J125 : le dé baladeur
Nous noterons X un basculement du dé vers l’avant, X-1 un basculement vers l’arrière, Y vers la droite et Y-1 vers la gauche , et l’on notera XY la
composition (non commutative) d’un basculement vers l’avant et d’un vers la droite,etc… Ces basculement engendrent le groupe des isométries du cube, isomorphe au groupe symétrique S4 . Nous pourrions utiliser la table de ce groupe, mais il suffira de remarquer les propriétés suivantes , facilement vérifiables en basculant un dé:
• X4=Y4=I (identité) donc X3=X-1
• X2Y2=Y2X2
• XYX=YXY
• XY-1X=YX-1Y
Pour un circuit carré, il n’y a en fait que 4 cas, selon la valeur de n modulo 4.
• Si n=1 le circuit équivaut à YXY-1X-1=X-1XYXY-1X-1=X-1YXYY-1X-1= X-1Y Au second tour, on obtient X-1YX-1Y=Y-1YX-1YX-1Y=Y-1XY-1XX-1Y=Y-1X, et au troisième tour X-1YY-1X=I
• Si n=2 le circuit équivaut à Y2X2Y2X2=Y2Y2X2X2=I
• Si n=3 le circuit équivaut à Y-1X-1YX=XY-1, puis YX-1 au second tour et I au troisième
• Enfin il équivaut à I si n=0 modulo 4.
Suivant la parité de n, le dé retrouvera sa position initiale après 1 (si n est pair) ou 3 tours (si n est impair).
Considérons maintenant le circuit en spirale. Le premier enroulement comporte un basculement à droite, un en avant, deux à gauche et deux en arrière, atteignant la case 1+2(1+2)=7 ; de même le n-ième enroulement sera constitué de 2n-1 basculements à droite, 2n-1 en avant, 2n à gauche et 2n en arrière, atteignant la case 1+2(1+…+2n)=1+2n(2n+1)=4n2+2n+1
Après le premier enroulement, nous obtenons YXY2X2=YX-1Y2=XY-1XY, et après deux enroulements (ou un et demi) YXY2X2Y-1X-1=XY-1XYY-1X-1=XY-1 . Après le troisième XY-1YXY2X2=X2Y2X2=Y2 ;après le quatrième Y2Y-1X-1=YX-1 ; après le cinquième YX-1YXY2X2=XY-1X2Y2X2=XY ; après le sixième (ou cinq et demi) XYY-1X-1=I . Le cinquième enroulement conduit à la case 111 et après un demi enroulement supplémentaire, on atteint la case 133.
La case 2006 se trouve dans le 23ème enroulement, puisque le 22ème atteint la case 1981 (elle se situe 25 cases à droite de celle-ci).
Après 18 (3*6) enroulement le dé est dans sa position initiale. Après 4 enroulements supplémentaires, il est dans la configuration YX-1, et après encore 25 basculements vers la droite, dans la configuration YX-1Y.
Ce qui doit correspondre à 4 dessus, 1 devant, et 2 vers la droite…
![J125 Le dé baladeur [**** à la main]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)