A466 De bons placements pour le jeu du ballon chaud [**** à la main et avec ordinateur]

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Solution

On pose AB = 2a, AC = AD = a, EB = b, EC = c , ED = d, AF = a+1, GF = e et GB = f avec e<f.

Tout d’abord on observe que les points B, C et D sont les sommets d’un triangle équilatéral et que pour tout point E situé sur la circonférence du cercle on a la relation ED = EB + EC. En effet le cercle de centre B et de rayon BE = b coupe ED en H. Comme le triangle BEH est isocèle (BE = BH) et que BEH = BED = 60°,le triangle BEH est équilatéral. Les deux triangles BEC et BHD sont égaux car les angles BCE et BDE desquels on voit l’arc BE sont égaux entre eux ainsi que les angles BEC et BHD égaux l’un et l’autre à 120°. Tous les angles des deux triangles sont donc égaux et BC = BD. Il en résulte que DH = EC = ED – EH = ED – EB. D’où d = b + c.

On exprime maintenant b et c en fonction de a. Le quadrilatère ABEC est inscrit dans un cercle avec la particularité qu’un des côtés de ce quadrilatère est égal au diamètre du cercle. Si on désigne par AE = x et BC = y les deux diagonales de ce quadrilatère, le théorème de

Ptolémée permet d’écrire que AB.CE + AC.BE = AE.BC, c’est à dire 2ac + ab = xy.

Or x 4a²b² et comme ABC est un demi-triangle équilatéral,ya 3. D’où l’équation 2ac + ab = a 3(4a² b²), ce qui donne après élévation au carré des 2 membres,

2 2 2

2 4c 4bc 12a 3b

b     qui devient 3a² b²c² bc(bc)²bc. Les entiers b et c sont donc solutions d’une équation quadratique de la forme X²sXp0 avec s = la somme des racines b+c et p = le produit des racines bc qui sont reliés par l’identité

2 2 3a s

p  . D’où l’équation quadratique X²sXs²3a² 0. Pour que les solutions soient entières, le discriminant doit être égal à un carré parfait et l’on aboutit à l’équation diophantienne du second degré qui exprime a en fonction de deux entiers s et t :

2 t a s

2 2

 avec sa 3 et st.

Il est possible d’établir manuellement ou avec l’aide d’un tableur la liste des valeurs de s et t qui donnent les valeurs primitives entières de a < 50 par ordre croissant telles que a,b et c n’ont pas de diviseur commun :

Si l’on tient compte des solutions dérivées des valeurs primitives en multipliant les termes de chaque triplet (a,b,c) par les entiers 2,3,4,…. on obtient le tableau ci-après qui contient les 4- uples possibles (a,b,c,d) toujours classés par valeur croissante de a <50 :

Il reste à déterminer les distances entières e et f. Le théorème de Ptolémée appliqué au quadrilatère inscrit ABGF dont un des côtés est à nouveau le diamètre du cercle circonscrit , donne la relation AB.FG + AF.BG = AG.BF avec AB = 2a, FG = e, AF = a+1, BG = f, AG =

2

2 f

4a  et BF = 4a²(a1)²  3a²2a1.

D’où [2ae(a1)f]²(4a²f²)(3a²2a1)qui se ramène à 1)

1)(3a a(a

1)ef (a f)

a(e ²     .

En posant comme précédemment s = e + f et p = ef, on obtient la relation 1)

1 a(3a - a p as

2





 et l’équation quadratique dont les racines sont e et f s’écrit sous la forme 1)

1 a(3a - a sX as X

2

2    . Les racines sont entières si le discriminant est un carré parfait et pour un a supposé connu, on aboutit à l’équation de Pell

1) 1)(3a 4a(a

1)t (a 1)s

(3a ²  ²   dans laquelle les variables entières sont s et t.

Cette équation de Pell n’a pas de solution pour a = 7,13,14 et 19 (voir table da calcul de Dario Alpern : http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM). La première valeur de a pour laquelle il existe des solutions est a = 21 et on a s = 40 et t = 16. D’où p = 336 et e = 12 et f = 28.

En résumé le plus petit cercle autour duquel les enfants peuvent s’installer a pour rayon 21 pas et les distances b, c, d, e, f valent respectivement (en nombre de pas) b = 33, c = 6, d = 39, e = 12 et f = 28