PCSI 2 Régime libre en mécanique
2021 – 2022 1/4
REGIME LIBRE EN MECANIQUE
I Essieu avant d’un véhicule
On modélise l’essieu avant d’un véhicule à l’aide de deux ressorts de raideur k et de longueur à vide lo.
Une masse m/2 égale à la moitié de la masse du véhicule est posée dessus.
On travaille dans le référentiel terrestre Rg(O, 𝑒⃗!) supposé galiléen (𝑒⃗!
vertical vers le haut).
Le seul mouvement étudié est le mouvement vertical selon l’axe (0, 𝑒⃗!).
On suppose les roues indéformables (de rayons constants).
Données : m = 1 t ; k = 19 000 N.m-1; lo = 40 cm.
1) Montrer que ce dispositif est équivalent à un unique ressort dont on déterminera les caractéristiques.
2) Le véhicule étant à l’arrêt, on enfonce la masse m/2 de 5 cm (à cet instant z = zo) et on la lâche à t = 0.
a) Écrire l’équation différentielle du mouvement.
b) Déterminer la solution.
c) Déterminer l’accélération maximale.
Réponse : constante de raideur 2k et longueur à vide lo ; 𝜀̈ +"#$𝜀 = 0 avec e = z – zeq ; z(t) = zeq + ( zo – zeq ) cos wot ; 3,8 m.s-2.
II Modélisation d’un oscillateur
Soit un point matériel de masse m, en mouvement dans le champ de pesanteur 𝑔⃗ uniforme.
1) Étude énergétique d’un oscillateur
a) Définir l’énergie potentielle associée à une force 𝐹⃗. Pour une force de rappel élastique de constante k, déterminer l’expression de l’énergie potentielle en fonction de l’écart x à la position d’équilibre, à une constante additive près.
b) On considère un mouvement conservatif de m sur l’axe horizontal Oy, autour d’une position d’équilibre Yo, avec l’énergie potentielle Ep(y) = Eo + a (y-Yo)2, où a est une constante positive. Établir l’équation différentielle du mouvement et en déduire qu’il s’agit d’oscillations harmoniques dont on précisera l’expression de la période.
c) Application : considérons le dispositif horizontal de la figure suivante.
Les ressorts sont identiques, de raideur k et de longueur à vide Lo, tandis que les points d’attache sont distants de 2Lo.
Exprimer Ep(y) si y désigne l’écart à la position d’équilibre, et calculer la période To des oscillations de m si m = 200 g et k = 40 N/m.
d) On envisage l’existence d’un frottement fluide d’intensité proportionnelle à la vitesse de m par rapport à l’axe du mouvement : 𝐹⃗ = −𝛽𝑚𝑣⃗ où b est une constante positive. Donner la dimension ou l’unité SI de b.
e) Établir l’équation différentielle du mouvement. Quelle est la valeur numérique maximale de b permettant les oscillations de m ?
2) Modélisation d’un dispositif expérimental
m/2
roue
z
ez O Rg
m
y
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2021 – 2022 2/4
a) On dispose d’un banc à coussin d’air rectiligne (Ox), incliné par une cale de hauteur h d’un angle a par rapport à l’horizontale, selon la figure ci-dessous. Sur ce banc, un aimant est fixé à l’origine O, et un autre aimant, de masse m, est fixé sur un palet mobile sans frottement :
Les aimants sont orientés de telle sorte qu’ils se repoussent mutuellement. La possibilité pour m d’osciller autour d’une position d’équilibre résulte de la compétition entre la répulsion électromagnétique, réduite à une force notée 𝐹⃗, prépondérante lorsque les aimants sont proches, et le poids, qui devient prépondérant lorsque la distance augmente.
