graphiques ci-dessous, on a repr´esent´e la courbeC et trois autres courbesC1,C2,C3 avec la tangente en leur point d’abscisse 0.
O #–ı
#–
C
O #–ı
#– d1
C1
O #–ı
#–
d2
C2
O #–ı
#–
d3
C3
1. Donner par lecture graphique, le signe de f(x) selon les valeurs dex. 2. On d´esigne par F une primitive de la fonction f sur R.
a) `A l’aide de la courbe C, d´eterminer F′(0) et F′(−2).
b) L’une des courbes C1, C2, C3 est la courbe repr´esentative de la fonction F. D´eterminer laquelle en justifiant l’´elimination des deux autres.
Partie B
Dans cette partie, on admet que la fonction f ´evoqu´ee dans la partie A est la fonction d´efinie surR par f(x) = (x+ 2)e12x.
1. L’observation de la courbe C permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum.
a) D´emontrer que pour tout r´eel x, f′(x) = 1
2(x+ 4)e12x. b) En d´eduire une validation de la conjecture pr´ec´edente.
2. On pose I = Z 1
0
f(x) dx.
a) Interpr´eter g´eom´etriquement le r´eel I.
b) Soientu et v les fonctions d´efinies sur R par u(x) =x etv(x) = e12x. V´erifier que f = 2 (u′v+uv′).
c) En d´eduire la valeur exacte de l’int´egrale I.
3. On donne l’algorithme ci-dessous.
Variables : k etn sont des nombres entiers naturels.
s est un nombre r´eel.
Entr´ee : Demander `a l’utilisateur la valeur de n.
Initialisation : Affecter `a s la valeur 0.
Traitement : Pour k allant de 0 `a n−1
— Affecter `as la valeur s+ 1 nf
k n
. Fin de boucle.
Sortie : Afficher s.
On notesn le nombre affich´e par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n.
a) Justifier que s3 repr´esente l’aire, exprim´ee en unit´es d’aire, du domaine hachur´e sur le graphique ci-dessous o`u les trois rectangles ont la mˆeme largeur.
1 1
C
b) Que dire de la valeur de sn fournie par l’algorithme propos´e lorsque n devient grand ?
Exercice 4 (8 pts) : Soit n un entier naturel non nul.
On consid`ere la fonction fn d´efinie et d´erivable sur l’ensemble R par fn(x) =x2e−2nx. On note Cn la courbe repr´esentative de la fonction fn dans un rep`ere orthogonal.
On d´efinit, pour tout entier naturel n non nul, In = Z 1
0
fn(x) dx.
Partie A : ´Etude de la fonction f1 1. La fonction f1 est d´efinie sur R par
f1(x) =x2e−2x On admet que f1 est d´erivable sur Ret on note f1′ sa d´eriv´ee.
a) Justifier que pour tout r´eel x, f1′(x) = 2xe−2x(1−x).
b) ´Etudier les variations de la fonction f1 sur R. c) D´eterminer la limite de f1 en −∞.
d) V´erifier que pour tout r´eel x, f1(x) =x ex
2
. En d´eduire la limite de f1 en +∞.
2. En utilisant un syst`eme de calcul formel, on trouve qu’une primitive F1 de la fonction f1 est donn´ee par F1(x) =−e−2x
x2 2 +x
2 +1 4
. En d´eduire la valeur exacte de I1.
Partie B : ´Etude de la suite (In) 1. Soit n un entier naturel non nul.
a) Interpr´eter graphiquement la quantit´e In.
b) ´Emettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur la limite ´eventuelle de la suite (In).
Expliciter la d´emarche qui a men´e `a cette conjecture.
2. a) Justifier que, pour tout entier naturel n non nul et pour tout r´eel x appartenant `a [0 ; 1], fn+1(x) = e−2xfn(x)
b) En d´eduire, pour tout entier naturel n non nul et pour tout r´eel x appartenant `a [0 ; 1], fn+1(x)6fn(x).
c) D´eterminer alors le sens de variation de la suite (In).
3. Soit n un entier naturel non nul.
a) Justifier que pour tout entier naturel n non nul et pour tout r´eel x appartenant `a [0 ; 1], 06fn(x)6e−2nx.
b) En d´eduire un encadrement de la suite (In), puis sa limite.
