Dérivée de x
nlorsque n ∈ Q
Note :Ce résumé est écrit par T. Zwissig. Il est ce qu’attend cet enseignant lors de l’oral de maturité.
Ce résumé n’est pas une référence pour les autres enseignants, leurs attentes sont sans doute différentes.
Nous savons que la formule (xn)0 = nxn−1 est vraie lorsque n est un entier relatif. On démontre que ce résultat peut s’étendre à l’ensemble des nombres rationnels.
Théorème Soit p∈Z etq ∈N∗
Si f la fonction définie par f(x) = xpq pourx∈R+. Alors 1◦) f est dérivable sur son domaine et
2◦) xpq0
= pqxpq−1. On rappelle que
1. y=x1q ⇔yq=x 2. xpq =
x1qp
avecp∈Z, q∈N∗ etx∈R+.
Démonstration du théorème dans le cas où p= 1 : Le premier rappel permet d’affirmer que la fonction définie parx7→x1q est dérivable car elle est la réciproque de fonction définie par x7→xqdont on sait qu’elle est dérivable. De plus
x1q0
vaut 1qx1q−1. En effet,comme
x1qq
=x on trouve d’une part que
x1qq0
= (x)0 = 1 (∗) et comme
x1q
q
est une fonction composée, on a également que
x1qq0
=q
x1qq−1 x1q0
(∗∗) En égalant (*) et (**), on obtient q
x1qq−1 x1q0
= 1ou encore qx1−1q x1q0
= 1. En isolant la dérivée recherchée dans cette expression il suit que
x1q0
= 1
qx−(1−1q) = 1 qx1q−1 On a donc bien
x1q0
= 1qx1q−1 pourq ∈N∗.
Démonstration du théorème dans le cas général : La fonction définie par x7→xpq est dérivable puisqu’elle est la composition des deux fonctions dérivables x7→x1q et x7→xp. Nous avons également, en vertu des résultats précédents
xpq0
=
x1qp0
=p
x1qp−1
· 1
qx1q−1 = p
qxpq−1q+1q−1 =pxpq−1 c’est-à-dire
xpq
0
=pxpq−1
