I. Couple de variables aléatoires discrètes
Définition 1.
SoitXetY deux v.a. discrètes. On appelle couple de v.a.(X, Y)l’application (X, Y) : Ω7−→R2
Définition 2.
SoitXetY deux v.a. discrètes.
La loi du couple(X, Y)est appeléeloi conjointeouloi jointe. Elle correspond à la donnée de : 1. (X, Y)(Ω) =X(Ω)×Y(Ω)
2. ∀(xi, yj)∈X(Ω)×Y(Ω), pi,j=P([X =xi]∩[Y =yj])
Définition 3.
Soit(X, Y)un couple de v.a. discrètes.
Les v.a.XetY sont appeléesv.a. marginalesdu couple, et leurs lois sont appeléeslois marginalesdeX (resp. deY).
Théorème 1.
1. Soity∈Y(Ω). La loi marginale deXs’obtient par :
∀x∈X(Ω), P(X =x) = X
y∈Y(Ω)
P([X =x]∩[Y =y]) = X
y∈Y(Ω)
P(Y =y)P[Y=y](X=x).
2. Soitx∈X(Ω). La loi marginale deY s’obtient par :
∀y∈Y(Ω), P(Y =y) = X
x∈X(Ω)
P([X =x]∩[Y =y]) = X
x∈X(Ω)
P(X =x)P[X=x](Y =Y).
Démonstration.
Il s’agit dans les deux cas des deux écritures de la formule des probabilités totales : avec ou sans conditionnement.
Définition 4.
Soit(X, Y)un couple de v.a. discrètes.
1. Soity ∈Y(Ω). Laloi conditionnelledeX, ou loi deX conditionnellement à l’évènement[Y =y], est la donnée desP[Y=y](X =x), pourx∈X(Ω).
2. Soitx∈X(Ω). Laloi conditionnelledeY, ou loi deX conditionnellement à l’évènement[X =x]est la donnée desP[X=x](Y =y), poury∈Y(Ω).
Exemple 1.
Voici l’exemple fil rouge de ce chapitre. On considère le couple(X, Y)dont la loi est donnée par le tableau suivant :
HH HH
HH X
Y 2 4 6
1 0 1
10
1 5
3 1
20
1 5
1 20
5 1
4
1 10
1 20
Exemple 2.
Définition 5.
Deux v.a. discrètesX etY sont ditesindépendantessi :
∀x∈X(Ω),∀y∈Y(Ω), P([X=x]∩[Y =y]) =P(X=x)P(Y =y)
Théorème 2.
Deux v.a.XetY sont indépendantes si, et seulement :
∀I⊂X(Ω), ∀J ⊂Y(Ω), P([X ∈I]∩[Y ∈J]) =P(X∈I)P(Y ∈J)
Exemple 3.
reprise du 1er exemple
II. Fonction d’un couple de v.a. discrètes
Définition 6.
Soit(X, Y)un couple de v.a. discrètes, etgune fonction définie surX(Ω)×Y(Ω). On définit la v.a.Z=g(X, Y)par : 1. Z(Ω) ={g(x, y)∈R | x∈X(Ω) et y∈Y(Ω)}
2. ∀z∈Z(Ω), P(Z =z) = X
(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)
g(x,y)=z
P([X =x]∩[Y =y])
Exemple 4.
Les v.a. de ce style les plus rencontrées / utilisées serontXY,X+Y,max(X, Y)etmin(X, Y).
Théorème 3. théorème de transfert
Soit(X, Y)un couple de v.a. discrètes, etgune fonction telle queg(X, Y)soit une v.a. discrètes bien définie.
Sous réserve de convergence absolue de la série double, on a :
E(g(X, Y)) = X
(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)
g(x, y)P([X=x]∩[Y =y])
Exemple 5.
E(XY)pour le premier exemple
Théorème 4. linéarité de l’espérance
SoitXetY deux v.a. admettant une espérance, et(a, b)∈R2.
Alors,aX+bY admet une espérance, et on a E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y).
Théorème 5. croissance de l’espérance
SoitXetY deux v.a. admettant une espérance, telles queP(X ≤Y) = 1(ieX ≤Y p.s.). Alors E(X)≤E(Y).
Théorème 6.
SoitXetY deux v.a. indépendantes admettant une espérance.
