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Ajustement Expérimental du Modèle Numérique
Said Boukerroum
To cite this version:
Said Boukerroum. Caractérisation Dynamique d’un Amortisseur MR et Ajustement Expérimental du Modèle Numérique. CFM 2015 - 22ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2015, Lyon, France.
�hal-03446083�
Caractérisation Dynamique d’un Amortisseur MR et Ajustement Expérimental du Modèle Numérique
S. BOUKERROUM
a, N. HAMZAOUI
ba. USTHB/FGMGP, LMA, BP 32 El Allia 16111, Bab Ezouar Alger, Algérie.Email: sboukerroum@yahoo.fr
b. INSA de Lyon, LVA, Bâtiment A de S
TExupéry, 25 bis avenue Jean Capelle 69621, France. Email: nacer.hamzaoui@insa-lyon.fr
…
Résumé :
Dans ce présent travail, nous analysons à travers les boucles d’hystérésis les performances du modèle de Bouc-Wen modifié régissant la dynamique interne d’un amortisseur Magnéto-Rhéologique.
L’analyse de l’énergie dissipée par cycle de vibration est effectuée par une caractérisation dynamique de cet amortisseur sur une machine de traction dynamique afin d’examiner l’effet de la fréquence, de l’amplitude du déplacement et du courant d’excitation sur l’énergie dissipée et par conséquent sur le coefficient d’amortissement équivalent. Les réponses dynamiques du modèle numérique de Bouc-Wen modifié seront confrontées aux réponses expérimentales, puis recalées sur ces dernières, en effectuant un réglage des paramètres les plus influant de ce modèle.
Abstract :
In this present work, we analyze through the hysteresis loops the modified Bouc-Wen model performances governing the internal dynamics of a Magneto-Rheological damper. The analysis of the energy dissipated per cycle of vibration is performed by dynamic characterization of this damper on a dynamic traction machine in order to examine the effect of the frequency, amplitude of displacement and excitation current on the dissipated energy and therefore the equivalent damping coefficient. The dynamic responses of the modified Bouc-Wen digital model will be compared with experimental answers and readjusted on the latter, while performing an adjustment of the most influential model parameters.
Mots clefs
: Amortisseur MR, Caractérisation dynamique, Modèle de Bouc-Wen modifié, Courbe d’hystérésis, Énergie dissipée.1. Introduction
Les amortisseurs magnéto-rhéologiques (MR) font l’objet ces dernières années d’une attention particulière en raison de leurs caractéristiques incluant simplicité mécanique, gamme dynamique élevée, basse alimentation électrique, grande capacité de force et robustesse. Cependant, et au début
des années 2000, les chercheurs ont commencé à réfléchir au développement et à l’utilisation de ces amortisseurs dans plusieurs domaines, en particulier lorsque d'autres technologies ont commencé à émerger pour rendre leur utilisation pratique possible. Des microprocesseurs, capteurs et contrôleurs permettant d’augmenter la vitesse de traitement ont créé des possibilités de contrôle qui n'existaient pas auparavant.
Un large domaine d’utilisation des amortisseurs MR a permis aux chercheurs d’améliorer les performances de ces derniers, en s’intéressant à leur dynamique interne. En effet plusieurs modèles mathématiques mettant en évidence les caractéristiques physiques et énergétiques (courant électrique, champs magnétique, écoulement, viscosité) des fluides MR, ont permis la mise au point de plusieurs modèles numériques régissant la dynamique interne de ces amortisseurs tels que les modèles de Bingham, de Gamota et Filisko, de Bouc-Wen et de Bouc-Wen modifié [1].
Afin de valider les performances de ces modèles, on a recours le plus souvent à des études expérimentales souvent très complexes et onéreuses, dont l’intérêt est d’ajuster en temps réel ces modèles. Pour pouvoir disposer d’un modèle de l’amortisseur MR plus représentatif, susceptible de se substituer à l’expérimentation dans d’autres développements et analyses de schémas et de lois de contrôle, il est nécessaire de le valider à travers une confrontation ‘calcul-essai’ pour mieux analyser le temps de réponse et permettre d’effectuer le recalage (ajustement), principal objectif de cette confrontation pour une meilleure représentativité du modèle numérique [2].
