Exercice 2 a) A= ln (e4) donc, par définition, A = 4

Correction de l’interrogation écrite n^◦13 – Sujet A

Exercice 1

a) ln(27) = ln(3³) donc ln 27 = 3 ln 3 ; b) ln9√

3= ln(9) + ln√

3= ln(3²) + 1

2ln(3) = 2 ln(3) + 1

2ln(3) donc ln9√

3= 5

2ln(3) .

Exercice 2

a) A= ln (e⁴) donc, par définition, A = 4 . b)B = e^ln(3) donc, par définition, B = 3 . c) C = ln(√

5 + 1) + ln(√ 5−1)

2 = ln^h(√

5 + 1)(√

5−1)ⁱ

2 = ln(5−1)

2 = ln(4)

2 = ln(2²)

2 =

2 ln(2)

2 donc C = ln(2) . d) D = ln

1 2

+ ln

2 3

+. . .+ ln

98 99

+ ln

99 100

= ln 1

2× 2 3 × 3

4 ×. . .×98

99× 99 100

!

= ln

1 100

soit D=−ln(100) .

Exercice 3

(E) a un sens si et seulement si x² −2 > 0 et x > 0. Or, x²−2 > 0 si et seulement si x <−√

2 oux >√

2. Ainsi, (E) a un sens si et seulement si x >√

2 et, pour tout x >√ 2, (E) équivaut à x²−2 =x i.e. x²−x−2 = 0.

Le discriminant de ce trinôme est ∆ = (−1)² −4×1×(−2) = 9 > 0 donc le trinôme x²−x−2 a deux racines réelles qui sontx₁ = ¹⁻³₂ =−1 et x₂ = ¹⁺³₂ = 2.

On conclut donc que l’ensemble des solutions de (E) est {2}.

(I) a un sens si et seulement si x >−2 et, pour tout x >−2, (I) équivaut à x+ 2<e⁵ i.e.

x <e⁵ −2.

On conclut que l’ensemble des solutions de (I) est ]−2 ; e⁵−2[.

Correction de l’interrogation écrite n^◦13 – Sujet B

Exercice 1

a) ln(25) = ln(5²) donc ln(25) = 2 ln(5) ; b) ln5√

5= ln(5) + ln(√

5) = ln(5) + 1

2ln(5) donc ln5√

5= 3

2ln(5) .

Exercice 2

a)A = ln (e⁵) donc, par définition, A = 5 . b)B = e^ln(4) donc, par définition, B = 4 . c) C= ln(3−√

5) + ln(3 +√ 5)

2 = ln^h(3−√

5)(3 +√

5−1)ⁱ

2 = ln(9−5)

2 = ln(4)

2 = ln(2²)

2 =

2 ln(2)

2 donc C = ln(2) . d) D = ln

1 2

+ ln

2 3

+. . .+ ln

98 99

+ ln

99 100

= ln 1

2× 2 3 × 3

4 ×. . .×98

99× 99 100

!

= ln

1 100

soit D=−ln(100) .

Exercice 3

(E) a un sens si et seulement si x² −2 > 0 et x > 0. Or, x²−2 > 0 si et seulement si x <−√

2 oux >√

2. Ainsi, (E) a un sens si et seulement si x >√

2 et, pour tout x >√ 2, (E) équivaut à x²−2 =x i.e. x²−x−2 = 0.

Le discriminant de ce trinôme est ∆ = (−1)² −4×1×(−2) = 9 > 0 donc le trinôme x²−x−2 a deux racines réelles qui sontx₁ = ¹⁻³₂ =−1 et x₂ = ¹⁺³₂ = 2.

On conclut donc que l’ensemble des solutions de (E) est {2}.

(I) a un sens si et seulement si x >−2 et, pour tout x >−2, (I) équivaut à x+ 2<e⁵ i.e.

x <e⁵ −2.

On conclut que l’ensemble des solutions de (I) est ]−2 ; e⁵−2[.