Alors,XY admet une espérance, et on a E(XY) =E(X)E(Y).
Remarque.
Sans l’indépendance, ce dernier résultat est faux.
III. Covariance
Définition 7.
SoitXetY deux v.a. discrètes.
Sous réserve d’existence, on définit lacovariancedeXetY parCov(X, Y) =E
(X−E(X))(Y −E(Y))
Théorème 7.
SiXetY admettent chacunes un moment d’ordre2, alors leur covariance existe.
Théorème 8. formule de Huygens
SoitXetY deux v.a. admettant une covariance.
On a alors Cov(X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y).
Démonstration.
Exemple 6.
reprise du 1er exemple
Théorème 9. propriétés de la covariance SoitX,Y etZdes v.a., et(a, b)∈R2. On a :
1. Cov(X, Y) =Cov(Y, X) (symétrie) 2. Cov(X, X) =V(X)
3. Cov(X, a) = 0
4. Cov(aX+bY, Z) =aCov(X, Z) +bCov(Y, Z) (linéarité à gauche) 5. Cov(Z, aX+bY) =aCov(Z, X) +bCov(Z, Y) (linéarité à droite)
Remarque.
Les deux derniers s’assemblent pour former la notion debilinéarité.
Théorème 10.
SiXetY sont indépendantes, alorsCov(X, Y) = 0.
Démonstration.
On a, par indépendance,E(XY) =E(X)E(Y), d’où le résultat.
Remarque.
Par contraposée, siCov(X, Y)6= 0, alorsXetY ne sont pas indépendantes.
Remarque.
La réciproque est fausse : la covariance peut être nulle sans qu’il y ait indépendance.
Théorème 11.
1. SoitX etY deux v.a. admettant une variance. Alors,X+Y admet une variance, et on a : V(X+Y) =V(X) +V(Y) + 2Cov(X, Y).
2. Si de plus,XetY sont indépendantes, alorsV(X+Y) =V(X) +V(Y).
Démonstration.
On utilise la formule de Huygens pour le point 1, et on se rappelle que siX etY sont indépendantes, alorsCov(X, Y) = 0, pour le point 2.
Définition 8.
Sous réserve d’existence, on appelle coefficient de corrélation linéaire deXetY le réel ρ(X, Y) = Cov(X, Y) σ(X)σ(Y).
Théorème 12.
S’il existe, on a −1≤ρ(X, Y)≤1.
Théorème 13.
1. ρ(X, Y) = 1si, et seulement si, ∃a >0, b∈R / Y =aX+b. On dit alors queXetY évoluent dans le même sens.
2. ρ(X, Y) =−1si, et seulement si, ∃a <0, b∈R / Y =aX+b.
On dit alors queXetY évoluent en sens contraire.
Définition 9.
Deux v.a. de covariance nulle (ou, ce qui revient au même, de coefficient de corrélation nul) sont ditesnon corrélées.
Remarque.
Deux v.a. indépendantes sont donc non corrélées.
La réciproque est fausse.
Exemple 7.
fin du 1er exemple, et conclusion :XetY sont négativement corrélées, ce que laissait penser le tableau initial donnant la loi du couple, puisque les probabilités les plus fortes se situaient sur "l’anti-diagonale" (d’en bas à gauche vers le haut à droite).
IV. Suite de v.a. discrètes
Remarque.
Mise à part l’indépendance, les notions vues dans cette section, énoncées pour des v.a. discrètes, s’étendent à tous les types de v.a., notamment les v.a. à densité.
Théorème 14.
Soit(Xk)1≤k≤nune famille de v.a. (discrètes).
Soitg:X1(Ω)×...×Xn(Ω)−→R. Alors,g(X1, ..., Xn)est une v.a. (discrète).
Exemple 8.
n
X
k=1
Xk,
n
Y
k=1
Xk,min((Xk)1≤k≤n)etmax((Xk)1≤k≤n)sont des v.a. (discrètes).
Définition 10.
Soit(Xk)1≤k≤nune famille de v.a. discrètes.
On dit que les v.a.(Xk)1≤k≤nsont (mutuellement)indépendantessi :
∀k∈[[1;n]], ∀xk ∈Xk(Ω), P
n
\
k=1
[Xk=xk]
!
=
n
Y
k=1
P(Xk=xk)
Théorème 15.
