Chapitre 8
Vecteurs
Les savoir-faire
080. Identifier et tracer les représentants d’un vecteur.
081. Lire les coordonnées d’un vecteur et représenter un vecteur connaissant ses coordonnées.
082. Calculer et utiliser les coordonnées de vecteurs.
083. Construire à l’aide des vecteurs.
084. Etablir et utiliser la colinéarité de vecteurs.
I. Translations et vecteurs associés
1. Translation
A etB sont deux points distincts du plan.
Latranslation qui transforme A en B est appeléetranslation de vecteur −→ AB. Définition : translation
Par la translation de vecteur −−→ AB, le pointM a pour image le pointN.
A
B
−→ AB
F1
F2
M
N
Le vecteur −−→
ABest défini par :
— sa direction (celle de la droite (AB)) ;
— son sens (deA versB) ;
— sa norme (la longueur du segment [AB]).
Définition : caractéristiques d’un vecteur
2. Vecteurs égaux
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils caractérisent la même translation.
Autrement dit, deux vecteurs égaux sont deux vecteurs ayant même direction, même sens et même longueur.
Définition : vecteurs égaux
−−→ AB=−−→
CDsi et seulement siABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Propriétés : caractérisation du parallélogramme
A
B
C
D
Attention à l’ordre des points dans lequel on nomme le parallélogramme :ABDCet nonABCD.
Lorsque−−→ AB=−−→
CD=−−→
EF =−−→
GH, alors on dit que les vecteurs−−→ AB,−−→
CD,−−→
EF, −−→
GH sont des représentants d’un même vecteur que l’on peut noter avec une seule lettre (~u,~v ouw~ . . .) indépendamment des deux points.
D’où :−−→ AB=−−→
CD=−−→
EF =−−→
GH.
Un vecteur admet une infinité de représentants.
G
H
~ u E
F
~u
C
D
~ u A
B
~u
Remarque :la norme du vecteur ~uest notée||~u||. On peut écrire aussi :||−−→
AB||=AB.
Exemple :
Tracer l’image du triangleABC par la translation de vecteur~u.
Vidéo
3. Milieu d’un segment
I est le milieu de [AB] si et seulement si−→ AI =−→
IB.
Propriétés : caractérisation du milieu d’un segment
4. Vecteurs particuliers
• Le vecteur−→
AAest appelé vecteur nul. On le note~0.
Ainsi,−→
AA=~0.
• Le vecteur−−→
BAest le vecteur opposé au vecteur−−→
AB. On note −−→
BA=−−−→ AB.
−−→ BA
−−→ AB
A×
B×
II. Somme de deux vecteurs
1. Définition
La somme des vecteurs~uet~v, notée~u+~v, est le vecteur as- socié à la translation résultant de l’enchaînement des trans- lations de vecteur~uet de vecteur~v.
~ u
~ v
~ u+~v A
B
C
Définition : vecteur somme
Exemple :
SoitABC un triangle non aplati.
Construire le pointF défini par :−→
AF =−−→ BA+−−→
BC Vidéo
−−→ AB+−→
AC=~0 si et seulement siAest le milieu du segment [BC].
Propriété : somme nulle de deux vecteurs et milieu
Le vecteur~u−~vest défini par~u−~v=~u+(−~v) ce qui signifie que soustraire un vecteur, c’est additionner son opposé.
~ u
~ v
~
u −~v
~ u−~v A
B
D
Définition : différence de deux vecteurs
2. Relation de Chasles
Pour tous pointsA,B etC du plan :
−−→ AB+−−→
BC=−→
AC Propriété : relation de Chasles
A
B
C
−→ AB +−→
BC
III. Produit d’un vecteur par un réel
1. Définition
Soit~uun vecteur etkun nombre réel non nul, alors le vecteurk~uest défini par :
— sa direction :la même que celle de~u;
— son sens :celui de~usik >0, l’opposé de~usik <0 ;
— sa norme :||k~u||=|k| × ||~u||.
Définition : Produit d’un vecteur par un nombre réel
−2~u
~ u 1
3~u
Exemple :
SoitABC un triangle non aplati. Construire le pointM tel que :
−−→AM =−−−→ AB+ 3−→
AC
Vidéo
Pour tous vecteurs~uet~v et tous nombres réelsketk′ :
— k(~u+~v) =k~u+k~v;
— (k+k′)~u=k~u+k′~u;
— k(k′~u)) = (kk′)~u.
