Universit´e Paris Saclay Master 2 F.E.S.
Ann´ee 2020-2021 Pr´eparation `a l’agr´egation
Convexit´e et l’optimisation
Dans la suite, on d´esignera la norme p(avec 1ďpă 8) par }x}p:“
˜ n ÿ
i“1
|xi|p
¸1{p
pour toutx“ px1, . . . , xnq PRn. Pour p“2, on notera plus simplement} ¨ }2“ } ¨ }.
Exercice 1. Soitf :RnÑR une fonction convexe.
1. Soit x “ px1, . . . , xnq P Rn avec xi ě 0 pour tout 1 ď i ď n et }x}1 “ řn
i“1xi “ 1.
Montrer que
fpxq ď
n
ÿ
i“1
xifpeiq.
En d´eduire quef est major´ee sur la sph`ere unit´e pour la norme } ¨ }1.
2. Soient aPRn,xPRn tel que}x}1 “1 et consid´erons la fonction φ:r´1,1s ÑRd´efinie parφptq “fpa`txq ´fpaq pour touttP r´1,1s. Montrer que φest convexe. En d´eduire qu’il existe Maą0 tel que, pour tout xPRn de norme }x}1 “1,
´Matďfpa`txq ´fpaq ďMat @tP r´1,1s.
3. En d´eduire quef est continue ena.
Exercice 2. 1. Montrer l’in´egalit´e de Young: pour touta,bě0 et pP s1,`8r, abď ap
p `bq q , o`u 1p` 1q “1.
2. Montrer l’in´egalit´e de H¨older : pour toutx,yPRn et toutpP s1,`8r,
|xx, yy| ď }x}p}y}q.
3. Montrer l’in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique 1
n
n
ÿ
i“1
xi ě
˜ n ź
i“1
xi
¸1{n
pour toutx1, . . . , xně0.
Exercice 3. (Th´eor`eme de Hahn-Banach)SoientCĂRnun ensemble convexe, ferm´e non vide etx0 RC. Montrer qu’il existe aPRnzt0u etεą0 tels que pour touty PC,
xa, yy ď xa, x0y ´ε.
1
Exercice 4. L’objet de cet exercice est de montrer que sif :RnÑRest une fonction convexe, alors pour toutxPRn,
fpxq “supt`pxq: `:RnÑR affine et`ďfu.
1. Soit Epipfq:“ tpx, tq PRnˆR: fpxq ďtu l’´epigraphe de f. Montrer que Epipfq est un sous-ensemble convexe, ferm´e et non vide de Rn`1.
2. Soit x0 PRn etsăfpx0q. Montrer qu’il existe pα, βq PRnˆRnon nul et γ PRtels que xα, xy `βtąγ ą xα, x0q `βs pour toutpx, tq PEpipfq.
3. Montrer queβ ą0.
4. En d´eduire l’existence de aPRn etbPR tels que
să xa, x0y `b, fpxq ě xa, xy `b pour toutxPR. 5. Conclure.
Exercice 5. (Th´eor`eme de Kuhn-Tucker) Soient f et g :Rn Ñ Rdes fonctions de classe C1. On suppose queg est convexe et qu’il existe ¯xPRntel quegp¯xq ă0. On note C“ txPRn: gpxq ď0u et on consid`ere un pointx0PC tel que
fpx0q ďfpyq pour toutyPC.
1. Montrer queC est convexe, ferm´e et d’int´erieur non vide.
2. Montrer que si gpx0q ă0, alors ∇fpx0q “0.
3. Dans la suite, on supposera que gpx0q “0. Montrer que x∇gpx0q,x¯´x0y ă0.
4. SoientyPRntel quex∇gpx0q, yy ď0,εą0 ettą0. On d´efinitxε “x0`εpy`tpx´¯ x0qq.
Montrer que si εest suffisamment petit, on a xεPC.
5. En d´eduire quex∇fpx0q, yy ě0.
6. Soit K“ tλ∇gpx0q, λě0u. Montrer queK est convexe, ferm´e et non vide.
7. A l’aide du th´eor`eme de Hahn-Banach, monter que ´∇fpx0q PK.
8. D´eduire des questions pr´ec´edentes qu’il existe (un multiplicateur de Lagrange)λě0 tel que
∇fpx0q `λ∇gpx0q “0, λgpx0q “0.
Exercice 6. (M´ethode de p´enalisation) Soient f et g :Rn Ñ R des fonctions convexes et de classe C1. On suppose que f est strictement convexe, coercive et qu’il existe ¯x PRn tel que gpxq ă¯ 0. Soitx0 PC:“ txPRn: gpxq ď0ul’unique minimiseur def surCtel que∇gpx0q ‰0.
Pour toutkPNet tout xPRn, on d´efinit la fonction fkpxq “fpxq `k
2rgpxq`s2, o`u t`:“maxpt,0q pourtPR.
2
1. Montrer quefk admet un unique minimiseur, not´e xk, surRn qui satisfait
∇fpxkq `kgpxkq`∇gpxkq “0.
2. Montrer que la suite pxkqkPN est born´ee et en d´eduire qu’elle converge versx0 PC.
3. Montrer que la suite num´erique pkgpxkq`qkPN est born´ee.
4. En d´eduire l’existence d’unλě0 tel que
∇fpx0q `λ∇gpx0q “0, λgpx0q “0.
3