Soit(Xk)1≤k≤nune famille de v.a.
Les v.a.(Xk)1≤k≤nsont indépendantes si :
∀k∈[[1;n]], ∀Ik⊂Xk(Ω), P
n
\
k=1
[Xk ∈Ik]
!
=
n
Y
k=1
P(Xk∈Ik)
Définition 11.
On dit que(Xn)n∈N∗est unesuite de v.a. indépendantessi∀n∈N∗, les v.a.(Xk)1≤k≤nsont indépendantes.
Théorème 16. lemme des coalitions
Soit(Xk)1≤k≤ndes v.a. indépendantes, et soit1≤p < n.
Alors, toute v.a. fonction deX1, ..., Xpest indépendante de toute v.a. fonction deXp+1, ..., Xn.
Exemple 9.
Soit(Xk)1≤k≤ndes v.a. indépendantes.
Alors, X1+...+Xp et Xp+1+...+Xn sont indépendantes.
Théorème 17.
Soit(Xk)1≤k≤nune famille de v.a. admettant une espérance.
On a E(X1+...+Xn) =E(X1) +...+E(Xn).
Théorème 18.
Soit(Xk)1≤k≤nune famille de v.a. admettant une variance.
1. Si les(Xk)1≤k≤nsont indépendantes, on a : V(X1+...+Xn) =V(X1) +...+V(Xn).
2. Sinon, V(X1+...+Xn) =V(X1) +...+V(Xn) + 2 X
1≤i<j≤n
Cov(Xi, Xj).
Démonstration.
Par récurrence surn.
V. Stabilité des lois usuelles
Théorème 19.
SoitX ,→B(n, p)etY ,→B(m, p)deux v.a. indépendantes.
Alors,X+Y ,→B(n+m, p)
Démonstration.
Il suffit de se rappeler qu’une v.a. de loi binomialeB(n, p) peut s’écrire comme la somme de v.a. indépendantes de même loi de BernoulliB(p), et appliquer le lemme des coalitions.
Théorème 20.
De manière générale, si les variables(Xk)1≤k≤nsont indépendantes, avecXk ,→B(nk, p), alors
n
X
k=1
Xk,→B
n
X
k=1
nk, p
! .
Théorème 21.
SoitX ,→P(λ)etY ,→P(µ)deux v.a. indépendantes.
Alors,X+Y ,→P(λ+µ)
Démonstration.
On peut utiliser l’énoncé sur la loi d’une somme vu précédemment.
Théorème 22.
De manière générale, si les variables(Xk)1≤k≤nsont indépendantes, avecXk,→P(λk), alors
n
X
k=1
Xk ,→P
n
X
k=1
λk
! .
VI. Informatique
1. Evolution du cours d’un actif
Le programme suivant permet de simuler une évolution basique du cours d’un actif au fil du temps.
On suppose qu’à chaque instant, la valeur de l’actif peut augmenter d’une unité (avec probabilitép∈]0,1[), ou diminuer d’une unité (avec probabilité1−p). (Ces données peuvent bien sur être modifiées.)
Les évolutions successives sont supposées indépendantes.
On a donc le programme :
function y=f(p) u=rand() if u<p then
y=1 else
y=-1 end endfunction
p=0.5 //hausse et baisse équiprobables x=100 //valeur initiale de l’actif
n=1000 //observation sur 1000 unités de temps for k=1 :n
y=x(k)+f(p) //valeur suivante
x=[x,y] //stockage de l’historique du cours end
t=0 :n
clf()
plot2d(t,x,2)
Voici un graphe affiché avecp= 0.5:
2. Marche aléatoire dans le plan
Le programme suivant permet de simuler d’un mobile se déplaçant dans le plan.
On suppose qu’à chaque instant, le mobile se déplace d’une unité dans l’une des 4 directions possibles.
On a donc le programme :
function [x,y]=f() x=0,y=0 u=rand() if u<.25 then
x=1 elseif u<.5 then
x=-1 elseif u<.75 then
y=1 else
y=-1 end endfunction
n=100000 u=[0,0]
v=[0,0]
for k=1 :n [x,y]=f() u=u+[x,y]
v=[v ;u]
end clf()
plot2d(v( :,1),v( :,2))
Voici un exemple de graphe affiché :
