E680. Les grilles équilibrées ****
Problème proposé par Michel Lafond
Pour les entiers n appartenant à l'ensemble {2,3,4,5,6,7,8,9,10} et plus si inspiration :
- ou bien construire une grille rectangulaire de mots croisés avec moins de cases noires que de
cases blanches, susceptible de contenir exactement [en lisant horizontalement et verticalement] :
1 mot de n lettres, 2 mots de n – 1 lettres, 3
mots de n – 2 lettres,....,n – 1 mots de 2 lettres et n mots de 1 lettre (et aucun mot ayant plus de n lettres).
- ou bien démontrer que c’est impossible.
Voici par exemple des solutions pour n = 2, 3, 4 :
Solution proposée par Jean Nicot
Dans une grille avec des mots de n lettres au plus,on doit trouver 1xn + 2x(n-1)+3x(n-2)+…. + (n-1)*2+nx1 cases blanches, chacune comptée deux fois soit B= 1/2 ∑𝑛𝑖=1𝑖(𝑛 + 1 − 𝑖 ) = n(n+1)(n+2)/12 cases blanches. Pour que B soit entier, il faut que n soit pair ou multiple de 4 moins 1.
Cela montre que sont impossibles les valeurs n multiples de 4 +1, comme n=5, n=9, n=13, …
Le nombre E d’extrémités de tous les mots est au total E = 2(1+2+3+...+n-1) +4n= n(n-1)+4n =n(n+3) qui doivent toucher un côté du quadrilatère ou un côté d’une case noire. Cela permet de calculer une valeur minimum du nombre de cases noires isolées.
Pour n=6, B= 28 et E=54. Avec un carré 6x6, il y a N = 6²-B = 8 cases noires. Le périmètre du carré est Q=24. Il faut donc au moins (E-Q) /4 = 30/4 = 8 cases noires. Voir le dessin.
Pour n=7, B= 42 et E=70. Avec un carré 7x7, il y a N = 7²-B = 7 cases noires . Le périmètre du carré est Q=28. Il faut donc au moins (E-Q)/4 = 42/4 = 11 cases noires. Il faut donc un quadrilatère 7x8.
Avec un quadrilatère 7x8, il y a N = 7x8 -B = 14 cases noires. Le périmètre du quadrilatère est Q=30. Il faut donc au moins (E-Q) /4 = 40/4 = 10 cases noires. Voir le dessin pour 7x8 . On aurait pu utiliser un quadrilatère 6x9 avec N=12.
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Pour n=8, B= 60 et E=88. Avec un carré 8x8, il y a N = 8²-B = 4 cases noires, ce qui est insuffisant puisqu’il en faut (88-32)/4= 14 au moins, soit un quadrilatère de plus de 74 cases donc 8x10 ou 7x11 ou 5x15
Pour 10x8, (E-Q)/4=(88-36)/4=13 cases noires au moins, inférieur à 80-60=20 Pour 7x11, (88-36)/4=13 inférieur à 77-60=17
Pour 5x15, (88-40)/4=12 inférieur à 75-60=15, qui minimise le nombre de cases noires.
Voir le dessin pour 5x15.
Pour n=10, B=10x11x12/12=110 et E=130. Avec un quadrilatère 10x13, N=20. Le périmètre est Q=46, Il faut au moins (E-Q) /4 = 84/4 = 21 cases noires .Il faut un quadrilatère de plus de131 donc au moins 132, le plus petit est 11x12 avec Q= 46 d’où 21 cases noires au moins. Les 22 cases noires suffisent. Voir le dessin.