Faire un bilan des forces à l’équilibre sur un schéma.
b) Sans connaissances préalables en électromagnétisme, on cherche dans la suite à vérifier si la force électromagnétique agissant dans cette expérience peut être modélisée par une loi de la forme : 𝐹⃗(𝑥) = 𝑘 2%%!3&𝑒⃗%, avec k > 0 et n entier naturel. Exprimer dans cette hypothèse la position d’équilibre xe en fonction de xo, k, m, g, L, h et n dans le cas des petits angles (h<<L).
NB : cette approximation sera toujours utilisée dans la suite.
c) On mesure xe pour différentes cales, puis on représente Ln(h) en fonction de Ln(xe/xo). En prenant xo = 1 m, déduire des mesures ainsi représentées ci-dessous les valeurs de n et k.
On donne : L = 120 cm ; m = 189 g ; g = 9,81 m.s-2. valeurs correspondantes :
ln(xe / xo) ln(h)
– 2,19 – 4,61
– 2,39 – 3,91
– 2,56 – 3,22
– 2,63 – 2,81
– 2,73 – 2,53
– 2,76 – 2,30
– 2,81 – 2,12
d) Exprimer littéralement l’énergie potentielle totale Ep(x) de m, à une constante additive près, en fonction de x, xo, k, m, g, L, h et n, puis en fonction de x, xo, xe, k et n seulement.
e) Lorsqu’on se limite à des oscillations de faible amplitude autour de la position d’équilibre, on rappelle qu’on peut utiliser pour l’énergie potentielle un développement de Taylor d’ordre 2 : 𝐸'(𝑥) ≈ 𝐸'(𝑥 = 𝑥() +(%*%,")#2--%#.#$3
%/%".
En déduire une expression de 𝐸'(𝑥 ≈ 𝑥() sous la forme : 0,𝐾(𝑥 − 𝑥(), ; le détail de la constante additive n’est pas demandé, mais on exprimera la constante K en fonction de xe, xo, k et n.
f) Justifier qu’au voisinage de l’équilibre, la résultante des forces subies par m équivaut à une force de rappel élastique dont on précisera la constante de raideur équivalente.
g) Toutes choses égales par ailleurs, montrer que la période T des petites oscillations autour de l’équilibre est proportionnelle à une puissance de h que l’on déterminera ; en déduire une méthode de mesure de n que l’on décrira succinctement.
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2021 – 2022 3/4
Réponse : 𝑇 = 2𝜋:,1$ ; 𝑦̈ +,1$𝑦 =,1$𝑌2 ; 𝐸'(𝑦) = 𝑘(𝑦 − 𝐿2), ; 𝑇2= 2𝜋:,#$ ; 𝑦̈ + 𝛽𝑦̇ +,#$𝑦 =,1$𝐿2 ; 𝛽$3%= :4#$ ; 𝑥(= 𝑥22$67#5 30/& ; n = 4 et k = 2.10-6N ; 𝐸'(𝑥) =$675 𝑥 +#%&*0!%𝑥0*&+ 𝑐𝑡𝑒 = 𝑘 2%%!
"3&+&*0#%!%𝑥0*&+ 𝑐𝑡𝑒 ; 𝐾 = 𝑘𝑛𝑥2&𝑥(*&*0 ; T proportionnelle à ℎ*%&'#%.
III Étude d'un densimètre à tube vibrant
La mesure de la masse volumique de fluides est nécessaire dans de nombreux domaines industriels (industries agro-alimentaires, pétrolières…). Cette partie étudie le principe d'un dispositif de mesures continues et permanentes de masses volumiques.
Soit un corps creux de volume intérieur 𝑉2 et de masse 𝑀2, rempli d'un fluide homogène de masse volumique r (l'ensemble constitue le système S) inconnue et à déterminer. S est suspendu à l'extrémité d'un ressort de coefficient de raideur K. Le ressort est suspendu à une paroi fixe du référentiel du laboratoire, supposé galiléen. Le dispositif est représenté figure 1. Le champ de pesanteur est uniforme. On note z(t) la position à l'instant t du barycentre G de S par rapport à sa position d'équilibre.
