A544 : En l’honneur de 2010
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
De combien de façons peut-on écrire 2010 comme somme de trois carrés ? Ecrire 2010 comme somme de cubes avec le minimum de termes.
2010=2*3*5*67 qui comporte deux facteurs simples de la forme 4k+3 (3 et 67) n’est pas somme de deux carrés. Si l’on peut écrire 2010 comme somme de trois carrés, l’un d’entre eux est compris entre 2010/3 et 2010, donc entre 676=262 et 1936=442 (bornes incluses). Ce qui suppose que 2010-n2 soit une somme de deux carrés pour 26≤n≤44. Parmi ces 19 valeurs, les six qui correspondent à n multiple de 3 (27, 30, 33, 36, 39, 42) sont à exclure, car alors 2010-n2 est un simple multiple de 3.
On a par ailleurs 2010=41*72+1, et pour n=7k±1 (k non multiple de 7), 2010-n2 est un simple multiple de 7; ce qui exclut les valeurs 27, 29, 34, 36, 41 et 43.
Pour n=26 et n=38, on obtient pour 2010-n2 respectivement 1334 et 566,chacun de la forme 2(4k+3), qui ne peuvent être somme de deux carrés.
Restent donc les valeurs n=28, 31, 32, 35, 37, 40 et 44, qui donnent les solutions suivantes: 442 +72 +52 ; 402 +192 +72 ; 402 +172 +112 ; 372 +252 +42 ; 352 +282 +12 ; 322 +252 +192 ; 322 +312 +52 .
2010 peut s’écrire de plusieurs façons comme une somme de cinq cubes; par
exemple 103 +103 +23 +13 +13 , ou 123 +63 +43 +13 +13. S’il existe une décomposition en somme de quatre cubes, le plus grand est k3 avec 8≤k≤12. On recherche alors des décompositions de 2010-k3 , soit 282, 679, 1010, 1281 ou 1498 en somme de trois cubes, inférieurs ou égaux à k ; il y a à chaque fois peu de possibilités à tester : par exemple pour 282, le plus grand des trois cubes est compris entre 282/3 et 282, soit les cubes de 5 ou 6 ; pour 679, on obtient 7 ou 8 ; pour 1010, 7, 8, 9 ou 10; pour 1281, 8 ou 9 ; enfin pour 1498, 8 seulement. Aucun des nombres obtenus (157, 66, 336, 167, 667, 498, 281,10, 769, 552, 986) n’étant somme de deux cubes, on en déduit qu’il n’existe pas de décomposition de 2010 en somme de quatre cubes.
