A2826 – Une erreur de calcul
Zig a choisi vingt nombres réels positifs xi (i = 1 à 20) dont la somme est égale à 85 et la somme de leurs inverses est égale à 24 puis il calcule la somme S de toutes les fractions de la forme xi / xj avec i ≠ j, 1≤ i ≤ 20, 1≤ j ≤ 20.
Puce de son côté a choisi une suite de k nombres réels positifs yi (i = 1 à k) dont la somme est égale à 159 et la somme de leurs inverses est égale à 13. Il affirme que la somme de toutes les fractions de la forme yi / yj avec i ≠ j, 1≤ i ≤ k, 1≤ j ≤ k est aussi égale à S.
Déterminer S puis démontrer que Puce a fait une erreur de calcul.
Résolution
Le produit de la somme des xi choisis par Zig par la somme de leurs inverses est presque identique la somme S, aux termes xi / xi près : on a ainsi :
85*24 = S + 20*1 soit S = 2020
De même pour Puce, la même somme S’ vaut 13*159-k*1 = 2067-k. Selon Puce, S’=S, ce qui conduit à k=47.
On peut alors calculer :
• la moyenne arithmétique des yi : M = ( yi) / k = 159/47 = 3,383 à un millième près ;
• la moyenne harmonique des yi : 1/H = ( 1/yi) / k soit H = 47/13 = 3,615 à un millième près.
Ces résultats sont contraires à l’inégalité classique entre la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique : Puce a nécessairement commis une erreur de calcul.
