DERIVATION ET ETUDE DE FONCTIONS : COURS CORRIGE
II) LA FONCTION DERIVEE.
1) Calcul des dérivées.
On aurait pu calculer le nombre dérivé grâce au tableau ci-contre : Si f(x) = x2 alors f '(x) = 2x et f '(1) = 2*1 = 2 Si g(x) = 0,4x2 alors g'(x) = 0,4*2x = 0,8x et g'(1) = 0,8*1 = 0,8 Si h(x) = 2x2 alors h'(x) = 2*2x = 4x et h'(1) = 4*1 = 4
2) Opérations sur les dérivées.
La fonction f(x) + g(x) a pour dérivée f '(x) + g'(x) La fonction kf(x) a pour dérivée kf '(x)
3) Exemples.
Calculer les dérivées des fonctions f(x) = 3x2 – 5x +4 f '(x) = 3*2x – 5 = 6x - 5
g(x) = 4x3 – 7x2 + 2x – 3 g'(x) = 4*3x² - 7*2x + 2 = 12x2 – 14x + 2 h(x) = 3
x + 4x2 h'(x) = -3
x2 + 4*2x = -3 x2 + 8x
ACTIVITE 4 : Relation signe de la dérivée f '(x) - sens de variation de la fonction f.
Soit la fonction f définie sur par f(x) = 0,5x2 – 2x –1.
a) Calculer la dérivée f '(x).
f '(x) = x - 2
b) Sur quel intervalle a-t-on f '(x) > 0 ? f '(x) < 0 ?
f '(x) > 0 ; x – 2 > 0 ; x > 2 ; f '(x) > 0 pour x ∈∈∈∈ ]2 ; + ∞∞∞∞[
f '(x) < 0 ; x – 2 < 0 ; x < 2 ; f '(x) < 0 pour x ∈∈∈∈ ]- ∞∞∞∞ ; 2[
c) Compléter le tableau suivant :
x -10 -5 -1 0 1 2 3 4 5 10
f '(x) -12 -7 -3 -2 -1 0 1 2 3 8
f(x) 69 21.5 1.5 -1 -2.5 -3 -2.5 -1 1.5 29
d) Comparer, sur chacun des intervalles ]-∞ ; 2[ et ]2 ; +∞[, le signe de f ' et le sens de variation de f.
Sur ]- ∞∞∞∞ ; 2[ f '(x) < 0 et f décroissante Sur ]2 ; + ∞∞∞∞[ f '(x) > 0 et f croissante.
III) FONCTION DERIVEE ET SENS DE VARIATION.
Soit f une fonction et f ' sa dérivée.
Si f '(x) > 0 alors f est croissante.
Si f '(x) < 0, alors f est décroissante.
Si f '(x) = 0, alors f est constante.
IV) VERIFICATION DE LA SOLUTION DE L'ACTIVITE 1.
1) Calculer B'(q). B'(q) = -2q + 80
2) Résoudre B'(q) = 0.
B'(q) = 0 ssi –2q + 80 = 0 ssi q = 40
3) Etudier le signe de B'(q) en fonction de q.
B'(q) > 0 ssi –2q + 80 > 0 ssi –2q > -80 ssi q < 40 B'(q) < 0 ssi –2q + 80 < 0 ssi –2q < -80 ssi q > 40 4) Faire le tableau de variation de la fonction B(q).
5) Finalement, pour combien d'articles le bénéfice est-il maximum ?
On voit que le maximum est en q = 40. Le bénéfice est bien maximum pour 40 000 articles.
V) EXTREMUM.
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