? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?
Math. - CC 2 - S1 - Analyse
vendredi 4 décembre 2020 - Durée 1 h
Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.
PARTIE 1
Dans cette partie,αdésigne un réel quelconque.
1. A l’aide de la règle de d’Alembert, déterminer le rayon de convergence de la sérieX
n≥1
xn nα.
On noteraRαce nombre et fαla somme de la série entière, c’est-à-dire pour toutx∈]−Rα, Rα[:
fα(x) =
+∞
X
n=1
xn nα 2. Justifier quefαest de classeC∞ sur]−Rα, Rα[.
3. Montrer que pour toutx∈]−Rα, Rα[,fα(x) +fα(−x) = 21−αfα(x2).
4. Etablir une relation entrefα+10 (x)etfα(x), pour toutx∈]−Rα, Rα[.
5. Justifier que pour tout réelx∈]−Rα, Rα[:
fα+1(x) = Z x
0
fα(t) t dt
6. Expliciterf0 et retrouverf1 etf−1 en utilisant les résultats établis dans les questions précédentes.
PARTIE 2
Dans cette partieα= 2, et on notef2=S.
1. Justifier queS est définie sur[−1,1].
2. On considère la fonctionϕdéfinie sur]0,1[par
ϕ(x) =S(x) +S(1−x) + ln(x) ln(1−x) a. Justifier que ϕest de classeC1 sur]0,1[.
b. CalculerS0(x)pourx∈]0,1[.
c. En déduire que ϕest constante sur]0,1[.
3. Pourx∈[0,1], etn∈N∗, on noteSn(x) =
n
X
k=1
xk k2.
a. Montrer que : ∀ε >0,∃N ∈N∗,∀x∈[0,1],|S(x)−SN(x)|< ε.
b. Montrer que : ∀n∈N∗,∀ε >0,∃r >0,∀x∈[1−r,1],|Sn(x)−Sn(1)|< ε.
c. Déduire des deux questions précédentes queS est continue en 1.
4. Montrer que pour toutx∈]0,1[, ϕ(x) =S(1).
5. En admettant queS(1) = π2
6 , en déduire la valeur de la somme
+∞
X
n=1
1 2nn2.
Fin de l’énoncé d’analyse
1