2. L’amortisseur magnéto rhéologique (MR)
Le RD-1005-3 (figure 1), est un petit amortisseur monotube compact de Lord Corporation [3]. De longueur 208 mm en position étendue, il intègre un électro-aimant au niveau du piston, alimenté d’une basse tension continue de 12 volts (DC) et un faible courant électrique qui peut être varié dans une plage de 0 à 2 Ampères. La résistance de la bobine à température ambiante est de 5. Il dispose d’une course de
25 mm et développe une intensité de charge maximale de 4448 N [3]. Le réglage du courant via son contrôleur, permet de varier le champ magnétique au niveau de la bobine du piston et modifier par conséquent en temps réel le coefficient d’amortissement, et donc la force d’amortissement. Le temps de réponse d’un tel amortisseur ne dépasse par les 25 ms (temps pour atteindre 90% du niveau maximum durant un pas d’entrée de 0A à 1A à la vitesse de 51 mm/s) [4].Figure 1: Structure d’un amortisseur MR monotube (RD-1005-2) [3]
L’avantage de l’amortisseur MR est associé à sa capacité de permettre une modification continue des caractéristiques d’amortissement pendant la durée du contrôle.
2.1 Caractérisation de l’amortisseur MR
La caractérisation de l’amortisseur RD-1005-3 est une étape nécessaire pour obtenir les données dynamiques relatives à son fonctionnement, tels que les rapports force/déplacement et force/vitesse,
Accumulateur Bobine
Fluide MR Orifices
Tige
Fils électriques Piston
ainsi que le courant de saturation. L’amortisseur MR a été testé sur une machine de traction dynamique, pouvant générer les entrées cycliques sinusoïdales, modulables en fréquence et en amplitude (figure 2). Les performances de cet amortisseur mesurées en fonction du courant d’entrée, sont l’évolution de la force d’amortissement en fonction du temps, les rapports force/déplacement et force/vitesse qui mettent en évidence le comportement hystérétique (comportement visco-plastique du fluide MR). L’excitation de l’amortisseur est un déplacement imposé sous forme sinusoïdale aux fréquences 1Hz, 2.5Hz et 5Hz pendant vingt cycles et pour trois différentes amplitudes de déplacement du piston de l’amortisseur. Pour éviter le claquage de ce dernier, nous fixons les trois amplitudes de déplacement crête à crête de son piston à 15mm, 20mm et 25 mm. Le contrôle du courant électrique délivré à l’amortisseur se fait à l’aide d’un contrôleur via un ampèremètre pour mesurer l’intensité d’entrée. Les intensités du courant délivré à l’amortisseur pendant les essais sont : 0A, 0.2A, 0.4A, 0.6A, 0.8A, 1A, 1.2A, 1.4A et 1.6A.
Figure 2: Caractérisation de l’amortisseur MR (RD-1005-3) sur machine de traction ‘’MTS 810’’
La figure 3, illustre l’évolution temporelle de la force d’amortissement en fonction de l’intensité du courant délivré à l’amortisseur pour une amplitude de déplacement crête à crête de 15mm imposé au piston à la fréquence de 2.5Hz.
Fréq 2,5 Hz, Ampl crête 15 mm
3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0
-1800 -1350 -900 -450 0 450 900 1350 1800
Force d'amortissement (N)
Temps (s)
0A 0,2A 0,4A 0,6A 0,8A 1A 1,2A 1,4A 1,6A
Figure 3: Evolution temporelle de la force d’amortissement mesurée en fonction du courant
Figure 4 : Valeur crête moyenne de la force d’amortissement mesurée en fonction du courant
Avec l’augmentation du courant électrique délivré à l’amortisseur, l’amplitude moyenne de la force d’amortissement augmente de manière apparente jusqu’à 1350N pour un courant de 0.8A (figure 3).
Amortisseur MR (RD-1005-3)
Cependant, lorsque le courant appliqué dépasse cette intensité de courant, l’accroissement de la force d’amortissement n’est plus significatif (figure 4). Cela signifie que dans les conditions des mesures effectuées, la saturation de l’effet magnéto rhéologique survient à un courant compris entre 0.6 et 08A [5, 6]. Il est également à noter que la force produite par l’amortisseur MR, n’est pas exactement centrée à zéro, comme on peut le constater sur la figure 3. Cela est dû en partie à la présence de l’accumulateur dans l’amortisseur MR, rempli de gaz compressé qui empêche le piston dans sa phase compression de terminer sa course. La force développée par l’amortisseur avec un courant de 1A est approximativement huit fois supérieure à celle obtenue sans champ magnétique (I=0A).
Les figures 5.a et 5.b, représentant respectivement les rapports force/déplacement et force/vitesse, pour différentes valeurs du courant électrique délivré à l’amortisseur MR, confirment ce comportement non linéaire des fluides MR, où l’augmentation du courant électrique fait croître la force d’amortissement d’une manière significative de 0 A à 0.8 A.