1) À t = 0, le ressort est écarté de sa position d'équilibre, sans vitesse initiale, de 𝑧(𝑡) = 𝑍2.
a) Déterminer l'équation différentielle du mouvement de S. On introduira la pulsation propre 𝜔2 de S.
b) En déduire l'expression de z’t).
c) Montrer que la masse volumique peut se mettre sous la forme 𝜌 =09(𝑇2,− 𝐵) (1) où 𝑇2 est la période d'oscillation de S. On exprimera les constantes A et B en fonction de 𝑉2, K et 𝑀.
d) Donner les unités de A et B.
e) Application numérique
On étalonne l’appareil en mesurant la période des oscillations pour deux liquides. On obtient :
* T01 = 1,000 s avec de l’eau ;
* T02 = 1,100 s avec du cyclohexane de densité d = 0,779 par rapport à l’eau.
Quelle est la densité d’ du dichlorométhane pour lequel on mesure une période T03 = 0,831 s ?
2) En réalité, le dispositif est soumis à des forces supplémentaires de frottements fluides de résultante 𝐹⃗:= −ℎ𝑣⃗;.
a) Établir la nouvelle équation différentielle vérifiée par z(t) en l'écrivant sous forme canonique : on exprimera pour cela les coefficients de l'équation différentielle en fonction des seuls paramètres 𝜔2 et Q, où 𝜔2 est la pulsation propre du système et Q le facteur de qualité vérifiant <=!=>7, où M est la masse totale du système S.
b) Dans l'application envisagée, la solution peut se mettre sous la forme 𝑧(𝑡) = 𝛽𝑒*<?𝑐𝑜𝑠M𝜔'𝑡 + 𝜑O.
i) Quelle est la nature du mouvement de S ? À quelle condition sur Q cette solution est-elle envisageable ? ii) Établir les expressions analytiques de a et 𝜔' en fonction de 𝜔2 et Q puis en fonction de h, K, 𝑀2, 𝑀2 et r.
iii) Expliciter j et b en fonction de 𝜔2, 𝜔', Q et 𝑍2.
iv) On souhaite approximer 𝜔' par 𝜔2, avec une erreur relative P<$<*<!
! P ≤ 10*@. Établir l'inégalité numérique que doit satisfaire Q (relation (2)).
c) On enregistre (cf. figure 2) l'évolution temporelle suivante pour z(t) (en cm) :
i) Déduire de l'enregistrement les valeurs numériques de 𝑍2, 𝜔' et a.
ii) Calculer Q. Conclusion ?
Figure 2
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Réponse : 𝑧̈ + 𝜔2,𝑧 = 0 ; 𝜔2= :> #
!ABC! : 𝑧(𝑡) = 𝑍2𝑐𝑜𝑠𝜔2𝑡 ; 𝐴 ="D##C! et 𝐵 ="D##C! ; 𝑧̈ +<=!𝑧̇ + 𝜔2,𝑧 = 0 ; régime pseudopériodique si 𝑄 >0, ; 𝛼 =<,=! ; 𝜔'= 𝜔2:1 −"=0# ; 𝛼 =,(>7
!ABC!) ; 𝜔'= :> #
!ABC!:1 −"#(>7!#ABC!) ; 𝜑 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛,=<<!
$ ; 𝛽 = 𝑍2:1 +"=<#!#<
$# ; 𝑄 ≥ 11,18 ; 𝑍2= 1𝑐𝑚 ; 𝜔'= 10@𝑟𝑎𝑑. 𝑠*0 ; 𝛼 = 31,93𝑠*0 ; 𝑄 = 15,6.
