Ressource 5 : APPLICATIONS DE LA DERIVEE ARTICLE :

Ressource 5 : APPLICATIONS DE LA DERIVEE

ARTICLE : A PROPOS DE L’INTRODUCTION DU CONCEPT DE NOMBRE DERIVE D’UNE FONCTION EN UN POINT PAR L’APPROCHE CINEMATIQUE EN CLASSE DE PREMIERE S.

L’article est le fruit d’un stage destiné aux enseignants des mathématiques et de science physique de la série S’ dont le but était de favoriser une

interdisciplinarité entre les deux disciplines. Le stage quant à lui, naît du projet de mise en place du nouveau programme de la classe de terminale S. L’article fait une étude comparative entre deux notions à savoir : la dérivée au sens usuel (dérivée à gauche et dérivée à droite) et la dérivée symétrique définie lorsqu’elle existe en un point pour une fonction f comme la limite quand h tend vers zéro de la quantité . Le document comporte cinq parties essentielles.

 Dans la première partie il est question de voir quelle sont les

prescriptions par les programmes de mathématiques et de science physique sur ces notions.

 Dans les deuxième et troisièmes parties, on fait une comparaison des deux notions sur le point de vue algébrique et sur le point de vue géométrique.

- Du point de vue algébrique, on montre dans un premier temps que lorsqu’une fonction f est dérivable à gauche et à droite en un point, alors la dérivée symétrique est la moyenne de la dérivée à gauche et à droite en ce point. On en déduit que si une fonction est dérivable en un point au sens usuel, alors elle est dérivable au sens

symétrique, mais la réciproque est fausse.

Dans un second temps on fait une comparaison sur les vitesses de convergences des deux dérivée et on montre que : si une fonction est de classe C

, alors l’approximation de f’(a) par est en h

et donc meilleure que celle de qui est en h.

- Du point de vue géométrique, la dérivée en un point au sens usuel

est vue comme coefficient directeur de tangentes à la courbe et qui

rencontre l’axe des ordonnées. Alors que la dérivée symétrique est le

coefficient directeur de limite de corde qui n’est pas nécessairement

tangente à la courbe.

Une représentation graphique montre la convergence rapide de corde dans le cas d’une fonction dérivable (au sens usuel) en un point.

 Dans la quatrième partie, une approche historique de la notion de dérivée permet de justifier l’utilisation au sens usuel en mathématique.

 Dans la dernière partie, on fait des suggestions de pistes permettant de mieux aborder la notion de dérivée dans les deux disciplines de manière a ne pas créer de confusions et favoriser l’utilisation dans les deux sens.

De l’étude cet article, il en ressort une notion permettant de faire des

majorations (erreurs commises) : il s’agit de la dérivée symétrique.