C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD S’entrainer… correction de l’exercice 3 (Réunion Juin 2006) 1/2 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
S ’ entrainer à… l ’ Espace : Correctionde l ’ exercice 6
Pour chacune des questions 1 à 4, déterminons parmi les quatre affirmations proposées, les 2 qui sont exactes et les 2 qui sont fausses.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal
(
O;Åi;Åj;Åk)
. 1. Soit P le plan d’équation 2x+3y+4z−1=0Un vecteur normal à P est Ån’
2 3 4
• La distance de O à P est donc d=
|
2×0+3×0+4×0−1|
22+32+42 = 1 29 La proposition a. est donc fausse et la proposition b. est vraie .
• Ån
3 2 2
donc on remarque que Än′ =2Ån et Än′ est un vecteur normal de P donc Ån est un vecteur normal de P. c. est vraie
• On déduit que d. ne peut être que fausse On peut aussi le démontrer :
Soit NÅ
-5 2 1
un vecteur normal du plan Q d’équation -5x+2y+1=0 Les plans P et Q sont parallèles ssi N et Å Ån sont colinéaires. Or, -5
1ý 2 3 2
donc les vecteurs N et Å Ån ne sont pas
colinéaires, les plans P et Q ne sont pas parallèles d. est fausse
2. On désigne par P le plan d’équation 2x+y−z=0 et par D la droite passant par A(1;1;1) et de vecteur directeur
Åu
1 -4 -2
Par déf i ni t i on un s yst è me d’équat i ons par a m ét r i ques de D est
x=1+t
y=1−4t t☻IR z=1−2t
donc d. est vraie
D et P sont parallèles ssi Ån.Åu=0 avec Ån
2 1 -1
un vecteur normal de P.
Or, Ån.Åu=1×2−4×1−2×(-1)=0 donc a. est vraie et par conséquence b. et c. sont fausses Vérifions, si D et P sont parallèles, ils ne sont ni sécants ni orthogonaux donc b. et c. sont fausses.
3. On désigne par E l’ensemble des points M(x;y;z) tels que x+y+z=3 et 2x−z=1. Soit A(1;1;1)
x+y+z=3 et 2x−z=1 sont les équations de deux plans. Or, l’intersection de deux plans est soit vide, soit une droite, soit les plans eux-mêmes s’ils sont confondus.
On peut donc déduire immédiatement que a. est fausse .
C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD S’entrainer… correction de l’exercice 3 (Réunion Juin 2006) 2/2 Par ailleurs, les deux plans admettent pour vecteurs normaux les vecteurs non colinéaires Ån
1 1 1 et Än′
2 0 -1
donc ces deux plans sont nécessairement sécants suivants une droite c. est donc fausse et par suite b. et d. sont vraies
Vérifions : xA+yA+zA=1+1+1=3 et 2xA−zA= 2−1=1 donc A appartient aux deux plans donc à leur intersection. b. est vraie
Un système d’équations cartésiennes de la droite D, intersection des deux plans est donc
x+y+z=3 2x−z=1 Or, x+y+z=3
2x−z=1 ñ
z=2x−1 y=3−x−zñ
x=t
z=2t−1 t☻IR y=3−t−2t+1 ñ
x=t
y=2−3t t☻IR z=-1+2t
Ainsi une représentation
paramétrique de D est
x=t
y=2−3t t☻IR
z=-1+2t donc un vecteur directeur est Åu
1 -3
2
et on déduit que d. est vraie 4. ABCD est un tétraèdre quelconque. Soit P le plan passant par A et orthogonal à la droite (BC)
• D’après le cours p12, P est donc l’ensemble des points M tels que ÄAM┴ÄBC.
• Le tétraèdre ABCD étant quelconque (et donc non nécessairement régulier), a. est donc fausse.
• De même, le tétraèdre ABCD étant quelconque, on n’a pas nécessairement AB=AC et donc P n’est pas nécessairement le plan médiateur de [BC] donc d. est fausse et par suite b. et c. sont vraies
Vérifions :
• (AH) est une hauteur de ABC donc (AH) est orthogonale à (BC) donc ÄAH┴ÄBC donc (AH) appartient au plan P donc b. est vraie
• ÄBM.ÄBC=ÄBA.ÄBC ñ
(
ÄBM−ÄBA)
.ÄBC=0 ñ(
ÄBM+ÄAB)
.ÄBC=0 ñ ÄAM.ÄBC=0 ñÄAM┴ÄBCñ M☻P. c. est donc vraie Récapitulatif :
Affirmation a. Affirmation b. Affirmation c. Affirmation d.
Question 1. Fausse Vraie Vraie Fausse
Question 2. Vraie Fausse Fausse Vraie
Question 3. Fausse Vraie Fausse Vraie
Question 4. Fausse Vraie Vraie Fausse
