Chapitre2 : Fonctions mesurables
Voici un tableau de correspondance entre les notions de tribu (et mesure) et de topologie (induite par une distance). Soient et deux ensembles quelconques
Théorie de tribu Théorie de topologie
tribu sur tribu sur
topologie sur (induite par une distance sur ) topologie sur (induite par une distance sur ) espace mesurable ,
espace mesurable , espace topologique , (ou espace métrique , ) espace topologique , (ou espace métrique , ) ensemble mesurable de
ensemble mesurable de
ensemble ouvert de ensemble ouvert de fonction mesurable de dans
∶ → mesurable ⟺ ∀ ∈ , ∈ fonction continue de dans ∶ → continue⟺ ∀ ∈ , ∈
1) DEFINITIONS DE BASE
DEFINITION 1.1. Soient , et , des espaces mesurables et ∶ → une fonction définie sur tout . On dit que la fonction est mesurable si, pour tout ∈ , on a ∈ i.e.
∀ ∈ , ∈ .
Cette définition de mesurabilité dépend des tribus et . Parfois, on écrit et on lit « est , -mesurable, au lieu de est mesurable.
RAPPEL 1.1. Si , et , ′ sont des espaces métriques (ou topologiques) avec !" "# $" % $%
!" "# $" % $% & et ∶ → ; Alors est continue si, pour tout ∈ , on a
∈ i.e.
∀ ∈ , ∈ .
EXEMPLE 1.1. [La fonction indicatrice d’un ensemble ' (notée () ou 1))]
Soit un ensemble fixé et ' une partie de ". . ' ⊂ , la fonction indicatrice de ' est la fonction () définie sur et à valeurs dans ℝ ". . () ∶ → ℝ telle que
- ↦ () - = 01 " - ∈ '0 " - ∉ '&
Le but de l’exemple est de donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction () soit mesurable.
On suppose que l’ensemble est muni d’une tribu et la droite réelle ℝ de sa tribu borélienne ℬ ℝ . Alors, on a l’équivalence suivante :
= () 4 $% 5 ⟺ ' 4 $% 5 PREUVE
On rappelle que, si ⊂ , alors
= 6- ∈ ∶ - ∈ 7
$ 8 9$" é9$"; # à :
- ∈ ⟺ - ∈
Remarquons que ' = =1, +∞= . En effet,
Si - ∈ ' alors - = 1 et, puisque 1 ∈ =1, +∞= donc - ∈ =1, +∞= , d’où ' ⊂ =1, +∞=
Montrons l’inclusion inverse :
Si - ∈ =1, +∞= alors - ≥ 1 et, puisque - = () - prend seulement 2 valeurs 0 1 et 0 ∉ =1, +∞=
donc - = 1, d’où - ∈ ' (car si - ∉ ' alors - = 0 ≠ 1 qui est une contradiction). On conclut alors
=1, +∞= ⊂ ' On vient de montrer que
' = =1, +∞=
i) Montrons l’implication directe i.e. « () est mesurable ⟹ ' ∈ » On suppose que = () est mesurable et on montre que ' ∈ .
On a montré que ' = =1, +∞= .
Puisque =1, +∞= est un borélien car =1, +∞= ∈ ℱℝ (fermé de ℝ) et ℱℝ⊂ ℬ ℝ et, d’après l’hypothèse de mesurabilité de (), on obtient ' ∈ .
ii) Montrons l’implication inverse i.e. « ' ∈ ⟹ () est mesurable » On suppose que ' ∈ et on montre que = () est mesurable.
On utilise la définition 1.1. Soit ∈ ℬ ℝ , montrons que ∈ . Remarquons que
= () = D
' " 1 ∈ 0 ∉ '̅ " 1 ∉ 0 ∈ " 1 ∈ 0 ∈
∅ " 1 ∉ 0 ∉
&
On voit bien que, dans tous les cas, ∈ car ' ∈ (par hypothèse) '̅ ∈ (d’après la stabilité par passage au complémentaire), ∈ (d’après l’hypothèse (A1)) et ∅ ∈ (car ∅ = G ), donc () est mesurable.
On vient de montrer (' ∈ ⟹ () est mesurable) et (() est mesurable ⟹ ' ∈ ) c'est-à-dire () 4 $% 5 ⟺ ' ∈
DEFINITION 1.2. Si , et , sont deux espaces métriques et ∶ → une fonction définie sur tout . On dit que la fonction est borélienne si elle est mesurable lorsque sont munis de leurs tribus
boréliennes respectives i.e.
est borélienne ⟺ Qℬ , ℬ R − 4 $% 5
PROPOSITION 1.1. Soient et des espaces métriques et ∶ → une fonction. Alors est borélienne si et seulement si l’image réciproque par de tout ouvert de est un borélien de c'est-à-dire
5 %é " ## ⟺ ∀ ∈ , ∈ ℬ La démonstration de cette proposition sera faite au prochain paragraphe.
COROLLAIRE 1.1. (IMPORTANT) Toute fonction ∶ → continue est borélienne PREUVE : On utilise la proposition 1.1 et la définition de la continuité.