0 A 0,2 A 0,4 A 0,6 A 0,8 A 1,0 A 1,6 A
-12 -10 -8 -7 -5 -3 -2 0 2 3 5 7 8 10 12
-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000
Force d'Amortissement (N)
Déplacement (mm)
(a) (b)
Figure 5: Réponses expérimentales force/déplacement (a) et force/vitesse (b)
Le rapport force/vitesse représenté par la figure 5.b, montre une augmentation de la force d’amortissement en fonction de la vitesse calculée par différentiation du déplacement mesuré. Une croissance significative de la force d’amortissement en fonction du courant électrique est à observer, et ce jusqu’à la valeur de 0.8A, à partir de laquelle débute le phénomène de saturation. L’aire des différentes boucles d’hystérésis qui représente l’énergie dissipée par cycle de l’amortisseur MR, obéit parfaitement au comportement visco-plastique des fluides MR. En effet cette aire croit avec l’augmentation de la viscosité du fluide suite à l’augmentation du champ magnétique avec le courant électrique [4].
La force d’amortissement n’est non seulement une fonction de courant délivré à l’amortisseur, mais également fonction de la fréquence d’excitation et de l’amplitude du déplacement imposé au piston de l’amortisseur MR. Les figures 6a et 6b montrent en effet l’influence de la fréquence d’excitation et de l’amplitude du déplacement sur l’intensité de la force d’amortissement. Tout d’abord pour une fréquence donnée, la force d’amortissement augmente en fonction du déplacement imposé au piston et du courant électrique. D’autre part, pour un déplacement donné l’intensité de la force d’amortissement croit en fonction de la fréquence et du courant électrique. Il est donc clair que le coefficient d’amortissement équivalent d’un amortisseur MR est fonction des trois paramètres d’entrée qui sont la fréquence, le déplacement et le courant d’excitation.
Cette augmentation de la force d’amortissement en fonction de la fréquence d’excitation pour un déplacement crête à crête de 15mm et un courant de 1A est suivie également d’une augmentation de l’aire des boucles hystérétiques force/déplacement (figure 7.a) et force/vitesse (figures 7.b) qui traduisent bien l’énergie dissipée par cycle de fonctionnement de l’amortisseur MR.
-9 -6 -3 0 3 6 9
-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000
1A, 1Hz 1A, 2,5Hz 1A, 5Hz
Force d'amortissement (N)
Déplacement (mm)
(a)
-240 -160 -80 0 80 160 240
-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000
1A, 1Hz 1A, 2,5Hz 1A, 5Hz
Force d'amortissement (N)
Vitesse (mm/s)
(b)
Figure 7. Rapports Force/déplacement (a) et force/vitesse (b) de l’amortisseur en fonction de la fréquence d’excitation d’un déplacement de 15mm et un courant de 1A
2.2 Détermination du coefficient d’amortissement équivalent
Le coefficient d'amortissement équivalent peut être déterminé en fonction à la fois du courant d'entrée, de la fréquence et de l’amplitude de l’excitation [7]. En supposant qu'il s'agisse d'un amortisseur linéaire passif avec un amortissement idéal à chaque état de fonctionnement, nous pouvons déterminer , en intégrant l’énergie E dissipée par l’amortisseur MR pendant un cycle de vibration.
(1)
Où ωe (rd/s) est la pulsation de l’excitation de fréquence f (Hz), (mm/s) est la vitesse relative de la tige de l’amortisseur et FMR (N), la force d’amortissement mesurée.L’expression (1) de l’énergie dissipée E, exprimée dans le domaine temporel, s’écrit :
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6
0 225 450 675 900 1125 1350 1575 1800 2025 2250
Déplacement crête à crête 15 mm Déplacement crête à crête 20 mm Déplacement crête à crête 25 mm Courant (A)
Force d'amortissement (N)
Fréquence excitation: 1Hz
(a)
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6
0 225 450 675 900 1125 1350 1575 1800 2025 2250
Déplacement crête à crête 15 mm Déplacement crête à crête 20 mm Déplacement crête à crête 25 mm
Courant (A)
Force d'amortissement (N)
Fréquence excitation: 5 Hz
(b)
Figure 6. Variation de la force d’amortissement de l’amortisseur en fonction du déplacement et du courant d’excitation pour une fréquence de 1Hz (a) et 5Hz (b)
(2)
En adoptant une simple excitation harmonique du type déplacement sinusoïdal de la forme : , où est l’amplitude maximale du déplacement relatif du piston de l’amortisseur MR, l’expression (2) devient :(3)
D’où l’expression du coefficient d’amortissement équivalent calculé
:
(4)
La courbe de l’énergie dissipée par cycle tracée à partir de l’expression (4), montre effectivement l’augmentation de cette énergie en fonction de la fréquence d’excitation et du courant induit pour un déplacement donné (figures 8.a et 8.b). Quelque soit la fréquence d’excitation, cette augmentation de l’énergie dissipée est plus accentuée pour des courants délivrés à l’amortisseur MR inférieurs à 0.8A.Pour un déplacement et une fréquence d’oscillation donnés ou fixés, le coefficient d’amortissement équivalent croit avec le courant induit à l’amortisseur MR (figure 9.a), par contre ce coefficient décroit avec la fréquence d’excitation pour un déplacement et un courant fixés (figure 9.b). Ces deux résultats valident l’expression (4) du coefficient d’amortissement équivalent calculé, où l’augmentation de l’énergie dissipée et donc du courant, fait croitre ce coefficient, alors que pour un courant fixé au préalable, une augmentation de la fréquence d’excitation ou de l’amplitude de déplacement imposé au piston de l’amortisseur font décroitre ce coefficient d’amortissement.
