Devoir 2, tous groupes MIPI 23

UPMC MIPI 23 Devoir du 9 avril 2014 (1h30) 1M002

Universit´e Pierre et Marie Curie2013–2014 1M002, section MIPI 23, Devoir du 9 avril 2014 (1h30)

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etre ´eteints et rang´es.Les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des raisonnements. Ce devoir comporte deux parties : la partie I ci-dessous est sur 8 pts, la partie II (4 pts), est `a compl´eter au dos de la feuille.

Partie I (8 pts)

Exercice 1 (2 pts). Soient a, b, u₀ ∈ R et soit (u_n)_n∈N la suite r´eelle d´efinie par la donn´ee du terme initial u0 et par la relation de r´ecurrence un+1=aun+b pour toutn∈N. On suppose a6= 1.

1. (0,25 pt) Montrer que l’´equation x=ax+bposs`ede une unique solutionα, que l’on d´eterminera.

2. (1 pt) Pour toutn ∈N, on pose u⁰_n = u_n−α. Exprimeru⁰_n+1 en fonction de u⁰_n puis, pour tout n∈N, exprimer u⁰_n en fonction de a, betu⁰₀.

3. (0,75 pt) Donner une formule exprimantun en fonction de u0 et dea etb.

Exercice 2 (3 pts). Soit A=







−1 2 0

−1 1 1 0 2 −1





∈M3(R).

1. (0,5 pt) Calculer le polynˆome caract´eristique P_A(X).

2. (1 pt) D´eterminer les valeurs propres de Aet la multiplicit´e alg´ebrique de chacune.

3. (1 pt) Pour chaque valeur propreλde A, d´eterminer la dimension de l’espace propreV_λ. 4. (0,5 pt)A est-elle diagonalisable ? Justifiez votre r´eponse.

Exercice 3 (3 pts). 1. (1 pt) DansR(X), d´ecomposer f(X) = 3X+ 3

X³−1 en ´el´ements simples.

2. (1 pt) Sur I = ]1,+∞[, d´eterminer une primitive def(x) = 3x+ 3 x³−1. 3. (1 pt) Pour tout b∈R^∗₊, calculerJ =

Z b ln(2)

3(e^2t+e^t) e^3t−1 dt.

Partie II au dos→

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Partie II (4 pts)

Nom Pr´ enom

Il y a 3 exercices. Pour chacun, il est demand´e de faire figurer les r´eponses aux emplacements correspondants. On ne demande pas de justifications, seulement les r´esultats demand´es.

1. (1 pt) Calculer I = Z π

0

t²sin(t)dt.

2. (1 pt) Exprimer lim

n→+∞

2 n

n

X

k=1

exp2k n

sous la forme d’une int´egrale, puis donner la valeur de cette int´egrale.

3. (2 pts) Soit A= 0 1

−6 5

!

∈M2(R) et soitBla base canonique deR². 3-a. D´eterminer les valeurs propresµ₁, µ₂ de A.

3-b. Pouri= 1,2, donner un vecteur proprev_i=v_µi de la forme 1 xi

!

, puis ´ecrire la matrice de passage P deB `a la baseC= (v1, v2).

3-c. Calculer P⁻¹.

3-d. (bonus) D´eterminersans calcul la matriceP⁻¹AP.