Soit ∈ , Alors ∈ (car ∶ → continue sur ) et puisque ⊂ ℬ , donc ∈ ℬ , d’où 5 %é " ## .
2) TRIBU IMAGE PAR UNE FONCTION
PROPOSITION 2.1. Soient , un espace mesurable, un ensemble et ∶ → une fonction. Alors la famille T ⊂ U définie par
T = 6 ∈ U ∶ ∈ 7 est une tribu de parties de . Elle est appelée tribu image de par .
COROLLAIRE 2.1. Soient , et , deux espaces mesurables et ∶ → . On suppose = V W où W ⊂ U . Alors, on a :
4 $% 5 ⟺ ∀ ∈ W, ∈
Une fonction mesurable veut dire , -mesurable.
PREUVE :
i) Montrons l’implication directe : « 4 $% 5 ⟹ ∀ ∈ W, ∈ » Supposons que la fonction est mesurable. Soit ∈ W donc ∈ (car W ⊂ V W = ), puisque est , -mesurable, donc ∈ . L’implication directe est démontrée.
ii) Montrons l’implication inverse : «∀ ∈ W, ∈ ⟹ 4 $% 5 »
On suppose que la propriété ∈ est vérifiée pour tout ∈ W et montrons que est mesurable.
Considérons : la tribu image de par , d’après l’hypothèse, tous les éléments de W vérifient ∈ donc appartiennent à T c'est-à-dire W ⊂ T on déduit alors V W = ⊂ T (car V W est la plus petite tribu contenant W).
Ce dernier résultat, ⊂ T, implique que tous les éléments de vérifient la propriété ∈ i.e.
∀ ∈ W, ∈
Ceci veut dire que la fonction est mesurable. L’implication inverse est démontrée.
PREUVE DE LA PROPOSITION 1.1.
Il suffit d’appliquer le corollaire 2.1 en prenant à la place W et ℬ à la place de (car V = ℬ ). On obtient l’équivalence
5 %é " ## ⟺ ∀ ∈ , ∈ ℬ
où borélienne veut dire est Qℬ , ℬ R-mesurable.
REMARQUE 2.1. Soient , un espace mesurable, un ensemble et ∶ → . La tribu T est la plus grande tribu sur rendant mesurable.
PREUVE
D’après la définition de la tribu T, la fonction est Q , T R–mesurable car, pour tout ⊂ ,
", ∈ T , % ∈
Montrons que T est la plus grande tribu sur rendant mesurable.
Soit X une autre tribu sur telle que soit , X –mesurable. Nous allons montrer que X ⊂ T
Soit ∈ X, d’après l’hypothèse de mesurabilité, ∈ alors ∈ T (par définition de T). Donc X ⊂ T. 3) TRIBU ENGENDREE PAR UNE FONCTION
PROPOSITION 3.1. Soient un ensemble, , un espace mesurable et ∶ → une fonction. Alors la famille Y⊂ U définie par
Y= 6' = ∶ ∈ 7
est une tribu de parties de . Elle est appelée tribu par à partir de . PREUVE (faite en TD)
REMARQUE 3.1. Soient un ensemble, , un espace mesurable et ∶ → . La tribu Y est la plus petite tribu sur rendant mesurable.
PREUVE
D’après la définition de la tribu Y, la fonction est Y, –mesurable car, pour tout ∈ , ∈ Y i.e.
∀ ∈ , ∈ Y
Montrons que Y est la plus petite tribu sur rendant mesurable.
Soit une autre tribu sur telle que soit , –mesurable. Nous allons montrer que Y⊂ .
Soit ' ∈ Y i.e. ' = avec ∈ , d’après l’hypothèse de mesurabilité, ∈ , c'est-à-dire ' ∈ . Donc Y⊂ .
4) TRIBU PRODUIT
DEFINITION 4.1. Soient , et , deux espaces mesurables. Soit Z = × l’ensemble produit cartésien de par . On appelle rectangle mesurable dans Z = × tout ensemble de la forme \ = ' × où ' ∈ et ∈ .
On notera la famille de tous les rectangles mesurables par ℛ ou × .
REMARQUE 4.1. La famille des rectangles n’est pas une algèbre donc n’est pas une tribu.
PREUVE :
Il suffit de considérer , = , = Qℝ, ℬ ℝ R. Soient \ = =−1,0^ × =−1,0^ et \ = =0,1^ × =0,1^. Alors \ et \ appartiennent à ℛ mais \ ∪ \ ∉ ℛ donc ℛ n’est pas stable par réunion finie.
DEFINITION 4.2. Soient , et , deux espaces mesurables. On appelle tribu produit sur Z = × qu’on note par ⨂ la tribu engendrée par la famille des rectangles mesurables c'est-à-dire ⨂ = V ℛ
Erratum :
Dans RAPPEL 1.1. (Chap2) : au lieu de «∀ ∈ , ∈ », il faut écrire «∀ ∈ , ∈ ».