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6
0 20 40 60 80
Energie dissipée (J)
Courant (A)
Déplacement crête à crête 15mm Déplacement crête à crête 20mm Déplacement crête à crête 25mm Fréquence excitation: 1 Hz
(a)
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6
0 20 40 60 80
Fréquence excitation: 5 Hz
Courant (A)
Energie dissipée (J)
Déplacement crête à crête 15mm Déplacement crête à crête 20mm Déplacement crête à crête 25mm
(b)
Figure 8. Variation de l’énergie dissipée de l’amortisseur en fonction de l’amplitude et du courant d’excitation pour une fréquence de 1Hz (a) et 5Hz (b)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0
1750 3500 5250 7000
Déplacement crête à crête: 20 mm Fréquence excitation 1 Hz Fréquence excitation 2,5 Hz Fréquence excitation 5 Hz
Courant (A) Ceq(N.s/m)
(a)
0 2 4 6
0 2000 4000 6000 8000
I= 0 A I= 0,4 A I= 0,8 A I= 1,2 A I =1,6 A
Fréquence (Hz) Ceq (N.s/m)
Déplacement crête à crête: 20 mm
(b)
Figure 9. Variation du coefficient d’amortissement équivalent de l’amortisseur en fonction du courant (a) et de la fréquence (b), pour un déplacement de 20mm
3. Modèle numérique de Bouc-Wen modifié
Le modèle de Bouc-Wen proposé par Wen [9] en 1976, prévoit bien le comportement force/déplacement de l'amortisseur MR, et possède un comportement force/vitesse qui ressemble plus étroitement aux données expérimentales avec des boucles d'hystérésis résultant qui traduisent mieux les non linéarités des fluides MR. Cependant, semblable au modèle de Bingham [8,10], la réponse non linéaire du rapport force/vitesse du modèle de Bouc-Wen ne fait pas la décroissance dans la région où l'accélération et la vitesse sont de signe opposé lors des transitions[1].
Afin de mieux prédire le comportement de l’amortisseur MR aux faibles vitesses et dans les cas où l’accélération et la vitesse sont de signes opposés, un modèle basé sur celui de Bouc-Wen a été proposé par Spencer et al [1]. Dans ce modèle dénommé modèle de Bouc-Wen modifié ou modèle phénoménologique (figure 10), la rigidité de l'accumulateur, élément non existant dans les autres modèles cités, est représentée par
k
1.Figure 10 : Modèle de Bouc-Wen modifié par Spencer et al [1]
Un coefficient d’amortissement est inclus dans ce modèle également pour produire la décroissance qui a été observée dans les données expérimentales à de basses vitesses. La raideur est introduite pour commander la rigidité à de grandes vitesses et l'atténuation visqueuse observée à ces plus grandes vitesses est représentée par . Le déplacement initial du ressort de raideur est lié à la force nominale de l’amortisseur due à l'accumulateur.
