15(1−2 cosb+c 2 cosb−c cos2π 15

Enonc´e n^oD230 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

1) Je suppose d’abord que l’enveloppe convexe des 6 villages a 6 cˆot´es. Je vais montrer que cette configuration est incompatible avec les deux valeurs 24,7 et 28,5 de la plus grande distance entre deux villages.

Cet hexagoneABCDEF a 4πpour somme des angles, donc on peut trouver deux angles cons´ecutifs, par exempleABC^d etBCD^d dont la somme≥4π/3.

Comme AC ≤ 28,5, on ne peut avoir ABC >^d 2 arcsin(28,5/30) = 4π/5, car Al-Kashi avec AB et BC ≤ 15 conduirait `a une contradiction. Donc b=ABC^d ≤4π/5 et de mˆeme pour c=BCD.^d

On en tire|b−c|= 2 max(b, c)−(b+c)≤4π/15.

Comme les angles b et c sont obtus, la projection de AD sur BC a pour longueur (≤AD≤28,5)

BC−ABcosb−CDcosc≥15(1−cosb−cosc) =

= 15(1−2 cosb+c

2 cosb−c

2 )≥15(1 + cos2π

15) = 28,5≥AD et l’´egalit´e requiert queAB=BC =CD = 15,b+c= 4π/3,|b−c|= 4π/15, mais ces valeurs entraˆınentAD= 30 cos(π/15) = 29,34 d’o`u contradiction.

Une impr´ecision d’un demi-hectom`etre sur les donn´ees 15,0 et 28,5 (arron- dies `a l’hectom`etre le plus proche) ne change pas le r´esultat de la discussion.

2) Je suppose maintenant que l’enveloppe convexe des 6 villages a moins de 6 cˆot´es. Un des 6 villages, par exemple F, est int´erieur `a l’enveloppe.

En tournant autour deF dans le sens trigonom´etrique, on rencontrera par exempleA, B, C, D, E dans cet ordre.

La somme des angles AF C, BF D,CF E,DF A,EF B est 4π, donc le plus grand de ces angles ≥4π/5, c’est par exemple AF C.

2.1) Admettons d’abord que cet angle est≤6π/5.

Alors|AC|² =|F A|²+|F C|²−2|F A| · |F C|cosAF C^d conduit par Al-Kashi `a

|AC| ≥min(|F A|,|F C|)·2 sin(2π/5)≥30 sin(2π/5) = 28,5 km.

Ainsi la plus grande distance ne peut pas ˆetre 24,7 km, et si elle vaut 28,5 km, tous les angles consid´er´es ci-dessus sont ´egaux, et F est le centre d’un pentagone r´egulier ´etoil´eACEBDinscrit dans un cercle de rayon 15 km ; le pentagoneABCDE est r´egulier aussi, et de cˆot´e 30 sin(π/5) = 17,6 km.

Le plus court parcours ferm´e passant par les 6 villages est (avec cette dis- position des villages) du type F ABCDEF et a 30(1 + 4 sin(π/5)) = 100,5 km de long : s’il ne comporte que 6 distances, seules 2 d’entre elles, ayantF pour une de leurs extr´emit´es, valent 15 ; un parcours de plus de 6 distances fait au moins 105 km (en fait plus de 112 pourF ABCF DEF).

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On peut donc h´esiter entre 100 et 101 km pour la r´eponse demand´ee, le r´esultat ´etant directement proportionnel `a la donn´ee 15,0 km dont l’impr´eci- sion relative est de 1/300.

2.2) Pour ˆetre complet, il faudrait discuter le cas o`u aucun des angles sous lesquels deux villages sont vus deF n’est dans l’intervalle (4π/5,6π/5). Ces configurations d’angles ne sont pas exclues a priori : par exemple si les angles successifsAF B, BF C, . . . sont 2π/3,2π/3, π/10,7π/15, π/10.

Une autre fa¸con de faire est de consid´erer deux villages `a distance 28,5 (soit A et B) ; les 4 autres villages doivent ˆetre situ´es dans les deux qua- drilat`eres curvilignes d´etermin´es par les couronnes de centres A et B, de rayons int´erieur 15 et ext´erieur 28,5. Pour placer ces villages en respectant la distance minimum de 15, on va trouver le centre et les autres sommets d’un pentagone r´egulier dontAetBsont des sommets, mais cette discussion n’est pas ´evidente.

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