Enoncé H131 (Diophante) Le jeu de SIM
Le jeu de Sim imaginé en 1969 par Gustavus J. Simmons a pour terrain initial les six sommets d’un hexagone régulier numérotés de 1 à 6 dans le sens anti-horaire. Deux joueurs munis de deux crayons de couleurs diffé- rentes (Rouge et Bleu par exemple) s’affrontent en traçant à tour de rôle un des 15 segments (arêtes ou diagonales) qui relient ces sommets. Le pre- mier joueur qui trace un triangle monocolore dont les sommets sont des sommets de l’hexagone a perdu. L’autre joueur est déclaré vainqueur.
Q1 Démontrer que quel que soit le déroulement d’une partie, il y a toujours un perdant (et donc un vainqueur)
Q2 Dans la figure n°1 ci-dessous, sept segments ont été tracés par les deux joueurs dont quatre par Bleu et trois par Rouge. C’est à Rouge de jouer.
Prouver qu’il gagne la partie.
Q3 Dans la figure n°2, sept segments ont été tracés par les deux joueurs dont quatre par Rouge et trois par Bleu. C’est à Bleu de jouer. Prouver qu’il gagne la partie.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
Supposons un tracé des 15 segments sans triangle monocolore. De chacun des 6 sommets partent 5 segments de l’une ou l’autre couleur ; une couleur, rouge par exemple, est majoritaire au sommet 1, avec par exemple les segments 1-2, 1-3, 1-4 ; s’il n’y a pas de triangle rouge, les segments 2-3, 2-4 et 3-4 doivent être bleus ; mais ils forment un triangle monocolore bleu, contradiction.
Donc aucune partie ne peut épuiser les 15 segments sans former de triangle.
Remarque. Un tracé des 15 segments comporte au moins deux triangles monocolores.
Dans l’hypothèse inverse, on a par exemple le triangle 123 rouge, seul triangle monocolore. Du triplet {1,2,3} vers le triplet {4,5,6}, il part au plus 3 segments rouges ; s’il y en avait 4, par le principe des tiroirs un des sommets 4,5,6 serait relié en rouge à deux des sommets 1,2,3, formant un second triangle rouge. Par exemple, les segments rouges sont 1-4, 2-5, 3-6.
Si le triangle 156 n’est pas monocolore bleu, le segment 5-6 est rouge. De même pour le segment 4-6 dans le triangle 246 et pour le segment 4-5 dans le triangle 345 ; alors le triangle 456 est monocolore rouge, contradiction.
Question 2
Bleu n’a que 4 possibilités sans faire de triangle : segments 1-5, 2-4, 4-5, 4-6, alors que Rouge en a 6 (pas toutes possibles ensemble) : 1-5, 2-4, 2-5, 2-6, 4-5, 5-6.
Rouge gagne en jouant 2-4 ; trois suites sont possibles, au choix de Bleu : 1-5 Bleu, 4-5 Rouge, 4-6 Bleu, 2-6 Rouge ;
4-5 Bleu, 1-5 Rouge, 4-6 Bleu, 2-6 Rouge ; 4-6 Bleu, 1-5 Rouge, 4-5 Bleu, 2-6 Rouge ;
avant que Bleu soit contraint de former un triangle bleu.
Question 3 (voir page ssuivante)
Bleu gagne en jouant 4-5 ; dès lors Rouge ne peut colorier plus de 3 seg- ments, formant l’un des triplets (1-3,1-5,2-3), (1-3,1-5,3-6), (1-3,2-3,3-5), (1-5,2-3,3-5) et (1-5,3-4,3-6).
Après le coup 4-5, Bleu peut colorier encore trois segments sans former de triangle, selon le choix de Rouge :
1-3 Rouge, 2-3 Bleu qui peut ensuite jouer 3-4 et 4-6, segments interdits à Rouge après 1-3 ;
1-5 Rouge, 3-6 Bleu qui peut jouer (selon le coup de Rouge) 2-3 ou 3-5, puis 4-6.
2-3 Rouge, 3-5 Bleu qui peut ensuite jouer 3-6 et 4-6 ; 3-4 Rouge, 3-5 Bleu qui peut ensuite jouer 1-3 et 4-6 ; 3-5 Rouge, 2-3 Bleu qui peut ensuite jouer 3-6 et 4-6 ; 3-6 Rouge, 1-3 Bleu qui peut ensuite jouer 3-5 et 4-6 ;
ainsi chacun peut tracer 7 segments sans former de triangle monocolore, mais c’est alors à Rouge de colorier le dernier segment et de former plu- sieurs triangles.