Propriété : distributivité entre vecteurs et réels
— Deux droites (AB) et (CD) sontparallèlessi et seulement si les vecteurs−−→ ABet −−→
CDsont colinéaires ;
— Trois pointsA,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs−−→ ABet−→
AC(par exemple) sont colinéaires.
Propriétés : parallélisme et alignement
Remarque : L’égalité−−→
AM= 1 2
−−→
ABmontre que le pointM est le milieu de [AB].
Exemple :
On donne deux vecteurs~uet~vtels que :−4~u+ 3~v=~v
~
uet~v sont-ils colinéaires ? Vidéo
IV. Coordonnées
1. Base orthonormée et décomposition
Soit~iet~j deux vecteurs non colinéaires dont les directions sont perpendiculaires et tels que||~i||=||~j||= 1. Le couple (~i ; ~j) est appelébase orthonormée des vecteurs du plan.
Définition : base orthonormée
Tout vecteur~udu plan se décomposede manière unique sous la forme~u=x~i+y~j oùxet ysont des réels.
x y
est le couple de coordonnées du vecteur~udans la base (~i ; ~j).
~i
~j
~ u
x~i
y~j Propriété : décomposition d’un vecteur
Exemple : dans la base (~i ; ~j), si~u −2
3
alors~u=−2~i+ 3~j.
2. Repère orthonormée
On appellerepère orthonormédu plan le triplet (O ;~i , ~j) constitué par un pointO appeléorigine et par les vecteurs d’unebase orthonormée (~i ; ~j).
Définition : repère orthonormée
Les coordonnées d’un vecteur ~u sont les coordonnées du pointM tel que :
−−→OM =~u.
−−→OM =x~i+y~j donc−−→
OM x
y
. Le vecteur~ua pour coordonnées
2 1
etM(2 ; 1). 1
2 3
1 2 3
0 ~i
~j
~ u
~ u
x
y ×M
Exemple :
Par lecture graphique, exprimer ~u en fonction des vecteurs~aet~b. Vidéo
Exemple :
Lire les coordonnées des vecteurs~u,~v etw.~ Vidéo
3. Vecteurs égaux, somme de vecteurs
Dans une base orthonormée (~i; ~j), on considère deux vecteurs~u x
y
et~v x′
y′
.
— Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Autrement dit, ~u=~vsi et seulement si : Propriété : égalité, somme de vecteurs
4. Multiplication par un réel
Dans une base orthonormée (~i ; ~j), si on multiplie un vecteur~u x
y
par un réel k, alors le vecteurk~ua pour coordonnées
kx ky
.
Propriété : multiplication par un réel
−2
−4 2
2 4 6
−2
−4 O
~u 4
−2~u 2
−8
−4
1,5~u
6
3
Les vecteurs~uet 1,5~uont le même sens car 1,5>0 et les vecteurs~uet−2~uont des sens contraires car−2<0.
5. Norme d’un vecteur
Dans une base orthonormée (~i; ~j), la norme d’un vecteur~u x
y
est :
||~u||=p x2+y2 Propriété : norme d’un vecteur
6. Coordonnées d’un vecteur
On considère un repère (O ; I ; J) et deux pointsA(xA; yA) etB(xB ; yB).
Le vecteur −−→
ABa pour coordonnées :
xB−xA
yB−yA
Propriété
−1 2 3 4
−1 2 3 4
O I
J
A
B
xA xB
yB
yA
xB−xA yB−yA
Cas particulier :
Le vecteur nul ~0 a pour coordonnées 0
.
Exemples :
Calculer les coordonnées du vecteur−−→
ABavecA(3 ; −4) etB(−2 ; 1). Vidéo
Exemples :
On donne les pointsA(1 ; 2),B(−4 ; 3) etC(1 ; −2).
Déterminer les coordonnées du pointD tel que −−→ AB=−−→
DC. Vidéo
7. Colinéarité
On appelle déterminant des vecteurs~u x
y
et~v x′
y′
le nombre det(~u , ~v) =xy′−x′y.
Définition : déterminant de deux vecteurs
Deux vecteurs~uet~v sont colinéaires si et seulement si det(~u , ~v) = 0.
Propriété : condition de colinéarité de deux vecteurs
Exemple :
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs~uet~v sont colinéaires dans un repère (O ;~i , ~j).
a. ~u −6
10
et~v 9
−15
b. ~u 4
9
et~v 11
23
Vidéo