Pour obtenir les équations régissant le mouvement de ce modèle, considérons la moitié supérieure du modèle de la figure 10. Les forces de chaque côté de la ‘’barre rigide du milieu’’ sont équivalentes, par conséquent :
(5)
La variable évolutionnaire s’écrit [8] :(6)
Où , , β, , γ, n et A, sont les paramètres caractéristiques du modèle de Bouc-Wen qui peuvent être contrôlés pour ajuster la linéarité et le lissage dans les périodes de transition du seuil pré et post- contrainte.De (5), la vitesse s’écrit :
(7)
La force totale générée par le système est alors la somme des forces des sections supérieure et inférieure du modèle de la figure 10 :(8)
Ou bien :(9)
Pour une intensité nulle du courant délivré à l’amortisseur MR, une raideur α=38.24 N/mm et des coefficients d’amortissement c0=0.59 N.s/mm et c1=4.73 N.s/mm sont introduits par le modèle de Bouc-Wen modifié, ainsi que les coefficients de la fonction d’hystérésis z, tel que : n =2, А =10.013, β=3.044 mm-2, γ =0.103 mm-2 et k0= 1.121 N/mm. La raideur k1 de l’accumulateur étant fixée à 0.84N/mm, avec un déplacement initial =2.5mm.Les paramètres α, c0 et c1, dépendant du courant délivré à l’amortisseur MR, ont été déduits des fonctions polynomiales ci-dessous, exprimées en fonction de l’intensité du courant d’entrée I [11,12].
(10) (11) (12)
Ces paramètres sont adaptés à la réponse mesurée expérimentalement de l’amortisseur MR (RD-1005- 3) présenté dans la figure 1 et dont l’amplitude du déplacement sinusoïdal soumis au piston de l’amortisseur à la fréquence de 1 Hz, est de 15mm, avec une tension du courant appliquée de 5.5V et d’intensité 1A.Une comparaison entre les réponses calculées à partir du modèle numérique (figure 10) et les réponses mesurées expérimentalement est présentée dans la figure 11. Le modèle de Bouc-Wen modifié proposé prévoit très bien le comportement de l'amortisseur MR dans toutes les régions, incluant la
région où l'accélération et la vitesse sont de signe opposé et où l’amplitude des vitesses est faible durant la transition entre les phases de compression et d’extension de l’amortisseur.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000
Fréquence: 1 Hz Amplitude: 15 mm Courant: 1 A Experimentale
Modèle de Bouc-Wen modifié
Force d'amortissement (N)
Déplacement (mm)
(a)
-60 -40 -20 0 20 40 60
-1500 -1000 -500 0 500 1000
1500 Experimental
Modèle de Bouc-Wen modifié
Force d'amortissement (N)
Vitesse (mm/s)
Fréquence: 1 Hz Amplitude: 15 mm Courant: 1 A
(b)
Figure 11. Courbes d’hystérésis force/déplacement (a) et force/vitesse (b) calculées et mesurées pour un déplacement de 15mm imposé à la fréquence de 1 Hz et à un courant de 1A
Les courbes d’hystérésis des rapports force/déplacement (figure 11.a) et force/vitesse (figure 11.b) du modèle numérique ont été obtenues après ajustement des paramètres les plus influents de la variable évolutionnaire z donnée par l’expression (6). Ainsi après une analyse des paramètres les plus influant de cette variable, les coefficients A, β et k0, ont été porté respectivement aux valeurs 22.5, 8.25 mm-2 et 3.55 N/mm. L'inconvénient de ce modèle est lié au nombre élevé de paramètres impliqués dans la procédure de son ajustement ou son recalage sur le comportement réel d’un amortisseur MR, et ce par n’importe quelle approche mathématique ou expérimentale utilisée, ce qui augmente le travail du calcul nécessaire.
4. Conclusion
A partir de cette étude, nous pouvons constater d’abord à travers la caractérisation de l’amortisseur MR, que le coefficient d’amortissement équivalent, obtenu expérimentalement est un facteur très complexe, difficile à quantifier du fait qu’il dépond de plusieurs paramètres qui sont la fréquence et l’amplitude de l’oscillation auxquelles il est sollicité, ainsi que l’intensité du courant qui lui est délivré. Cependant, cela nous permettra de mieux approximer les paramètres de la dynamique interne de l’amortisseur MR par des fonctions polynomiales qui prennent en compte l’effet de la fréquence d’excitation également. Enfin ce travail nous à permis à travers la confrontation des courbes d’hystérésis force/déplacement et force/vitesse, obtenues par des mesures expérimentales et par des calculs sur le modèle de Bouc-Wen modifié, de réajuster les réponses calculées à partir de l’expérimentation, et ce pour un modèle numérique bien représentatif de l’amortisseur réel. Le recalage du modèle numérique effectué sur la base des courbes expérimentales, reste donc possible en ajustant les paramètres les plus influant pour les mêmes conditions de travail de l’amortisseur MR.
Ceci permet à travers cette présente étude d’analyser et de valider les performances d’un schéma de contrôle d’une suspension intégrant un amortisseur MR, en se contentant uniquement des résultats de simulation obtenus et dont le modèle de Bouc-Wen modifié adopté comme dynamique interne de l’amortisseur MR a été préalablement recalé et ajusté.
Références
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