IV Étude d’un accéléromètre
Lors des simulations d’accident automobile, on équipe un véhicule d’appareils de mesure parmi lesquels l’accéléromètre, destiné à la mesure de la décélération lors du choc. Il est constitué d’une masse sismique𝑚E fixée à l’extrémité d’une poutrelle verticale d’acier inox, dont l’autre extrémité est solidement encastrée dans le bâti rigide d’un boîtier, lui-même fixé au véhicule. Le boîtier est rempli d’une huile de silicone exerçant une force d’amortissement visqueux de coefficient a sur la masse 𝑚E, du type 𝑓⃗ = −𝛼𝑣⃗∗ où 𝑣⃗∗ est la vitesse de la masse sismique relativement au boîtier. D’autre part, l’élasticité de la poutrelle génère une force de rappel élastique de coefficient k opposée au déplacement horizontal de 𝑚E par rapport au boîtier. On peut schématiser l’ensemble du dispositif de la manière suivante :
On appelle (Ox) l’axe horizontal orienté dans le sens du mouvement du véhicule et (Oz) l’axe vertical ascendant. La position du boîtier est repérée par l’abscisse x(t) par rapport au sol de la position de 𝑚E lorsque le ressort a sa longueur à vide 𝑙2, la position de 𝑚E par rapport au sol est repérée par son abscisse 𝑥E(𝑡). On note 𝑥∗(𝑡) = 𝑥E(𝑡) − 𝑥(𝑡) le déplacement relatif de 𝑚E par rapport au boîtier.
Le référentiel d’étude est le référentiel lié au sol, supposé galiléen. Le champ de pesanteur est 𝑔⃗.
1) Établir que 𝑥∗ vérifie l’équation différentielle 𝑥̈∗+ 2𝜉𝜔2𝑥̇∗+ 𝑥∗= 𝑎(𝑡) où a(t) est la décélération du véhicule pendant le choc.
Exprimer le coefficient d’amortissement 𝜉 et la pulsation propre 𝜔2 en fonction de 𝑚E, k et a.
On étudie la réponse de l’accéléromètre à un créneau de choc de décélération constante a et de durée 𝜏G, débutant à la date t = 0. On suppose que la masse sismique est immobile par rapport au boîtier avant le choc.
2) A partir de l’équation différentielle établie ci-dessus, préciser les types de mouvement possibles 𝑥∗(𝑡) en fonction de la valeur de 𝜉. Tracer pour chacun d’eux l’allure de la courbe 𝑥∗(𝑡) (aucune démonstration n’est demandée).
3) On choisit le liquide de remplissage du boîtier et la forme du dispositif mobile de manière à obtenir un retour de 𝑚E à l’équilibre le plus rapide possible. Quelle est alors la valeur de 𝜉 et l’expression de a en fonction de 𝑚E et k ?
4) Établir alors la solution 𝑥∗(𝑡) pendant le choc, en fonction de a et 𝜔2. Montrer que la vitesse 𝑥̇∗ passe par un maximum à un instant t que l’on exprimera en fonction de 𝜔2.
5) Soit 𝑥H∗ la valeur théoriquement atteinte au bout d’un temps « infini » durant le choc. Exprimer %%$
)∗ en fonction de ?I et tracer l’allure du graphe correspondant.
6) La durée typique du choc est 𝜏G = 0,100𝑠. Comment faut-il choisir t par rapport à 𝜏G pour que 𝑥∗(𝑡) restitue fidèlement l’allure du choc ? Montrer que le choix 𝜔2= 1,00. 10"𝑟𝑎𝑑. 𝑠*0 convient et calculer la valeur du déplacement 𝑥H∗ pour 𝑎 = 400𝑚. 𝑠*,.
Réponse : 𝜔2= :$# ; 𝜉 =,J#$1
+ ; on choisit 𝜉 = 1 (régime critique) soit 𝛼 = 2g𝑘𝑚E ; 𝑥∗(𝑡) =<3
!#[1 − (1 + 𝜔2𝑡)𝑒*<!?] ; 𝜏 =<0
! ;
%∗
%)∗ = 1 − 21 +I?3 𝑒*?/I ; il faut 𝜏 ≪ 𝜏G ; 𝑥∗= 4𝜇𝑚.
