N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
D ELLACH
Solution des questions 531 et 532
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 20 (1861), p. 174-177
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SOLUTION DES QUESTIONS 531 ET 532
(Totr t. XIX, p. 247);
PAR M. DELLACH, Professeur au lycée d'Amiens.
531. Soient B Taire d'un polygone régulier circonscrit, B' celle du polygone régulier d'un nombre double de côtés : Faire du cercle .est comprise entre B' et B'-i(B-B').
( ' 7 5 )
532. Soient A et B les aires de deux polygones régu- liers, l'un inscrit, l'autre circonscrit : l'aire du cercle est comprise entre A et A + 0 (B — A) (*).
Question 531.
Soient AB le demi-côté du polygone régulier de n côtés, AC pour in côtés, AD pour 4n côtés : on obtient ces longueurs en divisant l'angle AOB en deux parties égales et AOC en deux parties égales. Si B, B', B", B'", etc., sont les aires des polygones réguliers de TI, iny /\n, etc., côtés, on a
B = 2«.0AB, B'=4«.OAC, B"=8*. OAD.
Donc
B — B' _BCE
2B ' —B"~~CDF*
Soit CG la bissectrice de l'angle BCE \ elle sera paral- lèle à DE. On a
CBE __ BE __ CE + CB _ AB ,CÊG ~~ ËG -"" CE — ÂC*
D'un autre côté
CEG CE AC Donc
C D F DF2 AD
CBE_ B —B' _AB.AC CDF~~"2B' —B""~~ ^ * Or
AC>?.AD, A B > 4 A D , d'où
AB.AC>8Aü;
(*) C'est une propriété differente de celle de Huyghens. TM.
( » 7 « ) de sorte que
B'— B"
et
B ' _ B ' < i (B — B'), B " - B " ' < ~ ( B - B ' ) ,
Si Ton désigne par S Taire du cercle, on a S = B'— (B' — B") — (B" — B'") — . . . .
Remplaçant chaque différence par sa limite supérieure, on obtient
S > B ' — i ( B —B').
C. Q. F . D .
Question 532.
Soient A, A', A", etc., les aires des polygones réguliers inscrits de n, in, ^n, etc., côtés5 on a
S = A -4- (A'— A) H- (A"— A') H-....
On démontrera aisément que
A"—A'<i(B'—A'J.
Or on sait que
B' — A ' < 7 (B — A) (problème de Catalan).
4 Donc
("«77)
Si dans la valeur de S on remplace les différences par ces limites supérieures, on obtient
C. Q. F . D .
